Додекадодекаэдр

Додекадодекаэдр
Тип	Равномерный звездный многогранник
Элементы	F = 24, E = 60 V = 30 (χ = −6)
Лица по сторонам	12 {5} +12 {5/2}
Символ Wythoff	2 | 5 5/2 2 | 5 5/3 2 | 5/2 5/4 2 | 5/3 5/4
Группа симметрии	I h , [5,3], * 532
Индексные ссылки	U 36 , C 45 , W 73
Двойной многогранник	Средний ромбический триаконтаэдр
Фигура вершины	5.5 / 2.5.5 / 2
Акроним Bowers	Сделал

3D модель додекадодекаэдра

В геометрии , то dodecadodecahedron является невыпуклым однороднымом полиэдр , индексированный , как U ₃₆ . ^[1] Это исправление от большого додекаэдра (и что его двойственного, в небольшом звездчатом додекаэдре ). Он был независимо открыт Гессом  ( 1878 ), Бадуро ( 1881 ) и Питчем ( 1882 ).

Ребра этой модели образуют 10 центральных шестиугольников , и они, спроецированные на сферу , становятся 10 большими кругами . Эти 10 вместе с большими окружностями из проекций двух других многогранников образуют 31 большую окружность сферического икосаэдра, используемого при строительстве геодезических куполов .

Конструкции Wythoff [ править ]

Он состоит из четырех конструкций Wythoff между четырьмя семействами треугольников Шварца : 2 | 5 5/2 , 2 | 5 5/3 , 2 | 5/2 5/4 , 2 | 5/3 5/4 , но представляют идентичные результаты. Точно так же ему могут быть даны четыре расширенных символа Шлефли : r {5 / 2,5}, r {5 / 3,5}, r {5 / 2,5 / 4} и r {5 / 3,5 / 4}. или как диаграммы Кокстера-Дынкина :, , , и .

Сеть [ править ]

Фигуру с таким же внешним видом, как у додекадодекаэдра, можно построить, сложив эти сети:

Необходимо 12 пентаграмм и 20 ромбических кластеров. Однако эта конструкция заменяет пересекающиеся пятиугольные грани додекадодекаэдра непересекающимися наборами ромбов, поэтому она не дает такой же внутренней структуры.

Связанные многогранники [ править ]

Его выпуклая оболочка - икосододекаэдр . Он также имеет такое же расположение краев, что и малый додекагемикосаэдр (имеющий общие пентаграммы) и большой додекагемикосаэдр (имеющий общие пятиугольные грани).

Этот многогранник можно считать выпрямленным большим додекаэдром . Это центр последовательности усечения между малым звездчатым додекаэдром и большим додекаэдром :

В усеченном небольшом звездчатом додекаэдре выглядит как додекаэдр на поверхности, но он имеет 24 граней: 12 пятиугольников из усеченных вершин и 12 перекрывает , как (усеченные пентаграммы). Само усечение додекадодекаэдра не является однородным, и попытка сделать его однородным приводит к вырожденному многограннику (который выглядит как маленький ромбидодекаэдр с {10/2} многоугольниками, заполняющими додекаэдрический набор отверстий), но он имеет равномерное квазусечение, усечен dodecadodecahedron .

Имя	Малый звездчатый додекаэдр	Усеченный малый звездчатый додекаэдр	Додекадодекаэдр	Усеченный большой додекаэдр	Большой додекаэдр
Кокстер-Дынкин Диаграмма
Рисунок

Это топологический эквивалентно фактор - пространству от гиперболической порядка 4 пятиугольной черепицы , искажая пентаграммы обратно в регулярные пятиугольники . Таким образом, это топологически правильный многогранник индекса два: ^{[2] [3]}

Цвета на изображении выше соответствуют красным пентаграммам и желтым пятиугольникам додекадодекаэдра в верхней части этой статьи.

Средний ромбический триаконтаэдр [ править ]

Медиальный ромбический триаконтаэдр есть невыпуклый равногранный многогранник . Это двойник додекадодекаэдра. Он имеет 30 пересекающихся ромбических граней.

Его также можно назвать малым звездчатым триаконтаэдром.

Stellation [ править ]

Медиальный ромбические триаконтаэдр является плеяде'ученым из ромбического триаконтаэдра , который является сопряженным к икосододекаэдру, выпуклая оболочка dodecadodecahedron (двойная к оригиналу медиального ромбическому триаконтаэдра).

Связанная гиперболическая мозаика [ править ]

Это топологически эквивалентно фактор-пространству гиперболического квадратного мозаичного покрытия порядка 5 , искажая ромбы на квадраты . Таким образом, это топологически правильный многогранник индекса два: ^[4]

Обратите внимание, что квадратная мозаика порядка 5 двойственна пятиугольной мозаике порядка 4 , а фактор-пространство пятиугольной мозаики порядка 4 топологически эквивалентно двойственному среднему ромбическому триаконтаэдру - додекадодекаэдру.

См. Также [ править ]

• Список равномерных многогранников

Ссылки [ править ]

• Бадуро (1881), «Память о равнодушных фигурах», Journal de l'École Polytechnique , 49 : 47–172.
• Гесс, Эдмунд (1878), Vier archimedeische Polyeder höherer Art , Кассель. Чт. Кей, JFM  10.0346.03
• Pitsch (1882 г.), "Убер halbreguläre Sternpolyheder", Zeitschrift für дас Realschulwesen , 7 , СУЛ  14.0448.01
• Веннингер, Магнус (1983), двойные модели , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту  0730208

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Додекадодекаэдр» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Средний ромбический триаконтаэдр" . MathWorld .
• Равномерные многогранники и двойники