В математике высокоструктурированный кольцевой спектр или-кольцо - объект теории гомотопий, кодирующий уточнение мультипликативной структуры теории когомологий . Коммутативный вариант-кольцо называется -звенеть. Первоначально мотивированные вопросами геометрической топологии и теории расслоений , сегодня они наиболее часто используются в стабильной теории гомотопий .
Задний план
Высокоструктурированные кольцевые спектры обладают лучшими формальными свойствами, чем теории мультипликативных когомологий - точка, используемая, например, при построении топологических модулярных форм , и которая позволила также новые конструкции более классических объектов, таких как K-теория Моравы . Помимо своих формальных свойств,-структуры также важны в вычислениях, поскольку они допускают операции в основной теории когомологий, аналогичные (и обобщающие) хорошо известные операции Стинрода в обычных когомологиях. Поскольку не каждая теория когомологий допускает такие операции, не всякая мультипликативная структура может быть уточнена до-структура, и даже в тех случаях, когда это возможно, доказать это может оказаться непростой задачей.
Грубая идея высокоструктурированных кольцевых спектров такова: если умножение в теории когомологий (аналогичное умножению в сингулярных когомологиях, порождающее чашеобразное произведение ) удовлетворяет ассоциативности (и коммутативности) только с точностью до гомотопии, это слишком слабо для многих построений. (например, для пределов и копределов в смысле теории категорий). С другой стороны, требование строгой ассоциативности (или коммутативности) наивным образом является слишком ограничительным для многих желаемых примеров. Основная идея состоит в том, что отношения должны поддерживать только гомотопию, но эти гомотопии должны снова выполнять некоторые гомотопические отношения, гомотопии которых снова удовлетворяют некоторым дополнительным условиям гомотопии; и так далее. Классический подход организует эту структуру через операды , тогда как недавний подход Якоба Лурье рассматривает ее с помощью-операции в -категории. Наиболее широко используемые сегодня подходы используют язык модельных категорий . [ необходима цитата ]
Все эти подходы зависят от тщательного построения основной категории спектров .
Подходы к определению
Операды
Теория операд мотивирована изучением пространств петель . Пространство петель ΩX имеет умножение
по составу петель. Здесь два цикла ускоряются в 2 раза, и первый занимает интервал [0,1 / 2], а второй [1 / 2,1]. Это произведение не ассоциативно, поскольку скейлинги несовместимы, но оно ассоциативно с точностью до гомотопии, а гомотопии когерентны с точностью до более высоких гомотопий и так далее. Эту ситуацию можно уточнить, сказав, что ΩX - алгебра над малым интервалом операда . Это пример-операда, т. е. операда топологических пространств, которая гомотопически эквивалентна ассоциативной операде, но которая имеет соответствующую «свободу», позволяющую вещам поддерживать только гомотопию (кратко: любая кофибрантная замена ассоциативной операды). An-колец спектр теперь можно представить как алгебру над-операция в подходящей категории спектров и подходящих условиях совместимости (см. май 1977 г.).
Для определения -кольцевых спектров, по сути, работает тот же подход, где заменяется-оператор -операда, т. е. операда стягиваемых топологических пространств с аналогичными условиями «свободы». Пример такой операды может быть снова мотивирован изучением пространств петель. Произведение двойного петлевого пространствауже коммутативна с точностью до гомотопии, но эта гомотопия не удовлетворяет никаким высшим условиям. Чтобы получить полную согласованность высших гомотопий, нужно предположить, что пространство является (эквивалентным) n- кратным пространством петель для всех n . Это приводит к-кубическая операда из бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве, которая является примером -операционная.
Вышеупомянутый подход был впервые предложен Дж. Питером Мэем . Вместе с Элмендорфом, Крисом и Манделлом он разработал в 90-х годах вариант своего более старого определения спектров, так называемые S-модули (см. Элмендорф и др., 2007). S-модули обладают модельной структурой , гомотопическая категория которой является стабильной гомотопической категорией . В S-модулях категория модулей над-operad и категория моноидах являются Квиллен эквивалентны и также категория модулей над-операда и категория коммутативных моноидов. Следовательно, можно ли определить-колец спектров и -колец спектров как (коммутативных) моноидов в категории S-модулей, так называемых (коммутативных) S-алгебр . Поскольку с (коммутативными) моноидами легче работать, чем с алгебрами над сложными операдами, этот новый подход для многих целей более удобен. Однако следует отметить, что фактическое построение категории S-модулей технически довольно сложно.
Диаграмма спектров
Другой подход к цели увидеть высоко структурированные кольцевые спектры как моноиды в подходящей категории спектров - это категории диаграммных спектров. Вероятно, самая известная из них - категория симметричных спектров, впервые предложенная Джеффом Смитом. Его основная идея заключается в следующем:
В самом наивном смысле спектр - это последовательность (точечных) пространств вместе с картами , где ΣX обозначает надстройку . Другая точка зрения такова: каждый рассматривает категорию последовательностей пространств вместе с моноидальной структурой, заданной произведением разбиения . Тогда последовательность сферимеет структуру моноида, а спектры являются модулями над этим моноидом. Если бы этот моноид был коммутативным, то возникла бы моноидальная структура на категории модулей над ним (как в алгебре модули над коммутативным кольцом имеют тензорное произведение). Но моноидная структура последовательности сфер не коммутативна из-за разного порядка координат.
Идея состоит в том, что теперь можно встроить изменения координат в определение последовательности: симметричная последовательность - это последовательность пробелов.вместе с действием n -й симметрической группы на. Если снабдить его подходящим моноидальным произведением, получится, что последовательность сфер является коммутативным моноидом. Теперь симметричные спектры являются модулями над последовательностью сфер, т. Е. Последовательностью пространстввместе с действием n -й симметрической группы на и карты удовлетворяющие подходящим условиям эквивариантности. Категория симметричных спектров имеет моноидальное произведение, обозначаемое. Хорошо структурированный (коммутативный) кольцевой спектр теперь определяются как (коммутативный) моноид в симметричных спектрах, называется (коммутативный) симметричный кольцевой спектром . Это сводится к предоставлению карт
которые удовлетворяют подходящим условиям эквивариантности, унитарности и ассоциативности (и коммутативности) (см. Schwede 2007).
Существует несколько модельных структур на симметричных спектрах, которые гомотопически имеют стабильную гомотопическую категорию. Также здесь верно, что категория модулей над-operad и категория моноидах являются Квиллен эквивалентны и также категория модулей над-операда и категория коммутативных моноидов.
Вариантом симметричных спектров являются ортогональные спектры , в которых симметрическая группа заменяется ортогональной группой (см. Mandell et al., 2001). У них есть то преимущество, что наивно определенные гомотопические группы совпадают с группами в стабильной гомотопической категории, что не относится к симметричным спектрам. (То есть спектр сферы теперь кофибрантный.) С другой стороны, симметричные спектры имеют то преимущество, что они также могут быть определены для симплициальных множеств . Симметричные и ортогональные спектры, возможно, являются простейшими способами построения разумной симметричной моноидальной категории спектров.
Бесконечные категории
Бесконечные категории - это вариант классических категорий, где композиция морфизмов не определена однозначно, а только с точностью до стягиваемого выбора. Вообще говоря, нет смысла говорить, что диаграмма коммутирует строго в бесконечной категории, а только то, что она коммутирует с точностью до когерентной гомотопии. Можно определить бесконечную категорию спектров (как это сделал Лурье ). Можно также определить бесконечные версии (коммутативных) моноидов, а затем определить-колец спектров в виде моноидов в спектрах и-кольцевые спектры как коммутативные моноиды в спектрах. Это разработано в книге Лурье « Высшая алгебра» .
Сравнение
Категории S-модулей, симметричные и ортогональные спектры и их категории (коммутативных) моноидов допускают сравнения через эквивалентности Квиллена благодаря работе нескольких математиков (включая Шведе). Несмотря на это, модельная категория S-модулей и модельная категория симметричных спектров ведут себя совершенно по-разному: в S-модулях каждый объект является фибрантным (что неверно в симметричных спектрах), в то время как в симметричных спектрах сферический спектр является конфибрантным. (что неверно в S-модулях). По теореме Льюиса невозможно построить одну категорию спектров, обладающую всеми желаемыми свойствами. Сравнение подхода категорий бесконечности к спектрам с более классическим подходом категорий моделей симметричных спектров можно найти в Высшей алгебре Лурье 4.4.4.9.
Примеры
Проще всего записать конкретные примеры -колец спектров в симметричных / ортогональных спектрах. Наиболее фундаментальным примером является спектр сферы с (каноническим) отображением умножения. Также нетрудно записать карты умножения для спектров Эйленберга-Маклейна (представляющих обычные когомологии ) и некоторых спектров Тома (представляющих теории бордизмов ). Топологическая (действительная или комплексная) K-теория также является примером, но ее труднее получить: в симметричных спектрах используется интерпретация K-теории C * -алгеброй , в подходе операд используется машина мультипликативной теории бесконечного пространства петель .
Более свежий подход к поиску -уточнения мультипликативных теорий когомологий - теория препятствий Гёрсса – Хопкинса . Удалось найти-кольцевые структуры на спектрах Любина – Тейта и эллиптических спектрах . Аналогичным (но более старым) методом можно было также показать, что K-теория Моравы, а также другие варианты когомологий Брауна-Петерсона обладают-кольцевая структура (см., например, Baker and Jeanneret, 2002). Бастерра и Манделл показали, что когомологии Брауна – Петерсона имеют даже-кольцевая структура, где -структура определяется заменой операды бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве на 4-мерные кубы в 4-мерном пространстве в определении -кольцевые спектры. С другой стороны, Тайлер Лоусон показал, что когомологии Брауна – Петерсона не имеют состав.
Конструкции
Сильно структурированные кольцевые спектры допускают множество построений.
- Они образуют модельную категорию, поэтому существуют (гомотопические) пределы и копределы.
- Модули с сильно структурированным кольцевым спектром образуют стабильную модельную категорию . В частности, их гомотопическая категория триангулирована . Если в кольцевом спектре есть-структура, категория модулей имеет моноидальное разрушение продукта ; если это хотя бы, то он имеет симметричное моноидальное (разбивающее) произведение.
- Можно формировать групповые кольцевые спектры.
- Можно определить алгебраическую K-теорию , топологические гомологии Хохшильда и т. Д. Сильно структурированного кольцевого спектра.
- Можно определить пространство единиц, что имеет решающее значение для некоторых вопросов ориентируемости связок.
Смотрите также
- Коммутативный кольцевой спектр
- Кольцо
Рекомендации
Литература по спектрам E ∞ -кольца
- Элмендорф, AD; Kriz, I .; Манделл, Массачусетс; Май, JP (2007). Кольца, модули и алгебры в стабильной теории гомотопий . AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1.
- Мэй, Дж. Питер (1977). E ∞ {\ displaystyle E _ {\ infty}} -кольцевые пробелы и E ∞ {\ displaystyle E _ {\ infty}} -кольцевые спектры . Springer.
- Мэй, Дж. Питер (2009). "Что именно кольцевые пространства и кольцевые спектры? ". Монографии по геометрии и топологии . 16 : 215–282. arXiv : 0903.2813 . doi : 10.2140 / gtm.2009.16.215 .
Ссылки о структуре спектров E ∞ -кольца
- Basterra, M .; Манделл, Массачусетс (2005). " Гомологии и когомологии кольцевых спектров E-бесконечности " (PDF)
- Лоусон, Т. (2017). «Расчет групп препятствий для-кольцевые спектры ". arXiv : 1709.09629 [ math.AT ].
Ссылки на конкретные примеры
- Бейкер, А .; Жаннере, А. (2002). «Дивные новые алгеброиды Хопфа и расширения MU -алгебр» . Гомологии, гомотопии и приложения . 4 (1): 163–173. DOI : 10.4310 / HHA.2002.v4.n1.a9 .
- Basterra, M .; Манделл, Массачусетс (июнь 2013 г.). «Умножение на БП» (PDF) . Журнал топологии . 6 (2): 285–310. arXiv : 1101.0023 . DOI : 10,1112 / jtopol / jts032 . S2CID 119652118 . Архивировано из оригинального (PDF) 06.02.2015.
- Лурье, Дж. "Высшая алгебра" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 06.02.2015.
- Манделл, Массачусетс; May, JP; Schwede, S .; Шипли, Б. (2001). «Модельные категории диаграммных спектров» (PDF) . Proc. Лондонская математика. Soc . 82 (2): 441–512. DOI : 10.1112 / S0024611501012692 .
- Рихтер, Б. (2017). «Коммутативные кольцевые спектры». arXiv : 1710.02328 [ math.AT ].
- Шведе, С. (2001). «S-модули и симметричные спектры» (PDF) . Математика. Энн . 319 (3): 517–532. DOI : 10.1007 / PL00004446 . S2CID 6866612 .
- Шведе С. Шведе, С. (2007). "Безымянный книжный проект о симметричных спектрах" (PDF) .