В двух телах , кеплеровская орбитальной механике , то уравнение центра угловая разница между фактическим положением тела в его эллиптической орбите и положением было бы занимать , если ее движение было равномерным, в круговой орбите одного и тот же период. Он определяется как разность истинной аномалии , ν , минус средняя аномалия , M , и обычно выражается как функция средней аномалии, M , и эксцентриситета орбиты , e . [1]
Обсуждение
С древних времен проблема предсказания движения небесных тел была упрощена, сводя ее к одному из одного тела, вращающегося по орбите вокруг другого. При вычислении положения тела вокруг орбиты часто удобно начинать с предположения о круговом движении. Это первое приближение - это просто постоянная угловая скорость, умноженная на количество времени. Существуют различные методы корректировки приблизительного кругового положения к положению, создаваемому эллиптическим движением, многие из них являются сложными, а многие требуют решения уравнения Кеплера . Напротив, уравнение центра - один из самых простых в применении методов.
В случаях небольшого эксцентриситета положение, заданное уравнением центра, может быть почти таким же точным, как и любой другой метод решения проблемы. Многие интересующие нас орбиты, такие как орбиты тел Солнечной системы или искусственных спутников Земли , имеют эти почти круговые орбиты . По мере того, как эксцентриситет становится больше, а орбиты становятся более эллиптическими, точность уравнения снижается, полностью вылетая при самых высоких значениях, поэтому оно не используется для таких орбит.
Уравнение в его современной форме может быть усечено с любым произвольным уровнем точности, и, если оно ограничено только наиболее важными членами, оно может дать легко вычисляемую аппроксимацию истинного положения, когда полная точность не важна. Такие аппроксимации могут быть использованы, например, в качестве исходных значений для итеративных решений уравнения Кеплера , [1] , или при расчете подъема или установленное времени, которое из - за атмосферные воздействия не может быть предсказано с большой точностью.
В древние греки , в частности , Гиппарх , знал уравнение центра как prostaphaeresis , хотя их понимание геометрии движения планет не было то же самое. [2] Слово уравнение ( латинский , aequatio, -onis ) в настоящем смысле происходит от астрономии . Он был определен и использован Кеплером как та переменная величина, определяемая расчетом, которую нужно прибавлять или вычитать из среднего движения, чтобы получить истинное движение. В астрономии термин уравнение времени имеет аналогичное значение. [3] Уравнение центра в современной форме было разработано как часть анализа возмущений , то есть изучения влияния третьего тела на движение двух тел . [4] [5]
Расширение серии
В кеплеровском движении координаты тела возвращаются к одним и тем же значениям с каждой орбитой, что является определением периодической функции . Такие функции могут быть выражены как периодических серий любой непрерывно возрастающей угловой переменной, [6] , и переменная наибольший интерес представляет средняя аномалия , М . Поскольку она равномерно увеличивается со временем, выражение любой другой переменной в виде ряда средней аномалии по сути то же самое, что выражение ее в терминах времени. Так как эксцентриситет , е , орбиты малы по величине, то коэффициенты ряда могут быть разработаны по степеням е . [5] Обратите внимание, что, хотя эти ряды могут быть представлены в усеченной форме, они представляют собой сумму бесконечного числа членов. [7]
Ряд для ν , истинная аномалия может быть наиболее удобно выражена через M , e и функции Бесселя первого рода, [8]
где
- - функции Бесселя и
- [9]
Результат выражается в радианах .
Функции Бесселя можно разложить по степеням x на, [10]
и β m по, [11]
Подставляя и сокращая, уравнение для ν становится (усеченным в порядке e 7 ), [8]
и по определению, перемещая M в левую часть,
дает уравнение центра.
Это уравнение иногда выводится альтернативным способом и представляется в терминах степеней e с коэффициентами в функциях sin M (усеченных в порядке e 6 ),
который идентичен приведенной выше форме. [12] [13]
При малых e ряд быстро сходится. Если e превышает 0,6627 ..., он расходится при некоторых значениях M , впервые обнаруженных Пьером-Симоном Лапласом . [12] [14]
Примеры
орбитальный эксцентриситет [15] | максимальное уравнение центра (серия усечена, как показано) | |||
e 7 | e 3 | e 2 | ||
Венера | 0,006777 | 0,7766 ° | 0,7766 ° | 0,7766 ° |
земля | 0,01671 | 1.915 ° | 1.915 ° | 1.915 ° |
Сатурн | 0,05386 | 6,174 ° | 6,174 ° | 6,186 ° |
Марс | 0,09339 | 10,71 ° | 10,71 ° | 10,77 ° |
Меркурий | 0,2056 | 23,68 ° | 23,77 ° | 23,28 ° |
Смотрите также
- Небесная механика
- Гравитационная задача двух тел
- Орбита Кеплера
- Проблема Кеплера
- Проблема двух тел
Рекомендации
- ^ a b Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Microcosm Press, Эль-Сегундо, Калифорния. п. 82. ISBN 1-881883-12-4.
- ^ Нарриен, Джон (1833). Исторический отчет о происхождении и прогрессе астрономии . Болдуин и Крэдок, Лондон. стр. 230 -231.
- ^ Капдеру, Мишель (2005). Орбиты спутников и миссии . Springer-Verlag . п. 23 . ISBN 978-2-287-21317-5.
- ^ Моултон, Лесной Луч (1914). Введение в небесную механику (второе исправленное изд.). Macmillan Co., Нью-Йорк. п. 165., в Google Книгах
- ^ а б Смарт, WM (1953). Небесная механика . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 26.
- ^ Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Academic Press, Нью-Йорк и Лондон. п. 60 .
- ^ Vallado, David A. (2001). п. 80
- ^ a b Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). п. 77.
- ^ Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). п. 62.
- ^ Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). п. 68.
- ^ Смарт, WM (1953). п. 32.
- ^ a b Моултон, Лесной Луч (1914). С. 171–172.
- ^ Дэнби, JMA (1988). Основы небесной механики . Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. С. 199–200. ISBN 0-943396-20-4.
- ^ Пламмер, ХК (1918). Вводный трактат по динамической астрономии . Издательство Кембриджского университета . стр. 46 -47.
- ^ Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Пояснительное приложение к астрономическому альманаху (3-е изд.). Научные книги университета, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.
дальнейшее чтение
- Март, А. (1890). О вычислении уравнения центра на эллиптических орбитах с умеренными эксцентриситетами . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 50, стр. 502. Приводит уравнение центра к порядку e 10 .
- Моррисон, Дж. (1883 г.). О вычислении эксцентрической аномалии, уравнения центра и радиус-вектора планеты в терминах средней аномалии и эксцентриситета . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 43, стр. 345. Приводит уравнение центра к порядку е 12 .
- Моррисон, Дж. (1883 г.). Опечатки . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 43, стр. 494.