Stella octangula как огранка куба
В геометрии , огранки (также пишется facetting ) представляет собой процесс удаления частей многоугольника , многогранника или многогранника , не создавая никаких новых вершин .
Новые ребра граненого многогранника могут быть созданы по диагоналям граней или по диагоналям внутреннего пространства . Граненая многогранник будет иметь два лица на каждый край и создает новые многогранники или соединение многогранников.
Фасетирование - это процесс, обратный или двойственный к звёздчатому . Для любой звёздчатости некоторого выпуклого многогранника существует двойственная фасетка двойственного многогранника .
Граненые многоугольники [ править ]
Например, правильный пятиугольник имеет одну грань симметрии, пентаграмму , а правильный шестиугольник имеет две симметричные грани, одну как многоугольник, а другую как соединение двух треугольников.
| Пентагон | Шестиугольник | Декагон | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  | |||||||
| Пентаграмма {5/2} | Звездный шестиугольник | Соединение 2 {3} | Декаграмма {10/3} | Соединение 2 {5} | Соединение 2 {5/2} | Звездный десятиугольник | |||
 |  | .svg) |  | .svg) | .svg) |  |  |  |  |
Граненые многогранники [ править ]
Икосаэдр может быть огранен в трех регулярные Кеплер-Пуансо многогранников : маленький звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. У всех 30 ребер.
| Выпуклый | Обычные звезды | ||
|---|---|---|---|
| икосаэдр | большой додекаэдр | малый звездчатый додекаэдр | большой икосаэдр |
Правильный додекаэдр можно разбить на один правильный многогранник Кеплера – Пуансо , три однородных звездчатых многогранника и три правильных полиэдрических соединения . Однородные звезды и соединение пяти кубиков построены по диагоналям граней . Раскопан додекаэдром является facetting с лицом звездами шестигранным.
| Выпуклый | Обычная звезда | Однородные звезды | Вершинно-транзитивный | ||
|---|---|---|---|---|---|
| додекаэдр | большой звездчатый додекаэдр | Малый дитригональный икозидодекаэдр | Дитригональный додека-додекаэдр | Большой дитригональный икозидодекаэдр | Раскопанный додекаэдр |
| Выпуклый | Обычные соединения | ||
|---|---|---|---|
| додекаэдр | пять тетраэдров | пять кубиков | десять тетраэдров |
История [ править ]
Фасетирование не изучено так широко, как звездчатость .
- В 1568 году Венцель Ямницер опубликовал свою книгу Perspectiva Corporum Regularium , в которой было показано множество звездчатых и граненых поверхностей многогранников. [1]
- В 1619 году Кеплер описал правильное соединение двух тетраэдров, которые помещаются внутри куба, и назвал его Stella octangula .
- В 1858 году Бертран получил правильные звездчатые многогранники ( многогранники Кеплера – Пуансо ), огранив правильный выпуклый икосаэдр и додекаэдр .
- В 1974 г. Бридж перечислил наиболее простые фасции правильных многогранников, в том числе и додекаэдра .
- В 2006 году Инчбальд описал основную теорию диаграмм огранки многогранников. Для данной вершины диаграмма показывает все возможные ребра и фасеты (новые грани), которые можно использовать для формирования граней исходной оболочки. Это двойственное к двойному многограннику «s диаграммам плеяде'ученых, которая показывает все возможные ребра и вершины для некоторой грани плоскости исходного ядра.
Ссылки [ править ]
Примечания [ править ]
- ↑ Математическое сокровище: Платоновы тела Венцеля Ямницера, автор Фрэнк Дж. Свец (2013): «В этом исследовании пяти Платоновых тел Джамнитцер усек, звездчатые и ограненные обычные твердые тела [...]»
Библиография [ править ]
- Бертран, J. Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), стр. 79–82.
- Бридж, штат Нью-Джерси. Грань додекаэдра, Acta crystallographica A30 (1974), стр. 548–552.
- Инчбальд, Г. Диаграммы фасетирования, The Mathematical gazette , 90 (2006), стр. 253–261.
- Алан Холден , Формы, Пространство и Симметрия . Нью-Йорк: Довер, 1991. с.94.
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Огранка» . MathWorld .
- Ольшевский, Георгий. «Огранка» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
