Геликоида , после плоскости и катеноида , является третьей минимальной поверхностью , чтобы быть известной.
Описание [ править ]
Он был описан Эйлером в 1774 году и Жаном Батистом Мёзнье в 1776 году. Его название происходит от сходства со спиралью : для каждой точки на спирали существует спираль, содержащаяся в спирали, проходящей через эту точку. Поскольку считается, что планарный диапазон простирается через отрицательную и положительную бесконечности, близкое наблюдение показывает появление двух параллельных или зеркальных плоскостей в том смысле, что, если прослеживается наклон одной плоскости, можно увидеть, что параллельная плоскость обходится или пропущено, хотя на самом деле соплоскость также прослеживается с противоположной точки зрения.
Геликоид также является линейчатой поверхностью (и прямым коноидом ), что означает, что это след линии. В качестве альтернативы, для любой точки на поверхности есть линия на поверхности, проходящая через нее. Действительно, Каталан доказал в 1842 году, что геликоид и плоскость были единственными линейчатыми минимальными поверхностями . [1]
Геликоид также является трансляционной поверхностью в смысле дифференциальной геометрии.
Геликоид и катеноид являются частями семейства минимальных поверхностей геликоид-катеноид.
Геликоид имеет форму винта Архимеда , но тянется бесконечно во всех направлениях. Его можно описать следующими параметрическими уравнениями в декартовых координатах :
где ρ и θ изменяются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, а α - постоянная величина. Если α положительно, то геликоид правосторонний, как показано на рисунке; если отрицательный, то левша.
Геликоид имеет основные кривизны . Сумма этих величин дает среднюю кривизну (ноль, поскольку геликоид является минимальной поверхностью), а произведение дает гауссову кривизну .
Геликоид гомеоморфен плоскости . Чтобы убедиться в этом, позвольте альфе непрерывно уменьшаться от заданного значения до нуля . Каждое промежуточное значение α будет описывать другой геликоид, пока не будет достигнуто α = 0 и геликоид не станет вертикальной плоскостью .
И наоборот, самолет можно превратить в геликоид, выбрав линию или ось на плоскости, а затем повернув плоскость вокруг этой оси.
Если геликоид радиуса R вращается на угол θ вокруг своей оси, поднимаясь на высоту h , площадь поверхности определяется выражением [2]
Геликоид и катеноид [ править ]
Геликоид и катеноид являются локально изометрическими поверхностями; см. Преобразование катеноида # геликоида .
См. Также [ править ]
- Обобщенный геликоид
- Поверхность Дини
- Правый коноид
- Линейчатая поверхность
Заметки [ править ]
- ↑ Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей в трехмерном пространстве Автор А. Т. Фоменко , А. А. Тужилин Автор А. А. Тужилин Опубликовано книжным магазином AMS, 1991 ISBN 0-8218-4552-7 , ISBN 978-0-8218-4552-3 , п. 33
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Геликоид" . MathWorld . Проверено 8 июня 2020 .
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме геликоидов . |
- "Геликоид" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Интерактивный трехмерный геликоид на основе WebGL