Проблема Эрмита является открытой проблемой в области математики , связанной с Эрмят в 1848. Он просил способ выражения действительных чисел в виде последовательностей из натуральных чисел , такие , что последовательность в конечном счете периодическая именно тогда , когда исходное число является кубическим иррациональным .
Мотивация
Стандартный способ записи действительных чисел - их десятичное представление , например:
где 0 является целым числом , то целая часть из х , а 1 , 2 , 3 , ... являются целыми числами от 0 до 9. Учитывая это представление числа х равна
Вещественное число x является рациональным числом только в том случае, если его десятичное представление в конечном итоге является периодическим, то есть если существуют такие натуральные числа N и p , что для любого n ≥ N это случай, когда a n + p = a n .
Другой способ выражения чисел - записать их в виде непрерывных дробей , например:
где a 0 - целое число, а a 1 , a 2 , a 3 … - натуральные числа. Из этого представления мы можем восстановить x, поскольку
Если x - рациональное число, то последовательность ( a n ) завершается после конечного числа членов. С другой стороны, Эйлер доказал, что иррациональные числа требуют бесконечной последовательности, чтобы выразить их в виде цепных дробей. [1] Кроме того, эта последовательность в конечном счете , периодическая (снова, так что есть натуральные числа N и р такие , что для каждого п ≥ N мы имеем в п + р = а п ), тогда и только тогда , когда х является квадратичной иррациональностью .
Вопрос Эрмита
Рациональные числа - это алгебраические числа , удовлетворяющие многочлену степени 1, а квадратичные иррациональные числа - это алгебраические числа, удовлетворяющие многочлену степени 2. Для обоих этих наборов чисел у нас есть способ построить последовательность натуральных чисел ( a n ) с свойство, что каждая последовательность дает уникальное действительное число и такое, что это действительное число принадлежит соответствующему набору тогда и только тогда, когда последовательность в конечном итоге является периодической.
В 1848 году Чарльз Эрмит написал письмо Карлу Густаву Джейкобу Якоби, в котором спрашивал, можно ли обобщить эту ситуацию, то есть можно ли присвоить последовательность натуральных чисел каждому действительному числу x так, чтобы последовательность в конечном итоге была периодической именно тогда, когда x является кубическим иррациональным, это алгебраическое число степени 3? [2] [3] Или, в более общем смысле, для каждого натурального числа d есть способ присвоить последовательность натуральных чисел каждому действительному числу x, которое можно выбрать, когда x является алгебраическим числом степени d ?
Подходы
Последовательности, которые пытаются решить проблему Эрмита, часто называют многомерными цепными дробями . Сам Якоби придумал ранний пример, найдя последовательность, соответствующую каждой паре действительных чисел ( x , y ), которая действовала как многомерный аналог цепных дробей. [4] Он надеялся показать, что последовательность, присоединенная к ( x , y ), в конечном итоге была периодической тогда и только тогда, когда и x, и y принадлежали полю кубического числа , но не смог этого сделать, и так ли это, остается нерешенным.
В 2015 году впервые было обеспечено периодическое представление любого кубического иррационального числа с помощью троичных цепных дробей, т. Е. Решена проблема записи кубических иррациональных чисел в виде периодической последовательности рациональных или целых чисел. Однако периодическое представление не выводится из алгоритма, определенного для всех действительных чисел, а выводится только исходя из знания минимального многочлена кубической иррациональности. [5]
Вместо обобщения непрерывных дробей существует другой подход к проблеме, заключающийся в обобщении функции вопросительного знака Минковского . Эта функция? : [0, 1] → [0, 1] также выбирает квадратичные иррациональные числа, поскольку? ( X ) рационально тогда и только тогда, когда x является либо рациональным, либо квадратичным иррациональным числом, и, кроме того, x рационально тогда и только тогда, когда? ( х ) является двоично - рациональным , таким образом , х является квадратичной иррациональным именно тогда , когда? ( х ) не является двоично - рациональным числом. Были сделаны различные обобщения этой функции либо на единичный квадрат [0, 1] × [0, 1], либо на двумерный симплекс , хотя ни одно из них еще не решило проблему Эрмита. [6] [7]
Рекомендации
- ^ "E101 - Introductio in analysin infinitorum, volume 1" . Проверено 16 марта 2008 .
- ^ Эмиль Пикар, L'œuvre scientifique de Charles Hermite , Ann. Sci. École Norm. Как дела. 3 18 (1901), стр. 9–34.
- ^ Extraits de lettres de M. Ch. Hermite à M. Jacobi по различным объектам теории имен. (Продолжение). , Журнал für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik 40 (1850), pp.279-315, DOI : 10.1515 / crll.1850.40.279
- ^ CGJ Jacobi, Allgemeine Theorie der kettenbruchänlichen Algorithmen, in welche jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird (английский язык: Общая теория алгоритмов, подобных непрерывной дроби, в которых каждое число формируется из трех предыдущих ), Journal für die reine und angewandte Mathematik 69 (1868), стр.29–64.
- ^ Надир Мурру, О периодической записи кубических иррациональных чисел и обобщении функций Редеи , Int. Ж. Теория чисел 11 (2015), вып. 3, стр. 779-799, DOI: 10.1142 / S1793042115500438
- ^ L. Kollros, Un Algorithme льют l'приближение simultanée - де - де Granduers , инаугурационной-диссертацией, Universität Zürich, 1905.
- ^ Ольга Р. Бивер, Томас Гаррити, Двумерная функция Минковского? (X) , J. Теория чисел 107 (2004), нет. 1. С. 105–134.