Шестиугольник

Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	16
Символ Шлефли	{16}, т {8}, тт {4}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D ₁₆ ), порядок 2 × 16
Внутренний угол ( градусы )	157,5 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В математике шестиугольник - это многоугольник с шестнадцатью сторонами . ^[1]

Правильный шестиугольник

Регулярный hexadecagon является hexadecagon , в котором все углы равны и все стороны равны. Его символ Шлефли - {16}, и его можно построить как усеченный восьмиугольник , t {8}, и дважды усеченный квадрат tt {4}. Усеченный шестиугольник, t {16}, представляет собой триаконтадигон , {32}.

Строительство

Поскольку 16 = 2 ⁴ (степень двойки ), правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки : это уже было известно древнегреческим математикам. ^[2]

Построение правильного шестиугольника
с заданной длиной стороны, анимация. (Конструкция очень похожа на восьмиугольник с заданной длиной стороны .)

Измерения

Каждый угол правильного шестиугольника составляет 157,5 градусов , а общая величина угла любого шестиугольника составляет 2520 градусов.

Площадь регулярного hexadecagon с длиной ребра т является

{\ displaystyle {\ begin {align} A = 4t ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {16}} = & 4t ^ {2} \ left (1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {4 + 2 {\ sqrt {2}}}} \ right) \\ = & 4t ^ {2} ({\ sqrt {2}} + 1) ({\ sqrt {4-2 {\ sqrt {2} }}} + 1). \ End {выравнивается}}}

Поскольку hexadecagon имеет число сторон , которое является степенью два , его площадь может быть вычислена в терминах описанной окружности R посредством усечения формулы Виета :

{\ displaystyle A = R ^ {2} \ cdot {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2}}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt { 2 + {\ sqrt {2}}}}} = 4R ^ {2} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}.}

Поскольку площадь описанной окружности представляет собой правильный шестиугольник, он заполняет приблизительно 97,45% описанной окружности. ${\ displaystyle \ pi R ^ {2},}$

Симметрия

Симметрия
	14 симметрий правильного шестиугольника. Линии отражений синие по вершинам, пурпурные по краям, а порядок вращения указан в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии.

Регулярный hexadecagon имеет DIH ₁₆ симметрии, порядка 32. Есть 4 двугранные подгруппы: DIH ₈ , DIH ₄ , DIH ₂ и DIH ₁ и 5 циклические подгруппы : Z ₁₆ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ , последнее подразумевает отсутствие симметрии.

На правильном шестиугольнике имеется 14 различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r32, а никакая симметрия не обозначается как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены как g для их центральных порядков вращения. ^[3]

Наиболее распространенными шестиугольниками с высокой симметрией являются d16 , изогональный шестиугольник, построенный из восьми зеркал, может чередоваться длинные и короткие края, и p16 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершинами, чередующимися с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g16 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Расслоение

16-кубовая проекция	112 рассечение ромба
	Обычный	Изотоксал

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для регулярной hexadecagon , м = 8, и он может быть разделен на 28: 4 квадрата и 3 комплекта 8 ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции 8-куба Петри с 28 гранями из 1792. Список OEIS : A006245 Перечисляет количество решений как 1232944, включая до 16-кратных поворотов и хиральных форм в отражении.

Рассечение на 28 ромбов
8-куб

Наклонить шестиугольник

3 правильных косых зигзагообразных шестиугольника
{8} # {}	{ 8 ⁄ 3 } # {}	{ 8 ⁄ 5 } # {}

Регулярное перекос hexadecagon рассматривается как зигзаги ребер восьмиугольной антипризмы , в octagrammic антипризмы , и octagrammic перечеркнутой антипризмы .

Перекос hexadecagon является перекос многоугольник с 24 вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определяется. Перекос зигзаг hexadecagon имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.

Регулярная перекос hexadecagon является вершина-симметрическая с равными длинами ребер. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, и его можно будет увидеть в вершинах и боковых гранях восьмиугольной антипризмы с той же симметрией D _8d , [2 ⁺ , 16], порядка 32. Октаграммная антипризма , s { 2,16 / 3} и октаграмматическая скрещенная антипризма , s {2,16 / 5} также имеют правильные скошенные восьмиугольники.

Полигоны Петри

Правильный шестиугольник - это многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, показанных в этих косых ортогональных проекциях , в том числе:

А ₁₅	В ₈		D ₉		2Б ₂ (4Д)
15-симплекс	8-ортоплекс	8-куб	6 11	1 61	8-8 дуопирамид	8-8 дуопризма

Связанные цифры

Hexadecagram представляет собой 16-сторонний многоугольник , звезда, представленный символом {16 / N}. Есть три правильных звездообразных многоугольника : {16/3}, {16/5}, {16/7}, использующие одни и те же вершины, но соединяющие каждую третью, пятую или седьмую точки. Также есть три соединения: {16/2} уменьшается до 2 {8} как два восьмиугольника , {16/4} уменьшается до 4 {4} как четыре квадрата и {16/6} уменьшается до 2 {8/3 } как две октаграммы , и, наконец, {16/8} сокращается до 8 {2} как восемь двуугольников .

Составные и звездные шестиугольники
Форма	Выпуклый многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{16/1} или {16}	{16/2} или 2 {8}	{16/3}	{16/4} или 4 {4}
Внутренний угол	157,5 °	135 °	112,5 °	90 °
Форма	Звездный многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{16/5}	{16/6} или 2 {8/3}	{16/7}	{16/8} или 8 {2}
Внутренний угол	67,5 °	45 °	22,5 °	0 °

Более глубокие усечения правильного восьмиугольника и октаграммы могут давать изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы гексадекаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. ^[5]

Усеченный восьмиугольник - это шестиугольник, t {8} = {16}. Квазиусеченный восьмиугольник, перевернутый как {8/7}, представляет собой гексадикаграмму: t {8/7} = {16/7}. Усеченная октаграмма {8/3} - это гексадекаграмма: t {8/3} = {16/3}, а квазиусеченная октаграмма, перевернутая как {8/5}, - это гексадекаграмма: t {8/5} = {16 / 5}.

Изогональные усечения восьмиугольника и октаграммы
Квазирегулярный	Изогональный	Квазирегулярный
t {8} = {16}		т {8/7} = {16/7}
т {8/3} = {16/3}		т {8/5} = {16/5}

В искусстве

Шестиугольная башня из романа Рафаэля " Обручение Богородицы"

В начале XVI века Рафаэль первым построил перспективное изображение правильного шестиугольника: башня на его картине «Женитьба Богородицы» имеет 16 сторон, развивая восьмиугольную башню на предыдущей картине Пьетро Перуджино . ^[6]

Шестнадцатеричный узор из Альгамбры

Гексадекаграммы (16-сторонние звездчатые многоугольники ) включены в узоры Гириха в Альгамбре . ^[7]

Другие

На Филиппинах на местных карнавалах (периахан) колеса обозрения на 16 мест или гондолы являются обычным явлением.

В Мехико «Parque del ejecutivo» представляет собой небольшой шестиугольный парк, окруженный шестиугольной кольцевой дорогой, а также 16 дорогами, которые идут радиально наружу, создавая при этом более крупные шестиугольники. Просмотр карт Google

Неправильные шестиугольники

Восьмиугольная звезда может рассматриваться как вогнутая hexadecagon:

Смотрите также

Сеть Rhumbline

использованная литература

Перейти ↑ Weisstein, Eric W. (2002). CRC Краткая энциклопедия математики, второе издание . CRC Press. п. 1365. ISBN 9781420035223.
^ Коши, Томас (2007), Элементарная теория чисел с приложениями (2-е изд.), Academic Press, стр. 142, ISBN 9780080547091.
^ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278)
^ Кокстер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр.141
^ Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум
^ Speiser, Дэвид (2011), «Архитектура, математика и теология в картинах Рафаэля», в Уильямс, Ким (ред.), Перекресток: История науки, История искусства. Очерки Дэвида Спейзера, т. II , Springer, стр. 29–39, DOI : 10.1007 / 978-3-0348-0139-3_3. Первоначально опубликовано в Nexus III: Architecture and Mathematics , Kim Williams , ed. (Оспедалетто, Пиза: Pacini Editore, 2000), стр. 147–156.
^ Хэнкин, Е. Ханбери (май 1925 г.), "Примеры способов рисования шаблонов геометрической арабески", Математическая газета , 12 (176): 370-373, DOI : 10,2307 / 3604213.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольник» . MathWorld .

[Weisstein2002-1] Перейти ↑ Weisstein, Eric W. (2002). CRC Краткая энциклопедия математики, второе издание . CRC Press. п. 1365. ISBN 9781420035223.

[2] Коши, Томас (2007), Элементарная теория чисел с приложениями (2-е изд.), Academic Press, стр. 142, ISBN 9780080547091.

[3] Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278)

[4] Кокстер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр.141

[5] Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

[6] Speiser, Дэвид (2011), «Архитектура, математика и теология в картинах Рафаэля», в Уильямс, Ким (ред.), Перекресток: История науки, История искусства. Очерки Дэвида Спейзера, т. II , Springer, стр. 29–39, DOI : 10.1007 / 978-3-0348-0139-3_3. Первоначально опубликовано в Nexus III: Architecture and Mathematics , Kim Williams , ed. (Оспедалетто, Пиза: Pacini Editore, 2000), стр. 147–156.

[7] Хэнкин, Е. Ханбери (май 1925 г.), "Примеры способов рисования шаблонов геометрической арабески", Математическая газета , 12 (176): 370-373, DOI : 10,2307 / 3604213.

[1]