В математике , А алгебра Хопфа , названная в честь Heinz Хопфа , является структурой , которая является одновременно ( унитальным ассоциативной) алгебра и (counital coassociative) коалгебра , с совместимостью этих структур делают его биалгебру , и что , кроме того оснащено антиавтоморфизмом удовлетворяющие определенному свойству. Теория представлений алгебры Хопфа особенно хороша, поскольку существование совместимого коумножения, коэлита и антипода позволяет строить тензорные произведения представлений, тривиальных представлений и двойственных представлений.
Алгебры Хопфа естественным образом встречаются в алгебраической топологии , откуда они возникли, и связаны с концепцией H-пространства , в теории групповых схем , в теории групп (через концепцию группового кольца ) и во многих других местах, что делает их, вероятно, наиболее распространенными. знакомый тип биалгебры . Алгебры Хопфа также изучаются сами по себе, с большой работой над конкретными классами примеров, с одной стороны, и проблемами классификации, с другой. У них есть самые разные приложения - от физики конденсированного состояния и квантовой теории поля [1] до теории струн [2] и феноменологии LHC . [3]
Формальное определение
Формально алгебра Хопфа - это (ассоциативная и коассоциативная) биалгебра H над полем K вместе с K- линейным отображением S : H → H (называемым антиподом ), такая что следующая диаграмма коммутирует :
Здесь Δ - коумножение биалгебры, - ее умножение, η - ее единица, а ε - ее счетчик. В нотации Sumless Sweedler это свойство также может быть выражено как
Что же касается алгебры , можно заменить , лежащий в основе поля K с коммутативным кольцом R в приведенном выше определении. [4]
Определение алгебры Хопфа является самодуальным (что отражено в симметрии приведенной выше диаграммы), поэтому, если можно определить двойственное к H (что всегда возможно, если H конечномерно), то это автоматически алгебра Хопфа. . [5]
Структурные константы
Крепление основы для основного векторного пространства можно определить алгебру в терминах структурных констант для умножения:
для совместного умножения:
и антипод:
Тогда ассоциативность требует, чтобы
в то время как соассоциативность требует, чтобы
Связующая аксиома требует, чтобы
Свойства антипода
Антиподом S иногда требуется , чтобы иметь K -линейные обратный, который является автоматическим в конечномерном случае [ разъяснение необходимости ] , или если Н является коммутативным или кокоммутативен (или в более общем случае квазитреугольном ).
В общем случае , S является антигомоморфизмом , [6] , так S 2 является гомоморфизм , который , следовательно , является автоморфизмом , если S был обратим (как может потребоваться).
Если S 2 = id H , то алгебра Хопфа называется инволютивной (а основная алгебра с инволюцией является * -алгеброй ). Если H конечномерно полупросто над полем нулевой характеристики, коммутативно или кокоммутативно, то оно инволютивно.
Если биалгебра B допускает антипод S , то S единственна («биалгебра допускает не более 1 структуры алгебры Хопфа»). [7] Таким образом, антипод не создает никакой дополнительной структуры, которую мы можем выбрать: быть алгеброй Хопфа - это свойство биалгебры.
Антипод является аналогом отображения инверсии на группе, которое переводит g в g −1 . [8]
Подалгебры Хопфа
Подалгебру из алгебры Хопфа H подалгебра Хопфа , если это subcoalgebra из H и антипод S отображает A в A . Другими словами, подалгебра Хопфа A является алгеброй Хопфа сама по себе, когда умножение, коумножение, коумножение и антипод H ограничены A (и, кроме того, тождество 1 H требуется, чтобы находиться в A). Теорема Николса – Зеллера о свободе установила (в 1989 г.), что естественный A- модуль H не имеет конечного ранга, если H конечномерно: это обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп . Как следствие этой и интегральной теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.
Подалгебра Хопфа A называется нормальной справа в алгебре Хопфа H, если она удовлетворяет условию устойчивости ad r ( h ) ( A ) ⊆ A для всех h в H , где правое сопряженное отображение ad r определяется формулой ad г ( ч ) ( ) = S ( ч (1) ) ах (2) для всех а в А , ч в H . Точно так же подалгебра Хопфа A остается нормальной в H, если она устойчива относительно сопряженного слева отображения, заданного формулой ad l ( h ) ( a ) = h (1) aS ( h (2) ). Два условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен, и в этом случае A называется нормальной подалгеброй Хопфа.
Нормальная подалгебра Хопфа в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): HA + = + Н , где + обозначает ядро коединицы на K . Из этого условия нормальности следует, что HA + - идеал Хопфа в H (т. Е. Идеал алгебры в ядре коединицы, коидеальная и устойчивая коалгебра относительно антипода). Как следствие, мы получаем фактор-алгебру Хопфа H / HA + и эпиморфизм H → H / A + H , теорию, аналогичную теории нормальных подгрупп и фактор-групп в теории групп . [9]
Заказы Хопфа
Хопфа порядок вывода над областью целостности R с полем частных K представляет собой порядок в алгебре Хопфа H над K , который закрыт под алгебры и коалгебра операций: в частности, коумножение Δ отображает вывода для вывода ⊗ вывода . [10]
Групповые элементы
Группы , как элемент является ненулевым элементом х таким образом, что Δ ( х ) = х ⊗ х . Группоподобные элементы образуют группу с инверсией, задаваемой антиподом. [11] Для примитивного элемента x выполняется Δ ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x . [12] [13]
Примеры
В зависимости от | Умножение | Графство | Антипод | Коммутативный | Кокоммутативный | Замечания | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
групповая алгебра KG | группа G | Δ ( g ) = g ⊗ g для всех g в G | ε ( g ) = 1 для всех g в G | S ( g ) = g −1 для всех g в G | тогда и только тогда, когда G абелева | да | |
функции f из конечной [14] группы в K , K G (с поточечным сложением и умножением) | конечная группа G | Δ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) | ε ( f ) = f (1 г ) | S ( е ) ( х ) = е ( х - 1 ) | да | тогда и только тогда, когда G абелева | |
Представительные функции на компактной группе | компактная группа G | Δ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) | ε ( f ) = f (1 г ) | S ( е ) ( х ) = е ( х - 1 ) | да | тогда и только тогда, когда G абелева | Наоборот, любая коммутативная инволютивная редуцированная алгебра Хопфа над C с конечным интегралом Хаара возникает таким образом, что дает одну формулировку двойственности Таннаки – Крейна . [15] |
Регулярные функции на алгебраической группе | Δ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) | ε ( f ) = f (1 г ) | S ( е ) ( х ) = е ( х - 1 ) | да | тогда и только тогда, когда G абелева | Наоборот, всякая коммутативная алгебра Хопфа над полем возникает из групповой схемы таким образом, что дает антиэквивалентность категорий. [16] | |
Тензорная алгебра T ( V ) | векторное пространство V | Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x , x в V , Δ (1) = 1 ⊗ 1 | ε ( х ) = 0 | S ( x ) = - x для всех x в 'T 1 ( V ) (и расширен до более высоких тензорных степеней) | Если и только если dim ( V ) = 0,1 | да | симметрическая алгебра и внешняя алгебра (которые являются факторами тензорной алгебры) также являются алгебрами Хопфа с этим определением коумножения, коединицы и антипода. |
Универсальная обертывающая алгебра U (g) | Алгебра Ли g | Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для каждого x в g (это правило совместимо с коммутаторами и, следовательно, может быть однозначно распространено на все U ) | ε ( x ) = 0 для всех x в g (опять же, продолжено на U ) | S ( х ) = - х | тогда и только тогда, когда g абелева | да | |
Алгебра Хопфа Свидлера H = K [ c , x ] / c 2 = 1, x 2 = 0 и xc = - cx . | K - поле с характеристикой, отличной от 2 | Δ ( c ) = c ⊗ c , Δ ( x ) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ (1) = 1 ⊗ 1 | ε ( c ) = 1 и ε ( x ) = 0 | S ( c ) = c −1 = c и S ( x ) = - cx | нет | нет | Основное векторное пространство порождается {1, c , x , cx } и, таким образом, имеет размерность 4. Это наименьший пример алгебры Хопфа, которая одновременно некоммутативна и некокоммутативна. |
кольцо симметричных функций [17] | через полные однородные симметричные функции h k ( k ≥ 1): Δ ( ч к ) знак равно 1 ⊗ ч К + ч 1 ⊗ ч к −1 + ... + ч к −1 ⊗ ч 1 + ч к ⊗ 1. | ε ( h k ) = 0 | S ( h k ) = (−1) k e k | да | да |
Обратите внимание, что функции на конечной группе можно отождествить с групповым кольцом, хотя их более естественно рассматривать как двойственные - групповое кольцо состоит из конечных сумм элементов и, таким образом, соединяется с функциями на группе, вычисляя функцию на суммированном элементы.
Когомологии групп Ли
Алгебра когомологий (над полем ) группы Ли является алгеброй Хопфа: умножение обеспечивается чашечным произведением , а коумножение
групповым умножением . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.
Теорема (Хопфа) [18] Пусть- конечномерная градуированная коммутативная градуированная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда (как алгебра) - это свободная внешняя алгебра с образующими нечетной степени.
Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Все приведенные выше примеры либо коммутативны (т.е. умножение коммутативно ), либо ко-коммутативно (то есть [19] ∆ = T ∘ ∆, где твист-отображение [20] T : H ⊗ H → H ⊗ H определяется как T ( x ⊗ у ) = у ⊗ х ). Другими интересными алгебрами Хопфа являются определенные «деформации» или « квантования » алгебр из примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни ко-коммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют квантовыми группами - термин, который до сих пор определяется нечетко. Они важны в некоммутативной геометрии , идея заключается в следующем: стандартная алгебраическая группа хорошо описывается своей стандартной алгеброй Хопфа регулярных функций; тогда мы можем думать о деформированной версии этой алгебры Хопфа как о некой «нестандартной» или «квантованной» алгебраической группе (которая вообще не является алгебраической группой). Хотя кажется, что нет прямого способа определять или манипулировать этими нестандартными объектами, можно по-прежнему работать с их алгебрами Хопфа и действительно отождествлять их с их алгебрами Хопфа. Отсюда и название «квантовая группа».
Теория представлений
Пусть A - алгебра Хопфа, а M и N - A -модули. Тогда M ⊗ N также является A -модулем, причем
для m ∈ M , n ∈ N и ∆ ( a ) = ( a 1 , a 2 ). Кроме того, мы можем определить тривиальное представление как базовое поле K с
для м ∈ K . Наконец, можно определить двойственное представление A : если M - A -модуль, а M * - его двойственное пространство, то
где F ∈ M * и т ∈ M .
Связь между Δ, ε и S гарантирует, что некоторые естественные гомоморфизмы векторных пространств действительно являются гомоморфизмами A -модулей. Например, естественные изоморфизмы векторных пространств M → M ⊗ K и M → K ⊗ M также являются изоморфизмами A -модулей. Кроме того, отображение векторных пространств M * ⊗ M → K с f ⊗ m → f ( m ) также является гомоморфизмом A -модулей. Однако отображение M ⊗ M * → K не обязательно является гомоморфизмом A -модулей.
Связанные понятия
Градуированные алгебры Хопфа часто используются в алгебраической топологии : они представляют собой естественную алгебраическую структуру на прямой сумме всех групп гомологий или когомологий H-пространства .
Локально компактные квантовые группы обобщают алгебры Хопфа и несут топологию . Алгебра всех непрерывных функций на группе Ли является локально компактной квантовой группой.
Квазихопфовые алгебры являются обобщениями алгебр Хопфа, где коассоциативность сохраняется только с точностью до твиста. Они были использованы при изучении уравнений Книжника – Замолодчикова . [21]
Мультипликаторные алгебры Хопфа, введенные Альфонсом Ван Даэлем в 1994 г. [22], являются обобщениями алгебр Хопфа, где коумножение алгебры (с единицей или без нее) на алгебру мультипликаторов тензорной алгебры произведения алгебры с самой собой.
Групповые (ко) алгебры Хопфа, введенные В. Г. Тураевым в 2000 г., также являются обобщениями алгебр Хопфа.
Слабые алгебры Хопфа
Слабые алгебры Хопфа или квантовые группоиды являются обобщениями алгебр Хопфа. Подобно алгебрам Хопфа, слабые алгебры Хопфа образуют самодуальный класс алгебр; т.е. если H - (слабая) алгебра Хопфа, то H * - двойственное пространство линейных форм на H (по отношению к структуре алгебры-коалгебры, полученной естественным спариванием с H и ее структурой коалгебра-алгебры). Слабая алгебра Хопфа H обычно считается
- конечномерна алгебра и коалгебра с копроизведением А: Н → Н ⊗ Н и коединица & epsi ; : H → K , удовлетворяющий все аксиомами алгебры Хопфа , за исключением , возможно , Д (1) ≠ 1 ⊗ 1 или е ( абы ) ≠ ε ( ) & epsi ; ( б ) для некоторых а, Ь в Н . Вместо этого требуется следующее:
- для всех в , б , и с в Н .
- H имеет ослабленный антипод S : H → H, удовлетворяющий аксиомам:
- для всех a в H (правая часть представляет собой интересную проекцию, обычно обозначаемую Π R ( a ) или ε s ( a ) с изображением сепарабельной подалгебры, обозначаемой H R или H s );
- для всех a в H (другая интересная проекция, обычно обозначаемая как Π R ( a ) или ε t ( a ), образ которой является сепарабельной алгеброй H L или H t , антиизоморфной H L посредством S );
- для всех а в H .
- Заметим, что если ∆ (1) = 1 ⊗ 1, эти условия сводятся к двум обычным условиям на антипод алгебры Хопфа.
Частично аксиомы выбраны так, что категория H -модулей является жесткой моноидальной категорией . Единичный H -модуль - это упомянутая выше сепарабельная алгебра H L.
Например, алгебра конечных группоидов является слабой алгеброй Хопфа. В частности, группоидом алгебра на [N] с одной парой обратима стрелки е IJ и е ц между I и J в [ п ] изоморфна алгебре Н из п х п матриц. Структура слабой алгебры Хопфа на этой конкретной H задается копроизведением ∆ ( e ij ) = e ij ⊗ e ij , countit ε ( e ij ) = 1 и антиподом S ( e ij ) = e ji . Сепарабельные подалгебры H L и H R совпадают и в этом частном случае являются нецентральными коммутативными алгебрами (подалгеброй диагональных матриц).
Ранние теоретические вклады в слабые алгебры Хопфа можно найти в [23], а также в [24].
Алгеброиды Хопфа
См. Алгеброид Хопфа
Аналогия с группами
Группы могут быть аксиоматизированы с помощью тех же диаграмм (то есть операций), что и алгебра Хопфа, где G рассматривается как множество, а не модуль. В таком случае:
- поле K заменяется одноточечным множеством
- есть естественная страна (сопоставить с 1 точкой)
- есть естественное коумножение (диагональное отображение)
- единица является тождественным элементом группы
- умножение - это умножение в группе
- антипод обратный
В этой философии группу можно рассматривать как алгебру Хопфа над « полем с одним элементом ». [25]
Алгебры Хопфа в сплетенных моноидальных категориях
Определение алгебры Хопфа естественным образом распространяется на произвольные сплетенные моноидальные категории . [26] [27] Алгебра Хопфа в такой категории шестерка где это объект в , а также
- (умножение),
- (Ед. изм),
- (коумножение),
- (счет),
- (антипод)
- морфизмы в такой, что
- 1) тройка является моноидом в моноидальной категории , т.е. следующие диаграммы коммутативны: [28]
- 2) тройной является comonoid в моноидальной категории , т.е. следующие диаграммы коммутативны: [28]
- 3) структуры моноида и комоноида на совместимы: умножение и блок являются морфизмами комоноидов, и (в данной ситуации это эквивалентно) в то же время коумножение и графство морфизмы моноидов; это означает, что следующие диаграммы должны быть коммутативными: [29]
- пятерка со свойствами 1), 2), 3) называется биалгеброй в категории ;
- 4) диаграмма антипода коммутативна:
Типичные примеры следующие.
- Группы . В моноидальной категориииз множеств (с декартовым произведением как тензорное произведение, а произвольный синглетон, скажем, , как единичный объект) тройка является моноидом в категорическом смысле тогда и только тогда, когда он является моноидом в обычном алгебраическом смысле , т. е. если операции а также вести себя как обычное умножение и единица в (но возможно без обратимости элементов ). При этом тройной является комоноидом в категорическом смысле тогда и только тогда, когда диагональная операция (и операция также определяется однозначно: ). И любая такая структура комоноида совместим с любой структурой моноида в том смысле, что диаграммы в разделе 3 определения всегда коммутируют. Как следствие, каждый моноид в естественно рассматривать как биалгебру в , и наоборот. Существование антипода для такой биалгебры означает, что каждый элемент имеет обратный элемент относительно умножения . Таким образом, в категории множествАлгебры Хопфа - это в точности группы в обычном алгебраическом смысле.
- Классические алгебры Хопфа . В частном случае, когда категория векторных пространств над данным полем , алгебры Хопфа в являются в точности описанными выше классическими алгебрами Хопфа .
- Функциональные алгебры на группах . Стандартные функциональные алгебры , , , (непрерывных гладких голоморфных регулярных функций) на группах являются алгебрами Хопфа в категории ( Ste ,) стереотипных пространств , [30]
- Групповые алгебры . В стереотипа групповые алгебры , , , (мер, распределений, аналитических функционалов и токов) на группах являются алгебрами Хопфа в категории ( Ste ,) стереотипных пространств . [30] Эти алгебры Хопфа используются в теориях двойственности для некоммутативных групп . [31]
Смотрите также
- Квазитреугольная алгебра Хопфа
- Алгебра / аналогия множеств
- Теория представлений алгебр Хопфа
- Ленточная алгебра Хопфа
- Супералгебра
- Супергруппа
- Аньонная алгебра Ли
- Алгебра Свидлера Хопфа
- Алгебра перестановок Хопфа
- Теорема Милнора – Мура
Примечания и ссылки
Заметки
- ^ Холдейн, FDM; Ha, ZNC; Talstra, JC; Бернард, Д .; Паскье, В. (1992). «Янгианская симметрия интегрируемых квантовых цепочек с дальнодействующими взаимодействиями и новое описание состояний в конформной теории поля». Письма с физическим обзором . 69 (14): 2021–2025. Bibcode : 1992PhRvL..69.2021H . DOI : 10.1103 / physrevlett.69.2021 . PMID 10046379 .
- ^ Plefka, J .; Разлив, F .; Торриелли, А. (2006). "Структура алгебры Хопфа S-матрицы AdS / CFT". Physical Review D . 74 (6): 066008. arXiv : hep-th / 0608038 . Bibcode : 2006PhRvD..74f6008P . DOI : 10.1103 / PhysRevD.74.066008 . S2CID 2370323 .
- ^ Абреу, Самуэль; Бритто, Рут ; Дур, Клод; Гарди, Эйнан (01.12.2017). «Диаграмматическая алгебра Хопфа разрезных интегралов Фейнмана: однопетлевой случай». Журнал физики высоких энергий . 2017 (12): 90. arXiv : 1704.07931 . Bibcode : 2017JHEP ... 12..090A . DOI : 10.1007 / jhep12 (2017 г.) 090 . ISSN 1029-8479 . S2CID 54981897 .
- ↑ Андервуд (2011), стр.55
- ↑ Андервуд (2011), стр.62
- ^ Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Предложение 4.2.6 . п. 153. Неизвестный параметр
|book-title=
игнорируется ( справка ) - ^ Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Примечания 4.2.3 . п. 151. Неизвестный параметр
|book-title=
игнорируется ( справка ) - ^ Конспекты лекций квантовых групп
- ↑ Монтгомери (1993) стр.36
- ↑ Андервуд (2011), стр.82
- ^ Hazewinkel, Michiel; Губарени Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2010). Алгебры, кольца и модули: алгебры Ли и алгебры Хопфа . Математические обзоры и монографии. 168 . Американское математическое общество . п. 149. ISBN. 978-0-8218-7549-0.
- ^ Михалев Александр Васильевич; Pilz, Günter, eds. (2002). Краткий справочник по алгебре . Springer-Verlag . п. 307, С.42. ISBN 978-0792370727.
- ^ Абэ, Эйити (2004). Алгебры Хопфа . Кембриджские трактаты по математике. 74 . Издательство Кембриджского университета . п. 59. ISBN 978-0-521-60489-5.
- ^ Конечность G следуетчто K G ⊗ K G естественно изоморфно K G х G . Это используется в приведенной выше формуле для коумножения. Для бесконечных групп G , К G ⊗ K G является собственным подмножеством K G х G . В этом случае пространство функций с конечным носителем можно снабдить структурой алгебры Хопфа.
- ^ Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дей, стр. 14–32.
- ^ Янцен, Йенс Карстен (2003), Представления алгебраических групп , Математические обзоры и монографии, 107 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3527-2, раздел 2.3
- ^ См. Майкл Хазевинкель, Симметричные функции, некоммутативные симметричные функции и квазисимметричные функции , Acta Applicandae Mathematica, январь 2003 г., том 75, выпуск 1-3, стр. 55–83.
- ^ Хопф, Хайнц (1941). "Über die Topologie der Gruppen – Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen". Аня. математики . 2 (на немецком языке). 42 (1): 22–52. DOI : 10.2307 / 1968985 . JSTOR 1968985 .
- ↑ Андервуд (2011), стр.57
- ↑ Андервуд (2011), стр.36
- ^ Монтгомери (1993) стр. 203
- ^ Ван Даэль, Альфонс (1994). "Мультипликаторные алгебры Хопфа" (PDF) . Труды Американского математического общества . 342 (2): 917–932. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1994-1220906-5 .
- ^ Бём, Габриэлла; Нилл, Флориан; Szlachanyi, Kornel (1999). «Слабые алгебры Хопфа». J. Алгебра . 221 (2): 385–438. arXiv : math / 9805116 . DOI : 10.1006 / jabr.1999.7984 . S2CID 14889155 .
- ^ Дмитрий Никшич, Леонид Вайнерман, в: Новое направление в алгебрах Хопфа, С. Монтгомери и Х.-Дж. Шнайдер, ред., Публикации ИИГС, т. 43, Кембридж, 2002, 211–262.
- ^ Группа = алгебра Хопфа «Секретный семинар по ведению блогов , Групповые объекты и алгебры Хопфа , видео Саймона Виллертона.
- ^ Тураев и Virelizier 2017 , 6,2.
- ↑ Акбаров 2009 , с. 482.
- ^ a b Здесь, , являются естественными преобразованиями ассоциативности, а левой и правой единиц в моноидальной категории .
- ^ Здесь левый единичный морфизм в , а также естественное преобразование функторов что является уникальным в классе естественных преобразований функторов, составленных из структурных преобразований (ассоциативность, левые и правые единицы, транспонирование и их обратные) в категории .
- ^ а б Акбаров 2003 , 10.3.
- ↑ Акбаров 2009 .
Рекомендации
- Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Щербан (2001), Алгебры Хопфа. Введение , Чистая и прикладная математика, 235 (1-е изд.), Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-0481-0, Zbl 0962,16026.
- Картье, Пьер (2007), «Учебник по алгебрам Хопфа», в Cartier, P .; Moussa, P .; Юлия, Б .; Vanhove, П. (ред.), Frontiers в теории чисел, физики и геометрии , II , Берлин: Springer, С. 537-615,. DOI : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_12 , ISBN 978-3-540-30307-7
- Фукс, Юрген (1992), аффинные алгебры Ли и квантовые группы. Введение с приложениями в конформной теории поля , Кембриджские монографии по математической физике, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48412-1, Zbl 0925,17031
- Хайнц Хопф , Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Mathematics 42 (1941), 22–52. Перепечатано в Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). МИСТЕР4784 , г. Zbl 0025.09303
- Монтгомери, Сьюзен (1993), алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, 82 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0738-5, Zbl 0793,16029
- Стрит, Росс (2007), Квантовые группы: путь к современной алгебре , Серия лекций Австралийского математического общества, 19 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69524-4, Руководство по ремонту 2294803 , Zbl 1117.16031.
- Свидлер, Мосс Э. (1969), алгебры Хопфа , серия лекций по математике, WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк, ISBN 9780805392548, MR 0252485 , Zbl 0194.32901
- Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl 1234,16022
- Тураев, Владимир; Вирелизье, Алексис (2017), Моноидальные категории и топологическая теория поля , Прогресс в математике, 322 , Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-49834-8 , ISBN 978-3-319-49833-1.
- Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. DOI : 10,1023 / А: 1020929201133 . S2CID 115297067 .
- Акбаров, С.С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . DOI : 10.1007 / s10958-009-9646-1 . S2CID 115153766 .