В квантовой механике , то принцип неопределенности (также известный как принцип неопределенности Гейзенберга ) является любым из множества математических неравенств [1] , утверждающих фундаментальный предел точности , с которой значение для некоторых пар физических величин в частицах , такие как положение , х , и импульс , р , может быть предсказано из начальных условий .
Такие пары переменных известны как дополнительные переменные или канонически сопряженные переменные; и, в зависимости от интерпретации, принцип неопределенности ограничивает, в какой степени такие сопряженные свойства сохраняют свое приблизительное значение, поскольку математическая основа квантовой физики не поддерживает понятие одновременно четко определенных сопряженных свойств, выражаемых одним значением. Принцип неопределенности подразумевает, что, как правило, невозможно предсказать значение величины с произвольной уверенностью, даже если указаны все начальные условия.
Впервые введенный в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом , принцип неопределенности гласит, что чем точнее определяется положение некоторой частицы, тем менее точно ее импульс можно предсказать из начальных условий, и наоборот. [2] Формальное неравенство, связывающее стандартное отклонение положения σ x и стандартное отклонение импульса σ p, было выведено Эрлом Гессе Кеннардом [3] позже в том же году и Германом Вейлем [4] в 1928 году:
где ħ - приведенная постоянная Планка , h / (2π ).
Исторически принцип неопределенности путали [5] [6] со связанным эффектом в физике , называемым эффектом наблюдателя , который отмечает, что измерения некоторых систем не могут быть выполнены без воздействия на систему, то есть без изменения чего-либо в системе. . Гейзенберг использовал такой эффект наблюдателя на квантовом уровне (см. Ниже) как физическое «объяснение» квантовой неопределенности. [7] Это с тех пор стало ясно, однако, что принцип неопределенности присущ в свойствах все волнообразный система , [8] , и что она возникает в квантовой механике просто из - за вопросом волновой природы всех квантовых объектов. Таким образом, принцип неопределенности фактически устанавливает фундаментальное свойство квантовых систем, а не является утверждением об успехе современных технологий с точки зрения наблюдений . [9] Следует подчеркнуть, что измерение означает не только процесс, в котором принимает участие физик-наблюдатель, но и любое взаимодействие между классическими и квантовыми объектами независимо от наблюдателя. [10] [примечание 1] [примечание 2]
Поскольку принцип неопределенности является таким основным результатом в квантовой механике, типичные эксперименты в квантовой механике обычно наблюдают его аспекты. Некоторые эксперименты, однако, могут намеренно проверять конкретную форму принципа неопределенности в рамках своей основной исследовательской программы. К ним относятся, например, проверки соотношений неопределенностей число – фаза в сверхпроводящих [12] или квантовых оптических [13] системах. Приложения, зависящие от принципа неопределенности для их работы, включают в себя технологию с чрезвычайно низким уровнем шума, такую как та, которая требуется в интерферометрах гравитационных волн . [14]
Вступление
Принцип неопределенности не так очевиден в макроскопических масштабах повседневного опыта. [15] Поэтому полезно продемонстрировать, как это применимо к более понятным физическим ситуациям. Две альтернативные концепции квантовой физики предлагают разные объяснения принципа неопределенности. Картина волновой механики принципа неопределенности визуально более интуитивна, но более абстрактная картина матричной механики формулирует ее таким образом, чтобы ее было легче обобщить.
С математической точки зрения, в волновой механике отношение неопределенности между положением и импульсом возникает из-за того, что выражения волновой функции в двух соответствующих ортонормированных базисах в гильбертовом пространстве являются преобразованиями Фурье друг друга (т.е. положение и импульс являются сопряженными переменными ). Ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно четко локализованы. Подобный компромисс между дисперсиями сопряженных Фурье возникает во всех системах, лежащих в основе анализа Фурье, например, в звуковых волнах: чистый тон - это резкий всплеск на одной частоте, а его преобразование Фурье дает форму звуковой волны во времени. домен, который представляет собой полностью делокализованную синусоидальную волну. В квантовой механике двумя ключевыми моментами являются то, что положение частицы принимает форму материальной волны , а импульс - это ее сопряженный по Фурье, что обеспечивается соотношением де Бройля p = ħk , где k - волновое число .
В матричной механике , математической формулировке квантовой механики , любая пара некоммутирующих самосопряженных операторов, представляющих наблюдаемые , подчиняется аналогичным пределам неопределенности. Собственное состояние наблюдаемого представляет состояние волновой функции для определенного значения измерения (собственное значение). Например, если измерение наблюдаемого А выполняются, то система находится в определенной собственной состоянии Ф того , что наблюдается. Однако конкретное собственное состояние наблюдаемой A не обязательно должно быть собственным состоянием другой наблюдаемой B : если это так, то у нее нет единственного ассоциированного измерения для нее, поскольку система не находится в собственном состоянии этой наблюдаемой. [16]
Интерпретация волновой механики
(Ссылка [10] )
Согласно гипотезе де Бройля , каждый объект во Вселенной представляет собой волну , т. Е. Ситуацию, которая порождает это явление. Положение частицы описывается волновой функцией . Не зависящая от времени волновая функция одномодовой плоской волны с волновым числом k 0 или импульсом p 0 равна
В Born правило гласит , что это должно быть истолковано как функция амплитуды плотности вероятности в том смысле , что вероятность нахождения частицы между и Ь является
В случае одномодовой плоской волны является равномерным распределением . Другими словами, положение частицы крайне неопределенно в том смысле, что она может находиться практически в любом месте волнового пакета.
С другой стороны, рассмотрим волновую функцию, которая является суммой многих волн , которую мы можем записать как
где A n представляет относительный вклад моды p n в общую сумму. На рисунках справа показано, как при добавлении множества плоских волн волновой пакет может стать более локализованным. Мы можем сделать еще один шаг к континуальному пределу, когда волновая функция является интегралом по всем возможным режимам.
с участием представляет собой амплитуду этих мод и называется волновой функцией в импульсном пространстве . В математических терминах мы говорим, чтоэто преобразование Фурье оти что x и p - сопряженные переменные . Сложение вместе всех этих плоских волн имеет свою цену, а именно, импульс стал менее точным, поскольку он стал смесью волн с множеством разных импульсов.
Одним из способов количественной оценки точности положения и импульса является стандартное отклонение σ . С - функция плотности вероятности для положения, мы вычисляем ее стандартное отклонение.
Точность положения улучшается, то есть уменьшается σ x , за счет использования множества плоских волн, тем самым ослабляя точность импульса, т.е. увеличивая σ p . Другими словами, σ x и σ p имеют обратную связь или, по крайней мере, ограничены снизу. Это принцип неопределенности, точным пределом которого является граница Кеннарда. Нажмите кнопку « Показать» ниже, чтобы увидеть полуформальный вывод неравенства Кеннарда с использованием волновой механики.
Доказательство неравенства Кеннарда с помощью волновой механики |
---|
Нас интересуют дисперсии позиции и импульса, определяемые как Не умаляя общности , мы будем считать, что средние значения обращаются в нуль, что равносильно смещению начала координат наших координат. (Более общее доказательство, которое не делает этого предположения, приводится ниже.) Это дает нам более простую форму Функция можно интерпретировать как вектор в функциональном пространстве . Мы можем определить внутреннее произведение для пары функций u ( x ) и v ( x ) в этом векторном пространстве: где звездочка означает комплексное сопряжение . После определения этого внутреннего продукта отметим, что дисперсия для позиции может быть записана как Мы можем повторить это для импульса, интерпретируя функцию как вектор, но мы также можем воспользоваться тем фактом, что а также являются преобразованиями Фурье друг друга. Мы оцениваем обратное преобразование Фурье путем интегрирования по частям : где сокращенный член обращается в нуль, поскольку волновая функция обращается в нуль на бесконечности. Часто терминназывается оператором импульса в позиционном пространстве. Применяя теорему Парсеваля , мы видим, что дисперсию импульса можно записать как Неравенство Коши-Шварца утверждает , что Квадрат модуля любого комплексного числа z может быть выражен как мы позволяем а также и подставьте их в приведенное выше уравнение, чтобы получить Остается только оценить эти внутренние продукты. Вставляя это в приведенные выше неравенства, мы получаем или извлечение квадратного корня Обратите внимание, что единственная физика, вовлеченная в это доказательство, заключалась в том, а также - волновые функции для положения и импульса, которые являются преобразованиями Фурье друг друга. Аналогичный результат верен для любой пары сопряженных переменных. |
Интерпретация матричной механики
(Ссылка [10] )
В матричной механике наблюдаемые, такие как положение и импульс, представлены самосопряженными операторами . При рассмотрении пар наблюдаемых важной величиной является коммутатор . Для пары операторов Â и B̂ их коммутатор определяется как
В случае положения и импульса коммутатором является каноническое коммутационное соотношение
Физический смысл некоммутативности можно понять, рассмотрев влияние коммутатора на собственные состояния положения и количества движения . Позволять- правое собственное состояние позиции с постоянным собственным значением x 0 . По определению это означает, что Применяя коммутатор к дает
где Î - тождественный оператор .
Предположим, для доказательства от противного , чтотакже является правым собственным состоянием импульса с постоянным собственным значением p 0 . Если бы это было правдой, то можно было бы написать
С другой стороны, указанное выше каноническое коммутационное соотношение требует, чтобы
Это означает, что никакое квантовое состояние не может быть одновременно и положением, и собственным состоянием импульса.
Когда состояние измеряется, оно проецируется на собственное состояние на основе соответствующей наблюдаемой. Например, если измеряется положение частицы, то состояние равно собственному состоянию положения. Это означает, что состояние не является собственным состоянием импульса, а, скорее, может быть представлено как сумма множества собственных состояний базиса импульса. Другими словами, импульс должен быть менее точным. Эта точность может быть определена количественно стандартными отклонениями ,
Как и в вышеприведенной интерпретации волновой механики, каждый видит компромисс между соответствующими точностями обоих, количественно определяемых принципом неопределенности.
Предел Гейзенберга
В квантовой метрологии , и особенно в интерферометрии , предел Гейзенберга - это оптимальная скорость, с которой точность измерения может масштабироваться с энергией, используемой при измерении. Обычно это измерение фазы (приложенное к одному плечу светоделителя ), а энергия выражается числом фотонов, используемых в интерферометре . Хотя некоторые утверждают, что они нарушили предел Гейзенберга, это отражает разногласия по поводу определения ресурса масштабирования. [17] Правильно определенный предел Гейзенберга является следствием основных принципов квантовой механики и не может быть побежден, хотя слабый предел Гейзенберга может быть побежден. [18]
Соотношения неопределенностей Робертсона – Шредингера
Наиболее распространенной общей формой принципа неопределенности является соотношение неопределенностей Робертсона . [19]
Для произвольного эрмитова оператора мы можем связать стандартное отклонение
где скобки указать математическое ожидание . Для пары операторов а также , мы можем определить их коммутатор как
В этих обозначениях соотношение неопределенностей Робертсона дается выражением
Соотношение неопределенности Робертсона сразу следует из несколько более сильного неравенства, соотношения неопределенности Шредингера , [20]
где мы ввели антикоммутатор ,
Доказательство соотношения неопределенностей Шредингера | ||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Показанный здесь вывод включает и основывается на выводах, показанных в Робертсоне [19], Шредингере [20] и стандартных учебниках, таких как Гриффитс. [21] Для любого эрмитова оператора, исходя из определения дисперсии , имеем мы позволяем и поэтому Аналогично для любого другого эрмитова оператора в том же состоянии для Таким образом, произведение двух отклонений может быть выражено как
Чтобы связать два вектора а также , воспользуемся неравенством Коши – Шварца [22], которое определяется как и, таким образом, уравнение. ( 1 ) можно записать как
С в общем случае комплексное число, мы используем тот факт, что квадрат модуля любого комплексного числа определяется как , где является комплексным сопряжением . Квадрат модуля также может быть выражен как
мы позволяем а также и подставьте их в приведенное выше уравнение, чтобы получить
Внутренний продукт явно записывается как и используя тот факт, что а также являются эрмитовыми операторами, находим Аналогичным образом можно показать, что Таким образом, мы имеем а также Теперь мы подставляем два приведенных выше уравнения обратно в уравнение. ( 4 ) и получаем Подставляя вышеуказанное в формулу. ( 2 ) получаем соотношение неопределенностей Шредингера В этом доказательстве есть проблема [23], связанная с доменами задействованных операторов. Чтобы доказательство имело смысл, вектордолжен быть в области неограниченного оператора , что не всегда так. Фактически, соотношение неопределенностей Робертсона неверно, если переменная угла и - производная по этой переменной. В этом примере коммутатор является ненулевой константой, как и в соотношении неопределенностей Гейзенберга, и все же есть состояния, в которых произведение неопределенностей равно нулю. [24] (См. Раздел контрпримеров ниже.) Эту проблему можно преодолеть, используя вариационный метод доказательства., [25] [26] или работая с возведенной в степень версии канонических коммутационных соотношений. [24] Отметим, что в общей форме соотношения неопределенностей Робертсона – Шредингера нет необходимости предполагать, что операторы а также являются самосопряженными операторами . Достаточно предположить, что это просто симметричные операторы . (Различие между этими двумя понятиями обычно замалчивается в физической литературе, где термин эрмитов используется для одного или обоих классов операторов. См. Главу 9 книги Холла [27] для подробного обсуждения этого важного, но технического различия. ) |
Смешанные состояния
Соотношение неопределенностей Робертсона – Шредингера может быть просто обобщено для описания смешанных состояний .
Соотношения неопределенностей Макконе – Пати
Соотношение неопределенностей Робертсона – Шредингера может быть тривиальным, если состояние системы выбрано как собственное состояние одной из наблюдаемых. Более сильные соотношения неопределенностей, доказанные Макконом и Пати, дают нетривиальные оценки суммы дисперсий для двух несовместимых наблюдаемых. [28] (Более ранние работы по соотношениям неопределенностей, сформулированным как сумма дисперсий, включают, например, [29] из-за Хуанга.) Для двух некоммутирующих наблюдаемых а также первое более сильное соотношение неопределенности дается формулой
где , , - нормированный вектор, ортогональный состоянию системы и следует выбрать знак чтобы сделать это реальное количество положительным числом.
Второе более сильное соотношение неопределенности дается выражением
где состояние ортогонально . Форма означает, что правая часть нового соотношения неопределенности отлична от нуля, если только является собственным состоянием . Можно отметить, что может быть собственным состоянием не являясь собственным состоянием или же . Однако когдаявляется собственным состоянием одной из двух наблюдаемых, соотношение неопределенностей Гейзенберга – Шредингера становится тривиальным. Но нижняя граница в новом соотношении отлична от нуля, если только является собственным состоянием обоих.
Фазовое пространство
В формулировке квантовой механики фазового пространства соотношение Робертсона – Шредингера следует из условия положительности вещественной функции «звезда-квадрат». Учитывая функцию Вигнера со звездным произведением ★ и функцией f обычно верно следующее: [30]
Выбор , мы приходим к
Поскольку это условие положительности верно для всех a , b и c , отсюда следует, что все собственные значения матрицы неотрицательны.
Тогда неотрицательные собственные значения подразумевают соответствующее условие неотрицательности определителя ,
или, явно, после алгебраических манипуляций,
Примеры
Поскольку соотношения Робертсона и Шредингера предназначены для общих операторов, эти соотношения могут быть применены к любым двум наблюдаемым для получения конкретных соотношений неопределенности. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных взаимосвязей, встречающихся в литературе.
- Для положения и количества движения каноническое коммутационное соотношение следует неравенство Кеннарда сверху:
- Для двух ортогональных компонент оператора полного углового момента объекта:
- где i , j , k различны, а J i обозначает угловой момент вдоль оси x i . Это соотношение подразумевает, что если все три компонента не обращаются в нуль вместе, только один компонент углового момента системы может быть определен с произвольной точностью, обычно компонент, параллельный внешнему (магнитному или электрическому) полю. Более того, для , Выбор , , в мультиплетах углового момента ψ = | j , m〉, ограничивает инвариант Казимира (квадрат углового момента, ) снизу и, таким образом, дает полезные ограничения, такие как j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) , и, следовательно, j ≥ m , среди прочих.
- В нерелятивистской механике время считается независимой переменной . Тем не менее, в 1945 г. Л.И. Мандельштам и И.Е. Тамм вывели нерелятивистское соотношение неопределенности времени и энергии следующим образом. [31] [32] Для квантовой системы в нестационарном состоянии ψ и наблюдаемой B, представленной самосопряженным оператором, имеет место следующая формула:
- где σ Е представляет собой стандартное отклонение оператора энергии (Гамильтон) в состоянии ф , σ B означает стандартное отклонение B . Хотя второй множитель в левой части имеет размерность времени, он отличается от временного параметра, входящего в уравнение Шредингера . Это время жизни состояния ψ по отношению к наблюдаемому B : другими словами, это временной интервал (Δ t ), после которого ожидаемое значение заметно меняется.
- Неформальный, эвристический смысл принципа заключается в следующем: состояние, которое существует только в течение короткого времени, не может иметь определенной энергии. Чтобы иметь определенную энергию, частота состояния должна быть определена точно, а это требует, чтобы состояние оставалось на протяжении многих циклов, обратных требуемой точности. Например, в спектроскопии возбужденные состояния имеют конечное время жизни. Согласно принципу неопределенности время-энергия, они не имеют определенной энергии, и каждый раз, когда они распадаются, выделяемая ими энергия немного отличается. Средняя энергия исходящего фотона имеет максимум при теоретической энергии состояния, но распределение имеет конечную ширину, называемую естественной шириной линии . Быстро распадающиеся состояния имеют широкую ширину линии, в то время как медленно распадающиеся состояния имеют узкую ширину линии. [33]
- Тот же эффект ширины линии также затрудняет определение массы покоя нестабильных, быстро распадающихся частиц в физике элементарных частиц . Чем быстрее частица распадается (чем короче ее время жизни), тем менее определена ее масса (тем больше ширина частицы ).
- Для числа электронов в сверхпроводнике и фазы его параметра порядка Гинзбурга – Ландау [34] [35]
Контрпример
Предположим, мы рассматриваем квантовую частицу на кольце , где волновая функция зависит от угловой переменной, который можно считать лежащим в интервале . Определите операторы "позиции" и "импульса" а также от
а также
где мы накладываем периодические граничные условия на . Определение зависит от нашего выбора иметь диапазон от 0 до . Эти операторы удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям для операторов положения и импульса:. [36]
Теперь позвольте быть любым из собственных состояний , которые даются . Эти состояния нормируемы, в отличие от собственных состояний оператора импульса на линии. Также оператор ограничено, так как пробегает ограниченный интервал. Таким образом, в состоянии, неопределенность равна нулю, а неопределенность конечно, так что
Хотя этот результат, по-видимому, нарушает принцип неопределенности Робертсона, парадокс разрешается, когда мы отмечаем, что не входит в домен оператора , так как умножение на нарушает периодические граничные условия, наложенные на . [24] Таким образом, вывод соотношения Робертсона, который требует а также подлежит определению, не применяется. (Они также предоставляют пример операторов, удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля . [37] )
Для обычных операторов положения и импульса а также на реальной прямой таких контрпримеров не может быть. Так долго как а также определены в государстве , принцип неопределенности Гейзенберга выполняется, даже если не находится в сфере или из . [38]
Примеры
(Ссылки [10] [21] )
Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора
Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор. Операторы положения и импульса можно выразить в терминах операторов создания и уничтожения :
Используя стандартные правила для операторов рождения и уничтожения на собственных состояниях энергии,
в дисперсии может быть вычислена непосредственно,
Тогда произведение этих стандартных отклонений равно
В частности, указанная выше граница Кеннарда [3] насыщается для основного состояния n = 0 , для которого плотность вероятности является просто нормальным распределением .
Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовым начальным условием
В квантовом гармоническом осцилляторе с характерной угловой частотой ω поместите состояние, которое смещено от дна потенциала на некоторое смещение x 0 как
где Ω описывает ширину начального состояния, но не обязательно совпадает с ω. За счет интеграции с пропагатором мы можем найти полностью зависящее от времени решение. После многих отмен плотности вероятностей уменьшаются до
где мы использовали обозначения для обозначения нормального распределения среднего μ и дисперсии σ 2 . Копируя приведенные выше дисперсии и применяя тригонометрические тождества , мы можем записать произведение стандартных отклонений как
От отношений
можно сделать следующий вывод: (самое правое равенство имеет место только при Ω = ω ).
Когерентные состояния
Когерентное состояние - это правое собственное состояние оператора уничтожения ,
- ,
которые могут быть представлены в терминах состояний Фока как
На рисунке, где когерентное состояние представляет собой массивную частицу в квантовом гармоническом осцилляторе, операторы положения и импульса могут быть выражены через операторы аннигиляции в тех же формулах выше и использоваться для вычисления дисперсий,
Следовательно, каждое когерентное состояние насыщает границу Кеннарда.
с позицией и импульсом, каждый из которых вносит свой вклад «сбалансированным» способом. Более того, каждое сжатое когерентное состояние также насыщает границу Кеннарда, хотя отдельные вклады положения и импульса в целом не нужно уравновешивать.
Частица в коробке
Рассмотрим частицу в одномерном ящике длиной . Собственные функции в пространственном и импульсном пространстве :
а также
где и мы использовали соотношение де Бройля . Дисперсия а также можно вычислить явно:
Следовательно, произведение стандартных отклонений равно
Для всех , количество больше 1, поэтому принцип неопределенности никогда не нарушается. Для числовой конкретности наименьшее значение имеет место, когда, в таком случае
Постоянный импульс
Предположим, что частица изначально имеет импульсную пространственную волновую функцию, описываемую нормальным распределением вокруг некоторого постоянного импульса p 0 в соответствии с
где мы ввели эталонную шкалу , с участием описание ширины распределения −− ср. обезразмеривание . Если состояние может развиваться в свободном пространстве, то зависящие от времени волновые функции импульса и положения в пространстве равны
С а также , это можно интерпретировать как частицу, движущуюся вместе с постоянным импульсом с произвольно высокой точностью. С другой стороны, стандартное отклонение позиции равно
таким образом, что произведение неопределенности может со временем только увеличиваться, поскольку
Дополнительные соотношения неопределенностей
Систематические и статистические ошибки
Приведенные выше неравенства сосредоточены на статистической неточности наблюдаемых величин, количественно выраженной стандартным отклонением.. Первоначальная версия Гейзенберга, однако, имела дело с систематической ошибкой , возмущением квантовой системы, вызванным измерительным прибором, т. Е. Эффектом наблюдателя .
Если мы позволим представляют собой ошибку (т.е. неточность ) измерения наблюдаемой A ивозмущение, вызванное последующим измерением сопряженной переменной B предыдущим измерением A , тогда выполняется неравенство, предложенное Одзавой [6], охватывающее как систематические, так и статистические ошибки:
Принцип неопределенности Гейзенберга, первоначально описанный в формулировке 1927 года, упоминает только первый член неравенства Одзавы, касающийся систематической ошибки . Используя обозначения, приведенные выше для описания эффекта ошибки / возмущения последовательных измерений (сначала A , затем B ), это можно записать как
Формальный вывод соотношения Гейзенберга возможен, но далек от интуитивного понимания. Он не был предложен Гейзенбергом, но математически согласованным образом сформулировал его только в последние годы. [39] [40] Также необходимо подчеркнуть, что формулировка Гейзенберга не принимает во внимание внутренние статистические ошибки. а также . Появляется все больше экспериментальных доказательств [8] [41] [42] [43], что полную квантовую неопределенность нельзя описать одним членом Гейзенберга, но требуется наличие всех трех членов неравенства Одзавы.
Используя тот же формализм, [1] также можно ввести другой вид физической ситуации, часто путаемый с предыдущей, а именно случай одновременных измерений ( A и B одновременно):
Два одновременных измерения на A и B обязательно [44] нечеткие или слабые .
Также возможно вывести соотношение неопределенности, которое, как и соотношение Одзавы, объединяет как статистические, так и систематические компоненты ошибок, но сохраняет форму, очень близкую к исходному неравенству Гейзенберга. Добавив Робертсона [1]
и соотношений Одзавы получаем
Четыре условия можно записать как:
Определение:
как неточность измеренных значений переменной A и
В качестве результирующего колебания сопряженной переменной B Фудзикава [45] установил соотношение неопределенности, аналогичное исходному Гейзенбергу, но действительное как для систематических, так и для статистических ошибок :
Принцип квантовой энтропийной неопределенности
Для многих распределений стандартное отклонение не является особенно естественным способом количественной оценки структуры. Например, соотношения неопределенностей, в которых одна из наблюдаемых представляет собой угол, имеют небольшой физический смысл для флуктуаций, превышающих один период. [26] [46] [47] [48] Другие примеры включают сильно бимодальные распределения или одномодальные распределения с дивергентной дисперсией.
Решение, которое преодолевает эти проблемы, - это неопределенность, основанная на энтропийной неопределенности, а не на произведении дисперсий. Формулируя многомировую интерпретацию квантовой механики в 1957 году, Хью Эверетт III предположил более сильное расширение принципа неопределенности, основанное на энтропийной достоверности. [49] Эта гипотеза, также изученная Хиршманом [50] и доказанная в 1975 году Бекнером [51] и Иво Бялыницким-Бирулой и Ежи Мицельским [52], состоит в том, что для двух нормализованных безразмерных пар преобразований Фурье f (a) и g (b) где
- а также
информационные энтропии Шеннона
а также
подчиняются следующему ограничению:
где логарифмы могут быть в любом основании.
Функции распределения вероятностей, связанные с волновой функцией положения ψ (x) и волновой функцией импульса φ (x), имеют размерность, равную обратной длине и импульсу соответственно, но энтропии можно сделать безразмерными посредством
где x 0 и p 0 - некоторая произвольно выбранная длина и импульс соответственно, что делает аргументы логарифмов безразмерными. Обратите внимание, что энтропии будут функциями этих выбранных параметров. Благодаря соотношению преобразования Фурье между волновой функцией положения ψ (x) и волновой функцией импульса φ ( p ) указанное выше ограничение может быть записано для соответствующих энтропий как
где h - постоянная Планка .
В зависимости от выбора произведения x 0 p 0 выражение может быть записано разными способами. Если в качестве h выбрано x 0 p 0 , то
Если, вместо этого, х 0 р 0 выбирается так, чтобы быть ħ , то
Если x 0 и p 0 выбраны равными единице в какой бы то ни было системе единиц измерения, то
где h интерпретируется как безразмерное число, равное значению постоянной Планка в выбранной системе единиц. Обратите внимание, что эти неравенства можно распространить на многомодовые квантовые состояния или волновые функции более чем в одном пространственном измерении. [53]
Принцип квантовой энтропийной неопределенности является более строгим, чем принцип неопределенности Гейзенберга. Из обратных логарифмических неравенств Соболева [54]
(эквивалентно, из того факта, что нормальные распределения максимизируют энтропию всех таких с заданной дисперсией), легко следует, что этот принцип энтропийной неопределенности сильнее, чем принцип, основанный на стандартных отклонениях , потому что
Другими словами, принцип неопределенности Гейзенберга является следствием квантового принципа энтропийной неопределенности, но не наоборот. Несколько замечаний по поводу этих неравенств. Во-первых, выбор основания e является общепринятым в физике. В качестве альтернативы логарифм может быть с любым основанием при условии, что он не противоречит обеим сторонам неравенства. Во-вторых, напомним, что использовалась энтропия Шеннона , а не квантовая энтропия фон Неймана . Наконец, нормальное распределение насыщает неравенство, и это единственное распределение с этим свойством, потому что это максимальное распределение вероятностей энтропии среди тех, у кого фиксированная дисперсия (см. Здесь для доказательства).
Энтропийная неопределенность нормального распределения |
---|
Мы демонстрируем этот метод на основном состоянии QHO, которое, как обсуждалось выше, насыщает обычную неопределенность, основанную на стандартных отклонениях. Масштаб длины можно установить так, как вам удобно, поэтому мы назначаем Распределение вероятностей - нормальное распределение с энтропией Шеннона Совершенно аналогичный расчет проводится для импульсного распределения. Выбор стандартного импульса: Таким образом, энтропийная неопределенность является предельным значением. |
У измерительного устройства будет конечное разрешение, заданное дискретизацией его возможных выходных сигналов в ячейки с вероятностью попадания в одну из ячейок, заданных правилом Борна. Мы рассмотрим наиболее распространенную экспериментальную ситуацию, в которой бункеры имеют одинаковый размер. Пусть δx - мера пространственного разрешения. Мы считаем, что нулевой интервал центрирован около начала координат, возможно, с небольшим постоянным смещением c . Вероятность попадания в j-й интервал ширины δx равна
Чтобы учесть эту дискретизацию, мы можем определить энтропию Шеннона волновой функции для данного измерительного прибора как
Согласно приведенному выше определению, отношение энтропийной неопределенности имеет вид
Здесь мы отмечаем, что δx δp / h - типичный бесконечно малый объем фазового пространства, используемый при вычислении статистической суммы . Неравенство также строгое и ненасыщенное. Усилия по улучшению этой границы являются активной областью исследований.
Пример нормального распределения |
---|
Сначала мы продемонстрируем этот метод на основном состоянии QHO, которое, как обсуждалось выше, насыщает обычную неопределенность, основанную на стандартных отклонениях. Вероятность попадания в один из этих интервалов может быть выражена через функцию ошибок . Вероятности импульса полностью аналогичны. Для простоты установим разрешения на так что вероятности уменьшаются до Энтропию Шеннона можно оценить численно. Энтропийная неопределенность действительно больше предельного значения. Обратите внимание, что, несмотря на оптимальный случай, неравенство не насыщается. |
Пример функции Sinc |
---|
Примером унимодального распределения с бесконечной дисперсией является функция sinc . Если волновая функция является правильно нормированным равномерным распределением, то его преобразование Фурье является функцией sinc, что дает бесконечную дисперсию импульса, несмотря на централизованную форму. С другой стороны, энтропийная неопределенность конечна. Предположим для простоты, что пространственное разрешение - это просто измерение с двумя ячейками , δx = a , и что разрешение по импульсу составляет δp = h / a . Разделить равномерное пространственное распределение на две равные ячейки несложно. Мы устанавливаем смещение c = 1/2, чтобы два интервала охватывали распределение. Бины для импульса должны охватывать всю реальную линию. Как и в случае с пространственным распределением, мы можем применить смещение. Однако оказывается, что энтропия Шеннона минимизируется, когда нулевой интервал для импульса центрируется в начале координат. (Читателю предлагается попробовать добавить смещение.) Вероятность нахождения в пределах произвольного интервала импульса может быть выражена через синусоидальный интеграл . Энтропию Шеннона можно оценить численно. Энтропийная неопределенность действительно больше предельного значения. |
Неравенство Ефимова по матрицам Паули
В 1976 г. Сергей П. Ефимов вывел неравенство, уточняющее соотношение Робертсона с помощью коммутаторов высокого порядка. [55] Его подход основан на матрицах Паули . Позднее В. В. Додонов использовал этот метод для вывода соотношений для нескольких наблюдаемых с помощью алгебры Клиффорда . [56] [57]
Согласно Jackiw, [25] неопределенность Робертсона действительна только тогда, когда коммутатор является C-числом. Метод Ефимова эффективен для переменных, имеющих коммутаторы высокого порядка - например, для оператора кинетической энергии и для координатного оператора. Рассмотрим два оператора а также которые имеют коммутатор :
Для сокращения формул воспользуемся оператором отклонений:
- ,
когда новые операторы имеют нулевое среднее отклонение. Чтобы использовать матрицы Паули, мы можем рассмотреть оператор:
где 2 × 2 спиновые матрицы есть коммутаторы:
где антисимметричный символ . Они действуют в пространстве вращения независимо от. Матрицы Паули определяют алгебру Клиффорда . Возьмем произвольные числа в операторе быть реальным.
Физический квадрат оператора равен:
где является сопряженным оператором и коммутаторов а также следующие:
Оператор положительно определен, что существенно для получения неравенства ниже. Принимая среднее значение по состоянию, получаем положительно определенную матрицу 2 × 2:
где использовано понятие:
и аналогичный для операторов . Что касается коэффициентовпроизвольны в уравнении, получаем положительно определенную матрицу 6 × 6. Критерий Сильвестра гласит, что его ведущие основные несовершеннолетние неотрицательны. Неопределенность Робертсона следует из второстепенной четвертой степени . Для усиления результата вычисляем определитель шестого порядка:
Равенство наблюдается только тогда, когда состояние является собственным состоянием оператора и то же самое для спиновых переменных:
- .
Найденное соотношение можно применить к оператору кинетической энергии а для оператора координаты :
В частности, равенство в формуле наблюдается для основного состояния осциллятора, тогда как правая часть неопределенности Робертсона исчезает:
- .
Физический смысл отношения становится более ясным, если разделить его на квадрат ненулевого среднего импульса, что даст:
где - квадрат эффективного времени, за которое частица движется около средней траектории (масса частицы равна 1).
Метод применим для трех некоммутирующих операторов углового момента . Компилируем оператор:
Напомним, что операторы являются вспомогательными и между спиновыми переменными частицы нет связи. Таким образом, важны только их коммутативные свойства. Квадратный и усредненный оператор дает положительно определенную матрицу, откуда получаем следующее неравенство:
Для разработки метода группы операторов вместо матриц Паули можно использовать алгебру Клиффорда. [57]
Гармонический анализ
В контексте гармонического анализа , раздела математики, принцип неопределенности подразумевает, что нельзя одновременно локализовать значение функции и ее преобразование Фурье . А именно, имеет место неравенство
Другие неравенства математической неопределенности, включая указанную выше энтропийную неопределенность , имеют место между функцией f и ее преобразованием Фурье ƒ̂ : [58] [59] [60]
Обработка сигналов
В контексте обработки сигналов и, в частности, частотно-временного анализа принципы неопределенности упоминаются как предел Габора после Денниса Габора или иногда предел Гейзенберга-Габора . Основной результат, который следует из «теоремы Бенедикса» ниже, состоит в том, что функция не может быть одновременно ограниченной по времени и по полосе (функция и ее преобразование Фурье не могут иметь одновременно ограниченную область определения) - см. Ограничение по полосе в сравнении с ограничением по времени . Таким образом
где а также - стандартные отклонения оценок времени и частоты соответственно. [61]
Иначе говоря, «Нельзя одновременно точно локализовать сигнал (функцию f ) как во временной области, так и в частотной ( ƒ̂ , его преобразование Фурье)».
Применительно к фильтрам результат означает, что нельзя одновременно достичь высокого временного и частотного разрешения; конкретным примером являются проблемы разрешения кратковременного преобразования Фурье: если используется широкое окно, хорошее разрешение по частоте достигается за счет временного разрешения, в то время как узкое окно имеет противоположный компромисс.
Альтернативные теоремы дают более точные количественные результаты, и в частотно-временном анализе вместо того, чтобы интерпретировать (одномерные) временную и частотную области по отдельности, вместо этого предел интерпретируется как нижний предел для поддержки функции в (2 -мерная) частотно-временная плоскость. На практике предел Габора ограничивает одновременное частотно-временное разрешение, которое можно достичь без помех; можно достичь более высокого разрешения, но за счет того, что различные компоненты сигнала будут мешать друг другу.
В результате для анализа сигналов, в которых важны переходные процессы , вместо преобразования Фурье часто используется вейвлет-преобразование .
Дискретное преобразование Фурье
Позволять - последовательность из N комплексных чисел иего дискретное преобразование Фурье .
Обозначим через количество ненулевых элементов во временной последовательности и по количество ненулевых элементов в частотной последовательности . Потом,
Это неравенство является точным , и равенство достигается, когда x или X является массой Дирака, или, в более общем смысле, когда x является ненулевым кратным гребенке Дирака, поддерживаемой на подгруппе целых чисел по модулю N (в этом случае X также является гребнем Дирака, поддерживаемым о дополнительной подгруппе, и наоборот).
В более общем смысле, если T и W являются подмножествами целых чисел по модулю N , пустьобозначают ограничивающий по времени оператор и ограничивающий полосу оператор соответственно. потом
где норма - это операторная норма операторов в гильбертовом пространствефункций на целых чисел по модулю N . Это неравенство имеет значение для восстановления сигнала . [62]
Когда N - простое число , выполняется более сильное неравенство:
Это неравенство, обнаруженное Теренсом Тао , также является резким. [63]
Теорема Бенедикса
Амрейн – Бертье [64] и теорема Бенедикса [65] интуитивно говорят, что множество точек, где f не равно нулю, и множество точек, где ƒ̂ ненулевое, не могут быть одновременно малыми.
В частности, это невозможно для функции F в L 2 ( R ) и ее преобразование Фурье ƒ , чтобы быть оба поддерживаются на множествах конечной меры Лебега . Более количественная версия - [66] [67]
Ожидается, что множитель Ce C | S || Σ | можно заменить на Ce C (| S || Σ |) 1 / d , который известен, только если S или Σ выпуклые.
Принцип неопределенности Харди
Математик Харди сформулировал следующий принцип неопределенности: [68] не представляется возможным для F и ƒ к обоим быть «очень быстро убывает». В частности, если f в таково, что
а также
- ( целое число),
тогда, если ab > 1, f = 0 , а если ab = 1 , то существует многочлен P степени ≤ N такой, что
Позже это было улучшено следующим образом: если таково, что
тогда
где P - многочлен степени ( N - d ) / 2, а A - вещественная положительно определенная матрица размера d × d .
Этот результат был сформулирован в полных работах Бёрлинга без доказательства и доказан в Хёрмандере [69] (случай) и Бонами, Деманж и Джейминг [70] для общего случая. Заметим, что версия Хёрмандера – Берлинга влечет случай ab > 1 в теореме Харди, тогда как версия Бонами – Деманжа – Джейминга охватывает всю силу теоремы Харди. Другое доказательство теоремы Бёрлинга, основанное на теореме Лиувилля, появилось в [4]. [71]
Полное описание случая ab <1, а также следующее расширение распределений классов Шварца можно найти в ссылке. [72]
Теорема. Если умеренное распределение таково, что
а также
тогда
для некоторого удобного многочлена P и вещественной положительно определенной матрицы A типа d × d .
История
Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности в институте Нильса Бора в Копенгагене, работая над математическими основами квантовой механики. [73]
В 1925 году, после новаторской работы с Хендриком Крамерсом , Гейзенберг разработал матричную механику , которая заменила специальную старую квантовую теорию современной квантовой механикой. Центральная посылка заключалась в том, что классическая концепция движения не подходит на квантовом уровне, поскольку электроны в атоме не движутся по четко определенным орбитам. Скорее, их движение странным образом размыто: преобразование Фурье его временной зависимости включает только те частоты, которые можно было бы наблюдать в квантовых скачках их излучения.
Статья Гейзенберга не допускала никаких ненаблюдаемых величин, таких как точное положение электрона на орбите в любое время; он только позволил теоретику говорить о фурье-компонентах движения. Поскольку компоненты Фурье не были определены на классических частотах, их нельзя было использовать для построения точной траектории , так что формализм не мог ответить на некоторые слишком точные вопросы о том, где находится электрон или как быстро он движется.
В марте 1926 года, работая в институте Бора, Гейзенберг понял, что некоммутативность подразумевает принцип неопределенности. Этот вывод обеспечил ясную физическую интерпретацию некоммутативности и заложил основу для того, что стало известно как копенгагенская интерпретация квантовой механики. Гейзенберг показал, что соотношение коммутации подразумевает неопределенность или, говоря языком Бора, дополнительность . [74] Любые две переменные, которые не коммутируют, нельзя измерить одновременно - чем точнее известна одна, тем менее точно может быть известна другая. Гейзенберг писал:
В простейшей форме это можно выразить следующим образом: никогда нельзя узнать с идеальной точностью оба этих двух важных фактора, которые определяют движение одной из мельчайших частиц - ее положение и скорость. Невозможно точно определить как положение и направление и скорость частицы в тот же момент . [75]
В своей знаменитой статье 1927 года «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik» («О перцептивном содержании квантовой теоретической кинематики и механики») Гейзенберг установил это выражение как минимальную величину неизбежного возмущения импульса, вызываемого любым измерением положения. [2], но он не дал точного определения неопределенностей Δx и Δp. Вместо этого он дал правдоподобные оценки для каждого случая отдельно. В своей лекции в Чикаго [76] он уточнил свой принцип:
(1)
Кеннард [3] в 1927 году впервые доказал современное неравенство:
(2)
где ħ =час/2 π, а σ x , σ p - стандартные отклонения положения и импульса. Гейзенберг доказал соотношение ( 2 ) только для частного случая гауссовских состояний. [76]
Терминология и перевод
В основной части своей оригинальной статьи 1927 года, написанной на немецком языке, Гейзенберг использовал слово «Ungenauigkeit» («неопределенность») [2] для описания основного теоретического принципа. Только в сноске он перешел на слово «Unsicherheit» («неопределенность»). Однако, когда в 1930 году была опубликована англоязычная версия учебника Гейзенберга « Физические принципы квантовой теории» , в переводе был использован термин «неопределенность», который впоследствии стал более широко используемым термином на английском языке. [77]
Микроскоп Гейзенберга
Этот принцип довольно противоречит интуиции, поэтому первых студентов, изучающих квантовую теорию, нужно было заверить в том, что наивные измерения, нарушающие его, всегда были неработоспособны. Один из способов, которым Гейзенберг первоначально проиллюстрировал внутреннюю невозможность нарушения принципа неопределенности, - это использование эффекта наблюдателя воображаемого микроскопа в качестве измерительного устройства. [76]
Он представляет себе экспериментатора, пытающегося измерить положение и импульс электрона , стреляя в него фотоном . [78] : 49–50
- Проблема 1. Если фотон имеет короткую длину волны и, следовательно, большой импульс, его положение можно точно измерить. Но фотон рассеивается в случайном направлении, передавая электрону большой и неопределенный импульс. Если фотон имеет большую длину волны и малый импульс, столкновение не сильно повлияет на импульс электрона, но рассеяние лишь смутно покажет его положение.
- Проблема 2 - Если для микроскопа используется большая апертура , местоположение электрона может быть хорошо определено (см. Критерий Рэлея ); но по принципу сохранения импульса поперечный импульс падающего фотона влияет на импульс электронного пучка, и, следовательно, новый импульс электрона решается плохо. Если используется малая диафрагма, точность обоих разрешений будет наоборот.
Комбинация этих компромиссов означает, что независимо от того, какая длина волны фотона и размер апертуры используются, произведение неопределенности в измеренном положении и измеренном импульсе больше или равно нижнему пределу, который составляет (с точностью до небольшого числового коэффициента ) равной постоянной Планка . [79] Гейзенберг не позаботился о том, чтобы сформулировать принцип неопределенности как точный предел, и предпочел использовать его вместо этого как эвристическое количественное утверждение, исправляющее с точностью до небольших числовых факторов, что делает неизбежной радикально новую некоммутативность квантовой механики.
Критические реакции
Копенгагенская интерпретация квантовой механики и принцип неопределенности Гейзенберга фактически рассматривались недоброжелателями, которые верили в лежащие в их основе детерминизм и реализм , как двойную мишень . Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, не существует фундаментальной реальности, которую описывает квантовое состояние , а есть только рецепт для расчета экспериментальных результатов. Невозможно сказать, каково фундаментальное состояние системы, только каковы могут быть результаты наблюдений.
Альберт Эйнштейн считал, что случайность является отражением нашего незнания некоторых фундаментальных свойств реальности, в то время как Нильс Бор считал, что распределения вероятностей являются фундаментальными и несводимыми и зависят от того, какие измерения мы выбираем для проведения. Эйнштейн и Бор много лет обсуждали принцип неопределенности.
Идеал стороннего наблюдателя
Вольфганг Паули назвал фундаментальное возражение Эйнштейна против принципа неопределенности «идеалом стороннего наблюдателя» (фраза в переводе с немецкого):
«Подобно тому, как Луна имеет определенное положение, - сказал мне Эйнштейн прошлой зимой, - независимо от того, смотрим мы на Луну или нет, то же самое должно быть справедливо и для атомных объектов, поскольку между ними и макроскопическими объектами нет четкого различия. Наблюдение не может создать элемент реальности, такой как позиция, в полном описании физической реальности должно содержаться что-то, что соответствует возможности наблюдения позиции, еще до того, как наблюдение было фактически произведено ». Я надеюсь, что я правильно процитировал Эйнштейна; Всегда трудно цитировать кого-то по памяти, с кем не согласен. Именно такой постулат я называю идеалом стороннего наблюдателя.
- Письмо Паули Нильсу Бору, 15 февраля 1955 г. [80]
Щель Эйнштейна
Первый мысленный эксперимент Эйнштейна, бросающий вызов принципу неопределенности, состоял в следующем:
- Рассмотрим частицу, проходящую через щель шириной d . Щель вносит неопределенность в импульсе приблизительно час/dпотому что частица проходит сквозь стену. Но давайте определим импульс частицы, измерив отдачу стенки. При этом мы находим импульс частицы с произвольной точностью по его сохранению.
Ответ Бора заключался в том, что стенка также является квантово-механической, и что для измерения отдачи с точностью Δ p импульс стенки должен быть известен с этой точностью до того, как частица пройдет сквозь нее. Это вносит неопределенность в положение стены и, следовательно, положение щели, равноечас/Δ p, и если импульс стенки известен достаточно точно, чтобы измерить отдачу, положение щели достаточно неопределенно, чтобы не допустить измерения положения.
Аналогичный анализ с частицами, диффундирующими через множество щелей, дал Ричард Фейнман . [81]
Ящик Эйнштейна
Бор присутствовал при предложении Эйнштейном мысленного эксперимента, известного как ящик Эйнштейна . Эйнштейн утверждал, что «уравнение неопределенности Гейзенберга подразумевает, что неопределенность во времени связана с неопределенностью энергии, а произведение этих двух значений связано с постоянной Планка» . [82] Рассмотрим, - сказал он, - идеальную коробку, выложенную зеркалами, так что она может содержать свет бесконечно долго. Ящик можно было взвесить до того, как часовой механизм откроет идеальную заслонку в выбранный момент, чтобы позволить одному фотону уйти. «Теперь мы знаем, - объяснил Эйнштейн, - точное время, когда фотон покинул коробку». [83] «Теперь взвесьте коробку еще раз. Изменение массы говорит об энергии излучаемого света. Таким образом, сказал Эйнштейн, можно измерить излучаемую энергию и время ее высвобождения с любой желаемой точностью, в отличие от принцип неопределенности ". [82]
Бор провел бессонную ночь, обдумывая этот аргумент, и в конце концов понял, что он ошибочен. Он указал, что если бы ящик взвешивался, скажем, с помощью пружины и указателя на шкале, «поскольку ящик должен перемещаться вертикально с изменением своего веса, возникнет неопределенность в его вертикальной скорости и, следовательно, неопределенность в ее величине. его высота над столом ... Более того, неопределенность относительно высоты над поверхностью Земли приведет к неопределенности в скорости хода часов » [84] из-за собственной теории Эйнштейна о влиянии гравитации на время . «Посредством этой цепочки неопределенностей Бор показал, что эксперимент Эйнштейна со световым коробом не может одновременно точно измерить и энергию фотона, и время его выхода». [85]
Парадокс ЭПР для запутанных частиц
Бор был вынужден изменить свое понимание принципа неопределенности после другого мысленного эксперимента Эйнштейна. В 1935 году Эйнштейн, Подольский и Розен (см. Парадокс ЭПР ) опубликовали анализ широко разделенных запутанных частиц. Эйнштейн понимал, что измерение одной частицы изменит распределение вероятностей другой, но в этом случае другая частица не может быть нарушена. Этот пример заставил Бора пересмотреть свое понимание принципа и пришел к выводу, что неопределенность не была вызвана прямым взаимодействием. [86]
Но Эйнштейн пришел к гораздо более далеко идущим выводам из того же мысленного эксперимента. Он верил в «естественное базовое предположение» о том, что полное описание реальности должно предсказывать результаты экспериментов на основе «локально изменяющихся детерминированных величин» и, следовательно, должно включать больше информации, чем максимально возможное, допускаемое принципом неопределенности.
В 1964 году Джон Белл показал, что это предположение можно опровергнуть, поскольку оно подразумевает определенное неравенство между вероятностями разных экспериментов. Экспериментальные результаты подтверждают предсказания квантовой механики, опровергая основное предположение Эйнштейна, которое привело его к предположению о его скрытых переменных . Эти скрытые переменные могут быть «скрыты» из-за иллюзии, возникающей при наблюдении за слишком большими или слишком маленькими объектами. Эту иллюзию можно сравнить с вращающимися лопастями вентилятора, которые, кажется, появляются и исчезают в разных местах, а иногда, при наблюдении, кажется, что они находятся в одном и том же месте в одно и то же время. Эта же иллюзия проявляется при наблюдении за субатомными частицами. И лопасти вентилятора, и субатомные частицы движутся так быстро, что наблюдатель видит иллюзию. Следовательно, возможно, что будет предсказуемость поведения и характеристик субатомных частиц для записывающего устройства, способного к очень высокоскоростному отслеживанию ... По иронии судьбы этот факт является одним из лучших доказательств, подтверждающих философию признания недействительности Карла Поппера теории фальсификационными экспериментами . То есть здесь «основное предположение» Эйнштейна было опровергнуто экспериментами, основанными на неравенствах Белла . Возражения Карла Поппера против самого неравенства Гейзенберга см. Ниже.
Хотя можно предположить, что квантово-механические предсказания обусловлены нелокальными скрытыми переменными, и на самом деле Дэвид Бом изобрел такую формулировку, это разрешение не удовлетворяет подавляющее большинство физиков. Вопрос о том, предопределен ли случайный исход нелокальной теорией, может быть философским и потенциально трудноразрешимым. Если бы скрытые переменные не были ограничены, они могли бы быть просто списком случайных цифр, которые используются для получения результатов измерения. Чтобы сделать это разумным, предположение о нелокальных скрытых переменных иногда дополняется вторым предположением - что размер наблюдаемой вселенной ограничивает вычисления, которые могут выполнять эти переменные. Подобная нелокальная теория предсказывает, что квантовый компьютер столкнется с фундаментальными препятствиями при попытке разложить на множители числа, состоящие приблизительно из 10 000 цифр или более; потенциально достижимая задача в квантовой механике. [87] [ требуется полная ссылка ]
Критика Поппера
Карл Поппер подошел к проблеме неопределенности как логик и метафизический реалист . [88] Он не согласился с применением соотношений неопределенности к отдельным частицам, а не к ансамблям идентично подготовленных частиц, назвав их «статистическими отношениями рассеяния». [88] [89] В этой статистической интерпретации конкретное измерение может быть выполнено с произвольной точностью, не опровергая квантовую теорию. Это прямо контрастирует с копенгагенской интерпретацией квантовой механики, которая не является детерминированной, но не содержит локальных скрытых переменных.
В 1934 году Поппер опубликовал Цур Kritik дер Ungenauigkeitsrelationen ( Критике соотношения неопределенностей ) в Naturwissenschaften , [90] и в том же году Logik дер Forschung ( в переводе и обновляется автором как Логика научного открытия в 1959 году), изложив свои аргументы для статистической интерпретации. В 1982 году он продолжил развитие своей теории квантовой теории и раскола в физике , написав:
Формулы [Гейзенберга], вне всякого сомнения, являются выводимыми статистическими формулами квантовой теории. Но их обычно неверно истолковывали те квантовые теоретики, которые говорили, что эти формулы можно интерпретировать как определение некоего верхнего предела точности наших измерений . [курсив оригинала] [91]
Поппер предложил эксперимент по фальсификации соотношений неопределенностей, хотя позже он отказался от своей первоначальной версии после обсуждений с Вайцзеккером , Гейзенбергом и Эйнштейном ; этот эксперимент мог повлиять на постановку эксперимента ЭПР . [88] [92]
Многомировая неопределенность
Интерпретация многомировых первоначально изложены Эверетта в 1957 году частично означала согласовать различия между Эйнштейном и Борой вида, заменив Бор коллапса волновой функции с ансамблем детерминированных и независимых вселенными которых распределение определяются волновыми функциями и уравнения Шредингера . Таким образом, неопределенность в интерпретации множества миров следует из того, что каждый наблюдатель в любой вселенной не знает, что происходит в других вселенных.
Свободная воля
Некоторые ученые, включая Артура Комптона [93] и Мартина Гейзенберга [94] , предположили, что принцип неопределенности или, по крайней мере, общая вероятностная природа квантовой механики может служить доказательством двухэтапной модели свободной воли. Одна критика, однако, заключается в том, что помимо основной роли квантовой механики как основы химии, нетривиальные биологические механизмы, требующие квантовой механики , маловероятны из-за быстрого времени декогеренции квантовых систем при комнатной температуре. [95] Сторонники этой теории обычно говорят, что эта декогеренция преодолевается как скринингом, так и свободными от декогеренции подпространствами, обнаруженными в биологических клетках. [95]
Термодинамика
Есть основания полагать, что нарушение принципа неопределенности также влечет за собой нарушение второго закона термодинамики . [96] См. Парадокс Гиббса .
Смотрите также
- Афшар эксперимент
- Каноническое коммутационное отношение
- Принцип соответствия
- Правила переписки
- Теорема Громова о невыжимании
- Дискретное преобразование Фурье # Принцип неопределенности
- Мысленные эксперименты Эйнштейна
- Heisenbug
- Введение в квантовую механику
- Принцип неопределенности Купфмюллера
- Операционализация
- Эффект наблюдателя (информационные технологии)
- Эффект наблюдателя (физика)
- Квантовая неопределенность
- Квантовая неравновесность
- Квантовое туннелирование
- Физика и не только (книга)
- Планковская длина
- Более сильные отношения неопределенности
- Слабое измерение
Заметки
- ^ Примечание о точности : если а также - точность положения и импульса, полученная при отдельном измерении и, их стандартных отклонений в совокупности отдельных измерений на аналогичным образом подготовленных системах, то « В принципе, нет ограничений на точность отдельных измерений. а также , но стандартные отклонения всегда удовлетворяют ". [11]
- ^ Примечание 1 находится в явном противоречии с разделом « Систематические и статистические ошибки», в котором говорится о существовании как статистических (Робертсон), так и систематических (Гейзенберг) соотношений неопределенностей. Эти неопределенности одновременно выражаются в универсальных неравенствах Одзавы или Фудзикавы.
Рекомендации
- ^ a b c Сен, Д. (2014). «Соотношения неопределенности в квантовой механике» (PDF) . Современная наука . 107 (2): 203–218.
- ^ а б в Гейзенберг, В. (1927), "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 43 (3–4): 172–198, Bibcode : 1927ZPhy ... 43..172H , DOI : 10.1007 / BF01397280 , S2CID 122763326 .. Аннотированный контрольный лист до публикации Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , 21 марта 1927 г.
- ^ а б в Кеннард, EH (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 44 (4–5): 326–352, Bibcode : 1927ZPhy ... 44..326K , doi : 10.1007 / BF01391200 , S2CID 121626384 .
- ^ Вейль, Х. (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik , Лейпциг: Hirzel
- ^ Фурута, Айя (2012), «Одно несомненно: принцип неопределенности Гейзенберга не мертв» , Scientific American
- ^ а б Озава, Масанао (2003), «Универсальная переформулировка принципа неопределенности Гейзенберга для шума и помех при измерениях», Physical Review A , 67 (4): 42105, arXiv : Quant-ph / 0207121 , Bibcode : 2003PhRvA..67d2105O , DOI : 10,1103 / PhysRevA.67.042105 , S2CID 42012188
- ^ Вернер Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории , стр. 20
- ^ а б Розема, Луизиана; Дараби, А .; Mahler, DH; Hayat, A .; Soudagar, Y .; Стейнберг, AM (2012). «Нарушение связи Гейзенберга между измерениями и возмущениями из-за слабых измерений». Письма с физическим обзором . 109 (10): 100404. arXiv : 1208.0034v2 . Bibcode : 2012PhRvL.109j0404R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.109.100404 . PMID 23005268 . S2CID 37576344 .
- ^ Индийский технологический институт Мадрас, профессор В. Балакришнан, лекция 1 - Введение в квантовую физику; Принцип неопределенности Гейзенберга, Национальная программа обучения с использованием технологий на YouTube
- ^ а б в г Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) Интернет-копия . - ^ Раздел 3.2 Баллентин, Лесли Э. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики» , Обзоры современной физики , 42 (4): 358–381, Bibcode : 1970RvMP ... 42..358B , doi : 10.1103 / RevModPhys.42.358. Этот факт экспериментально хорошо известен, например, в квантовой оптике (см., Например, главу 2 и рис. 2.1. Леонхардт, Ульф (1997), Измерение квантового состояния света , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-49730-2
- ^ Элион, WJ; Вера, М .; Geigenmüller, U .; Mooij, JE (1994), "Прямая демонстрация принципа неопределенности Гейзенберга в сверхпроводнике", Nature , 371 (6498): 594–595, Bibcode : 1994Natur.371..594E , doi : 10.1038 / 371594a0 , S2CID 4240085
- ^ Смитхи, Д.Т.; М. Бек, Дж. Купер, М. Г. Реймер; Купер, Дж .; Raymer, MG (1993), "Измерение соотношений неопределенностей число – фаза оптических полей", Phys. Rev. A , 48 (4): 3159-3167, Bibcode : 1993PhRvA..48.3159S , DOI : 10,1103 / PhysRevA.48.3159 , PMID 9909968CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Кейвс, Карлтон (1981), "Квантово-механический шум в интерферометре", Phys. Rev. D , 23 (8): 1693-1708, Bibcode : 1981PhRvD..23.1693C , DOI : 10,1103 / PhysRevD.23.1693
- ^ Джегер, Грегг (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире макроскопично?». Американский журнал физики . 82 (9): 896–905. Bibcode : 2014AmJPh..82..896J . DOI : 10.1119 / 1.4878358 .
- ^ Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Франк Лалоэ (1996), Квантовая механика , Wiley-Interscience: Wiley, стр. 231–233, ISBN 978-0-471-56952-7
- ^ Giovannetti, V .; Lloyd, S .; Макконе, Л. (2011). «Успехи квантовой метрологии». Природа Фотоника . 5 (4): 222. arXiv : 1102.2318 . Bibcode : 2011NaPho ... 5..222G . DOI : 10.1038 / nphoton.2011.35 . S2CID 12591819 .; arXiv
- ^ Луис, Альфредо (13 марта 2017). «Преодолевая слабый предел Гейзенберга». Physical Review . 95 (3): 032113. arXiv : 1607.07668 . Bibcode : 2017PhRvA..95c2113L . DOI : 10.1103 / PhysRevA.95.032113 . ISSN 2469-9926 . S2CID 55838380 .
- ^ а б Робертсон, HP (1929), "Принцип неопределенности", Phys. Rev. , 34 (1): 163-64, Bibcode : 1929PhRv ... 34..163R , DOI : 10,1103 / PhysRev.34.163
- ^ а б Шредингер, Э. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch- Mathematische Klasse , 14 : 296–303
- ^ а б Гриффитс, Дэвид (2005), Квантовая механика , Нью-Джерси: Пирсон
- ^ Райли, KF; М. П. Хобсон и С. Дж. Бенс (2006), Математические методы для физики и инженерии , Кембридж, с. 246
- ^ Дэвидсон, ER (1965), "О выводе принципа неопределенности", J. Chem. Phys. , 42 (4): 1461-1462 гг, Bibcode : 1965JChPh..42.1461D , DOI : 10,1063 / 1,1696139
- ^ а б в Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 245
- ^ а б Джекив, Роман (1968), «Минимальный продукт неопределенности, продукт числовой неопределенности и когерентные состояния», J. Math. Phys. , 9 (3): 339-346, Bibcode : 1968JMP ..... 9..339J , DOI : 10,1063 / 1,1664585
- ^ а б Carruthers, P .; Ньето, М.М. (1968), "Фазовые и угловые переменные в квантовой механике", Rev. Mod. Phys. , 40 (2): 411-440, Bibcode : 1968RvMP ... 40..411C , DOI : 10,1103 / RevModPhys.40.411
- ^ Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer
- ^ Макконе, Лоренцо; Пати, Арун К. (31 декабря 2014 г.). «Более сильные отношения неопределенности для всех несовместимых наблюдаемых». Письма с физическим обзором . 113 (26): 260401. arXiv : 1407.0338 . Bibcode : 2014PhRvL.113z0401M . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.113.260401 . PMID 25615288 .
- ^ Хуан, Ичэнь (10 августа 2012 г.). «Отношения неопределенности на основе дисперсии». Physical Review . 86 (2): 024101. arXiv : 1012.3105 . Bibcode : 2012PhRvA..86b4101H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.86.024101 . S2CID 118507388 .
- ^ Curtright, T .; Захос, К. (2001). «Отрицательные отношения вероятности и неопределенности». Современная физика Буква A . 16 (37): 2381–2385. arXiv : hep-th / 0105226 . Bibcode : 2001MPLA ... 16.2381C . DOI : 10.1142 / S021773230100576X . S2CID 119669313 .
- ^ Л.И. Мандельштам, И.Е. Тамм, Связь неопределенности между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике , 1945.
- ^ Хильгеворд, Ян (1996). «Принцип неопределенности для энергии и времени» (PDF) . Американский журнал физики . 64 (12): 1451–1456. Bibcode : 1996AmJPh..64.1451H . DOI : 10.1119 / 1.18410 .; Хильгеворд, Ян (1998). «Принцип неопределенности для энергии и времени. II». Американский журнал физики . 66 (5): 396–402. Bibcode : 1998AmJPh..66..396H . DOI : 10.1119 / 1.18880 .; Буш, П. (1990). «О соотношении неопределенности энергии-времени. Часть I: Динамическое время и неопределенность времени», Основы физики 20 (1), 1-32; Буш, П. (1990), "О соотношении неопределенности энергии-времени. Часть II: Прагматическое время против неопределенности энергии". Основы физики 20 (1), 33-43.
- ^ Широкая ширина линий быстро распадающихся состояний затрудняет точное измерение энергии состояния, и исследователи даже использовали расстроенные микроволновые резонаторы, чтобы замедлить скорость распада и получить более острые пики. Габриэль, Джеральд; Х. Демельт (1985), «Наблюдение за ингибированным спонтанным излучением», Physical Review Letters , 55 (1): 67–70, Bibcode : 1985PhRvL..55 ... 67G , doi : 10.1103 / PhysRevLett.55.67 , PMID 10031682
- ^ Лихарев, К.К .; А.Б. Зорин (1985), "Теория колебаний блоховских волн в малых переходах Джозефсона", J. Low Temp. Phys. , 59 (3/4): 347-382, Bibcode : 1985JLTP ... 59..347L , DOI : 10.1007 / BF00683782 , S2CID 120813342
- ^ Андерсон, П. У. (1964), "Специальные эффекты в сверхпроводимости", в Каяниелло, Э. Р. (ред.), Лекции по проблеме многих тел, том. 2 , Нью-Йорк: Academic Press
- ^ Точнее, когда оба а также определены, а пространство таких является плотным подпространством квантового гильбертова пространства. Видеть Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 245
- ^ Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 285
- ^ Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 246
- ^ Busch, P .; Lahti, P .; Вернер, РФ (2013). «Доказательство связи ошибки и возмущения Гейзенберга». Письма с физическим обзором . 111 (16): 160405. arXiv : 1306.1565 . Bibcode : 2013PhRvL.111p0405B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.160405 . PMID 24182239 . S2CID 24507489 .
- ^ Busch, P .; Lahti, P .; Вернер, РФ (2014). «Неопределенность Гейзенберга для измерений кубита». Physical Review . 89 (1): 012129. arXiv : 1311.0837 . Bibcode : 2014PhRvA..89a2129B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.89.012129 . S2CID 118383022 .
- ^ Erhart, J .; Спонарь, С .; Сулек, Г .; Бадурек, G .; Ozawa, M .; Хасэгава, Ю. (2012). «Экспериментальная демонстрация универсально допустимого отношения погрешности и погрешности в измерениях спина». Физика природы . 8 (3): 185–189. arXiv : 1201,1833 . Bibcode : 2012NatPh ... 8..185E . DOI : 10.1038 / nphys2194 . S2CID 117270618 .
- ^ Baek, S.-Y .; Канеда, Ф .; Ozawa, M .; Эдамацу, К. (2013). «Экспериментальное нарушение и переформулировка отношения неопределенности ошибки Гейзенберга» . Научные отчеты . 3 : 2221. Bibcode : 2013NatSR ... 3E2221B . DOI : 10.1038 / srep02221 . PMC 3713528 . PMID 23860715 .
- ^ Ringbauer, M .; Биггерстафф, DN; Брум, Массачусетс; Fedrizzi, A .; Branciard, C .; Уайт, AG (2014). «Экспериментальные совместные квантовые измерения с минимальной погрешностью». Письма с физическим обзором . 112 (2): 020401. arXiv : 1308.5688 . Bibcode : 2014PhRvL.112b0401R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.112.020401 . PMID 24483993 . S2CID 18730255 .
- ^ Björk, G .; Söderholm, J .; Трифонов, А .; Цегайе, Т .; Карлссон, А. (1999). «Взаимодополняемость и отношения неопределенности». Физический обзор . A60 (3): 1878. arXiv : Quant-ph / 9904069 . Bibcode : 1999PhRvA..60.1874B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.60.1874 . S2CID 27371899 .
- ^ Фудзикава, Кадзуо (2012). «Универсально допустимое соотношение неопределенностей Гейзенберга». Physical Review . 85 (6): 062117. arXiv : 1205.1360 . Bibcode : 2012PhRvA..85f2117F . DOI : 10.1103 / PhysRevA.85.062117 . S2CID 119640759 .
- ^ Джадж Д. (1964), "О соотношении неопределенности для угловых переменных", Il Nuovo Cimento , 31 (2): 332–340, Bibcode : 1964NCim ... 31..332J , doi : 10.1007 / BF02733639 , S2CID 120553526
- ^ Бутен, М .; Maene, N .; Ван Левен, П. (1965), "О соотношении неопределенности для угловых переменных", Il Nuovo Cimento , 37 (3): 1119–1125, Bibcode : 1965NCim ... 37.1119B , doi : 10.1007 / BF02773197 , S2CID 122838645
- ^ Louisell, WH (1963), "Соотношения неопределенностей амплитуды и фазы", Physics Letters , 7 (1): 60–61, Bibcode : 1963PhL ..... 7 ... 60L , doi : 10.1016 / 0031-9163 (63 ) 90442-6
- ^ ДеВитт, Б.С.; Грэм, Н. (1973), Многомировая интерпретация квантовой механики , Принстон: Princeton University Press, стр. 52–53, ISBN. 0-691-08126-3
- ^ Гиршмана, II, младший (1957), "Замечание об энтропии", Американский журнал математики , 79 (1): 152-156, DOI : 10,2307 / 2372390 , JSTOR 2372390 .
- ^ Beckner, В. (1975), "Неравенство в Фурье анализ", Анналы математики , 102 (6): 159-182, DOI : 10,2307 / 1970980 , JSTOR 1970980 , КУП 432369 , PMID 16592223 .
- ^ Bialynicki-Birula, I .; Mycielski, J. (1975), "Отношения неопределенности для информационной энтропии в волновой механике", Сообщения по математической физике , 44 (2): 129–132, Bibcode : 1975CMaPh..44..129B , doi : 10.1007 / BF01608825 , S2CID 122277352
- ^ Хуан, Ичэнь (24 мая 2011 г.). «Энтропийные соотношения неопределенностей в многомерных позиционных и импульсных пространствах». Physical Review . 83 (5): 052124. arXiv : 1101.2944 . Bibcode : 2011PhRvA..83e2124H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.83.052124 . S2CID 119243096 .
- ^ Chafaï, D. (2003), "Гауссовский максимум энтропии и обратное логарифмическое неравенство Соболева", Séminaire de Probabilités XXXVI , Lecture Notes in Mathematics, 1801 , pp. 194–200, arXiv : math / 0102227 , doi : 10.1007 / 978 -3-540-36107-7_5 , ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID 17795603
- ^ Ефимов, Сергей П. (1976). «Математическая формулировка отношений неопределенности». Российский физический журнал . 19 (3): 95–99. Bibcode : 1976SvPhJ..19..340E . DOI : 10.1007 / BF00945688 . S2CID 121735555 .
- ^ Додонов, В.В. (2019). «Отношения неопределенности для нескольких наблюдаемых через алгебры Клиффорда» . Журнал физики: Серия конференций . 1194 012028 (1): 012028. Bibcode : 2019JPhCS1194a2028D . DOI : 10.1088 / 1742-6596 / 1194/1/012028 .
- ^ а б Додонов, В.В. (2018). «Дисперсионные отношения неопределенности без ковариаций для трех и четырех наблюдаемых». Physical Review . 37 (2): 022105. arXiv : 1711.04037 . Bibcode : 2018PhRvA..97b2105D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.97.022105 . S2CID 119510331 .
- ^ Havin, V .; Йерике Б. (1994), Принцип неопределенности в гармоническом анализе , Springer-Verlag
- ^ Фолланд, Джеральд; Ситары, Alladi (май 1997 г.), "Принцип неопределенности: Математическая обзор", журнал анализ и приложений Фурье , 3 (3): 207-238, DOI : 10.1007 / BF02649110 , МР 1448337 , S2CID 121355943
- ^ Ситарам, A (2001) [1994], "Принцип неопределенности, математический" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ^ Мэтт Холл, "Что такое принцип неопределенности Габора?"
- ^ Донохо, DL; Старк, ПБ (1989). «Принципы неопределенности и восстановление сигнала». Журнал SIAM по прикладной математике . 49 (3): 906–931. DOI : 10.1137 / 0149053 .
- ^ Теренс Тао (2005), "Принцип неопределенности для циклических групп простого порядка" , Mathematical Research Letters , 12 (1): 121–127
- ^ Amrein, WO; Бертье, А. М. (1977), "О свойствах опорных л р -функции и их преобразований Фурье", журнал функционального анализа , 24 (3): 258-267, DOI : 10,1016 / 0022-1236 (77) 90056-8 .
- ^ Бенедикс, М. (1985), "О преобразованиях Фурье функций с носителями на множествах конечной меры Лебега", J. Math. Анальный. Прил. , 106 (1): 180-183, DOI : 10.1016 / 0022-247X (85) 90140-4
- ^ Назаров Ф. (1994) "Локальные оценки экспоненциальных многочленов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности", Санкт-Петербург, Матем. J. , 5 : 663–717
- ^ Джейминг, доктор наук (2007), "Принципы неопределенности Назарова в более высоком измерении", J. Approx. Теория , 149 (1): 30–41, arXiv : math / 0612367 , doi : 10.1016 / j.jat.2007.04.005 , S2CID 9794547
- ^ Hardy, GH (1933), "Теорема относительно преобразований Фурье", журнал Лондонского математического общества , 8 (3): 227-231, DOI : 10.1112 / jlms / s1-8.3.227
- ^ Hörmander, L. (1991), "Теорема единственности Берлинга для пар преобразований Фурье", Арк. Матем. , 29 (1-2): 231-240, Bibcode : 1991ArM .... 29..237H , DOI : 10.1007 / BF02384339 , S2CID 121375111
- ^ Бонами, А .; Деманж, Б .; Джейминг, доктор наук (2003), "Функции Эрмита и принципы неопределенности для Фурье и оконных преобразований Фурье", Rev. Mat. Ибероамерикана , 19 : 23–55, arXiv : math / 0102111 , Bibcode : 2001math ...... 2111B , doi : 10.4171 / RMI / 337 , S2CID 1211391
- ^ Хеденмальм, Х. (2012), "Принцип неопределенности Гейзенберга в смысле Берлинга", J. Anal. Математика. , 118 (2): 691–702, arXiv : 1203.5222 , Bibcode : 2012arXiv1203.5222H , doi : 10.1007 / s11854-012-0048-9 , S2CID 54533890
- ^ Деманж, Бруно (2009), Принципы неопределенности, связанные с невырожденными квадратичными формами , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
- ^ «Интернет-выставка Гейзенберга / Неопределенность» . Американский институт физики, Центр истории физики . Проверено 16 октября 2019 .
- ^ Бор, Нильс; Нолл, Вальдемар (1958), «Атомная физика и человеческие знания», Американский журнал физики , Нью-Йорк: Wiley, 26 (8): 38, Bibcode : 1958AmJPh..26..596B , doi : 10.1119 / 1.1934707
- ^ Гейзенберга, В., Die Physik дер Atomkerne , Taylor & Francis, 1952, с. 30.
- ^ а б в Гейзенберг, В. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (на немецком языке), Лейпциг: HirzelАнглийский перевод Физические принципы квантовой теории . Чикаго: Издательство Чикагского университета, 1930.
- ^ Кэссиди, Дэвид; Саперштейн, Элвин М. (2009), «За пределами неопределенности: Гейзенберг, квантовая физика и бомба», Physics Today , New York: Bellevue Literary Press, 63 (1): 185, Bibcode : 2010PhT .... 63a .. 49C , DOI : 10,1063 / 1,3293416
- ^ Джордж Гринштейн; Артур Зайонц (2006). Квантовая задача: современные исследования основ квантовой механики . Джонс и Бартлетт Обучение. ISBN 978-0-7637-2470-2.
- ^ Типлер, Пол А .; Ллевеллин, Ральф А. (1999), "5–5", Modern Physics (3-е изд.), WH Freeman and Co., ISBN 1-57259-164-1
- ^ Enz, Charles P .; Мейенн, Карл фон, ред. (1994). Труды Вольфганга Паули по физике и философии . Springer-Verlag. п. 43. ISBN 3-540-56859-X; перевод Роберта ШлаппаCS1 maint: postscript ( ссылка )
- ^ Лекции Фейнмана по физике, том 3, 2–2
- ^ a b Гамов Г., Великие физики от Галилея до Эйнштейна , Courier Dover, 1988, с.260.
- ^ Кумар, М., Квантовая: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности , Icon, 2009, стр. 282.
- ^ Гамов, Г., Великие физики от Галилея до Эйнштейна , Courier Dover, 1988, стр. 260–261.
- ^ Кумар, М., Квантовая: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности , Icon, 2009, стр. 287.
- ^ Исааксон, Вальтер (2007), Эйнштейн: его жизнь и вселенная , Нью-Йорк: Саймон и Шустер, стр. 452 , ISBN 978-0-7432-6473-0
- ^ Герардус т Хофт временами отстаивал эту точку зрения.
- ^ а б в Поппер, Карл (1959), Логика научных открытий , Hutchinson & Co.
- ^ Джарви, Ян Чарльз; Милфорд, Карл; Миллер, Дэвид В. (2006), Карл Поппер: оценка столетия , 3 , Ashgate Publishing, ISBN 978-0-7546-5712-5
- ^ Поппер, Карл; Карл Фридрих фон Вайцзеккер (1934), «Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Критика отношений неопределенности)», Naturwissenschaften , 22 (48): 807–808, Bibcode : 1934NW ..... 22..807P , doi : 10.1007 / BF01496543 , S2CID 40843068 .
- ^ Поппер, К. Квантовая теория и раскол в физике , Unwin Hyman Ltd, 1982, стр. 53–54.
- ^ Мехра, Джагдиш; Рехенберг, Гельмут (2001), Историческое развитие квантовой теории , Springer, ISBN 978-0-387-95086-0
- ^ Комптон, AH (1931). «Принцип неопределенности и свобода воли». Наука . 74 (1911): 172. Bibcode : 1931Sci .... 74..172C . DOI : 10.1126 / science.74.1911.172 . PMID 17808216 .
- ^ Гейзенберг, М. (2009). "Является ли свобода воли иллюзией?" . Природа . 459 (7244): 164–165. Bibcode : 2009Natur.459..164H . DOI : 10.1038 / 459164a . PMID 19444190 . S2CID 4420023 .
- ^ а б Дэвис, PCW (2004). «Квантовая механика играет нетривиальную роль в жизни?». Биосистемы . 78 (1–3): 69–79. DOI : 10.1016 / j.biosystems.2004.07.001 . PMID 15555759 .
- ^ Хангги, Эстер; Венер, Стефани (2013). «Нарушение принципа неопределенности означает нарушение второго закона термодинамики». Nature Communications . 4 : 1670. arXiv : 1205.6894 . Bibcode : 2013NatCo ... 4.1670H . DOI : 10.1038 / ncomms2665 . PMID 23575674 . S2CID 205316392 .
Внешние ссылки
- "Принцип неопределенности" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Материя как волна - глава из онлайн-учебника
- Квантовая механика: мифы и факты
- Стэнфордская энциклопедия философии
- Преобразования Фурье и неопределенность в MathPages
- aip.org: Квантовая механика 1925–1927 - Принцип неопределенности
- Мир физики Эрика Вайсштейна - принцип неопределенности
- Джон Баэз о соотношении неопределенности времени и энергии
- Принцип достоверности
- Распространенное толкование принципа неопределенности Гейзенберга доказано ложным