В математике гомологии Флоера — это инструмент для изучения симплектической геометрии и низкоразмерной топологии . Гомологии Флоера — это новый инвариант , который возникает как бесконечномерный аналог конечномерных гомологии Морса . Андреас Флоер представил первую версию гомологии Флоера, теперь называемую лагранжевой гомологией Флоера, в своем доказательстве гипотезы Арнольда в симплектической геометрии. Флоер также разработал тесно связанную теорию лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия .. Третья конструкция, также принадлежащая Флоеру, связывает группы гомологий с замкнутыми трехмерными многообразиями с помощью функционала Янга – Миллса . Эти конструкции и их потомки играют фундаментальную роль в современных исследованиях топологии симплектических и контактных многообразий, а также (гладких) трехмерных и четырехмерных многообразий.
Гомологии Флоера обычно определяются путем связывания с интересующим объектом бесконечномерного многообразия и действительнозначной функции на нем. В симплектической версии это пространство свободных петель симплектического многообразия с симплектическим функционалом действия. Для ( инстантонной ) версии для трехмерных многообразий это пространство SU(2) -связностей на трехмерном многообразии с функционалом Черна–Саймонса . Грубо говоря, гомологии Флоера — это гомологии Морса функции на бесконечномерном многообразии. Цепной комплекс Флоера образован абелевой группой , натянутой на критические точкифункции (или, возможно, некоторых наборов критических точек). Дифференциал цепного комплекса определяется путем подсчета линий потока градиента функции, соединяющих определенные пары критических точек (или их наборы). Гомология Флоера - это гомология этого цепного комплекса.
Уравнение градиентной линии потока в ситуации, когда идеи Флоера могут быть успешно применены, обычно является геометрически значимым и аналитически поддающимся обработке уравнением. Для симплектических гомологии Флоера уравнение градиентного потока для пути в пространстве петель представляет собой (возмущенную версию) уравнение Коши-Римана для отображения цилиндра (всего пространства пути петель) в интересующее симплектическое многообразие; решения известны как псевдоголоморфные кривые . Затем используется теорема о компактности Громова , чтобы показать, что дифференциал корректно определен и равен нулю, так что гомологии Флоера определены. Для гомологии инстантона Флоера уравнения градиентного потока - это в точности уравнение Янга – Миллса на трехмерном многообразии, пересеченном вещественной линией.
Симплектические гомологии Флоера (SFH) - это теория гомологии, связанная с симплектическим многообразием и его невырожденным симплектоморфизмом . Если симплектоморфизм гамильтонов , гомологии возникают при изучении симплектического функционала действия на ( универсальном покрытии ) свободного пространства петель симплектического многообразия. SFH инвариантна относительно гамильтоновой изотопии симплектоморфизма.
Здесь невырожденность означает, что 1 не является собственным значением производной симплектоморфизма ни в одной из его неподвижных точек. Это условие означает, что неподвижные точки изолированы. SFH — это гомологии цепного комплекса , порожденного неподвижными точками такого симплектоморфизма, где дифференциал считает некоторые псевдоголоморфные кривые в произведении вещественной прямой и отображающего тора симплектоморфизма. Это само по себе симплектическое многообразие размерности на два больше, чем исходное многообразие. При соответствующем выборе почти комплексной структуры проколотые голоморфные кривые (конечной энергии) в ней имеют цилиндрические концы, асимптотические петлям вотображающий тор , соответствующий неподвижным точкам симплектоморфизма. Относительный индекс может быть определен между парами неподвижных точек, и дифференциал подсчитывает количество голоморфных цилиндров с относительным индексом 1.