Целое число

Целое число (от латинского integer , означающего «целое») ^[a] в просторечии определяется как число , которое можно записать без дробной части . Например, 21, 4, 0 и −2048 — целые числа, а 9,75, $5$ + 1/2 и √ $2$ — нет .

Множество целых чисел состоит из нуля ( 0 ) , положительных натуральных чисел ( 1 , 2 , 3 , ...), также называемых целыми числами или счетными числами , ^[2]^[3] и их аддитивных инверсий ( отрицательных целых чисел , т . е. −1 , −2, −3, ...). Набор целых чисел часто обозначается жирным шрифтом ( Z $)$ или жирной буквой «Z» на доске, что первоначально обозначало немецкое слово Zahlen («числа»). ^[4] ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z})}$ ^[5]^[6]

${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ является подмножеством множества всех рациональных чисел , которое, в свою очередь, является подмножеством действительных чисел . Как и натуральные числа, счетно бесконечно . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо , содержащее натуральные числа . В алгебраической теории чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа , чтобы отличить их от более общих алгебраических целых чисел . На самом деле (рациональные) целые числа — это целые алгебраические числа, которые также являются рациональными числами .

Символ может быть аннотирован для обозначения различных наборов, которые разные авторы используют по-разному: или для положительных целых чисел, или для неотрицательных целых чисел, и для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют его для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для ${-1, 1}$ ( группа единиц ) . Кроме того, используется для обозначения набора целых чисел по модулю $p$ (т. е. набора классов конгруэнтности целых чисел) или набора p -адических целых чисел . ^[7]^[8]^[9] ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {>}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {0+}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ geq}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ neq}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {р}}$

Символ с двойным ударом , часто используемый для обозначения набора всех целых чисел (см. ℤ )

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равномерно расположенные точки на бесконечно длинной числовой прямой . В приведенном выше примере неотрицательные целые числа показаны синим цветом, а отрицательные целые числа — красным.

Красные точки представляют упорядоченные пары натуральных чисел . Связанные красные точки — это классы эквивалентности, представляющие синие целые числа в конце строки.