Введение в 3-многообразия - это математическая книга по низкоразмерной топологии . Он был написан Дженнифер Шультенс и опубликован Американским математическим обществом в 2014 году в качестве 151 тома их серии книг « Аспирантура по математике» .
Темы [ править ]
Многообразие является пространством, топология, рядом с любой из ее точек, такое же , как топологии вблизи точки в евклидовом пространстве ; однако его глобальная структура может быть неевклидовой. Знакомые примеры двумерных многообразий включают сферу , тор и бутылку Клейна ; в этой книге основное внимание уделяется трехмерным многообразиям и двумерным поверхностям внутри них. Особое внимание уделяется расщеплению Хегора , двумерной поверхности, которая разделяет 3-многообразие на два тела руля.. Он направлен на то, чтобы представить основные идеи в этой области, но не включает подробных доказательств многих результатов, которые он утверждает, во многих случаях потому, что эти доказательства длинные и технические. [1]
В книге семь глав. Первые два являются вводными, дающими материал о многообразиях в целом, Hauptvermutung, доказывающим существование и эквивалентность триангуляций для многообразий низкой размерности, классификацией двумерных поверхностей , покрывающих пространств и группой классов отображений . Третья глава начинает материал книги о трехмерных многообразиях и о разложении многообразий на более мелкие пространства путем разрезания их вдоль поверхностей. Например, трехмерная теорема Шенфлиса утверждает, что разрезание евклидова пространства сферой может дать только два топологических шара; аналогичная теорема Дж. В. Александераутверждает, что по крайней мере одна сторона любого тора в евклидовом пространстве должна быть полноторием . Однако для более сложных многообразий разрез по несжимаемым поверхностям можно использовать для построения JSJ-разложения многообразия. В эту главу также включен материал о расслоенных пространствах Зейферта . Глава четыре проблемы теории узлов , узлы инварианты , тонкие позиции , и соотношение между узлами и их инвариантами к многообразию через узел комплементы , подпространства евклидова пространства на других сторонах торов. [1] [2]
Рецензент Бруно Циммерманн называет главы 5 и 6 «сердцем книги» [1], хотя рецензент Майкл Берг с этим не согласен, считая главу 4 по теории узлов более центральной. [3] В главе 5 обсуждаются нормальные поверхности , поверхности, которые контролируемым образом пересекают тетраэдры триангуляции многообразия. Параметризуя эти поверхности по тому, сколько частей каждого возможного типа они могут иметь в каждом тетраэдре триангуляции, можно свести многие вопросы о многообразиях, такие как распознавание тривиальных узлов и тривиальных многообразий, к вопросам теории чисел , о существовании решений. к некоторым диофантовым уравнениям . В книге этот инструмент используется для доказательства существования и уникальностипростые разложения многообразий. Глава 6 касается расщеплений Хегора , поверхностей, которые разделяют данный коллектор на два тела руля . Он включает в себя теорему Райдемейстера и Зингера об общих уточнениях («стабилизациях») расщеплений Хегора, сводимости расщеплений, уникальности расщеплений данного рода для евклидова пространства, а также график Рубинштейна – Шарлемана, инструмент для изучения расщеплений Хегора. . [1] [2]
В последней главе рассматриваются более сложные темы, включая гипотезу геометризации , хирургию Дена , слоения , слоения и комплексы кривых . [1] [2] Есть два приложения по общему положению и теории Морса . [4]
Аудитория и прием [ править ]
Несмотря на то, что эта книга написана в форме учебника для выпускников вводного уровня, в ней представлены многие последние разработки, что делает ее также интересной для специалистов в этой области. [1] [2] Требуется небольшой опыт в области общей топологии , и дополнительное знакомство с алгебраической топологией и дифференциальной геометрией может быть полезно при чтении книги. [2] [4] Включено много иллюстраций и упражнений. [4]
Рецензент Бруно Циммерманн утверждает, что книга «написана красиво и интуитивно понятно, поэтому читать ее приятно». [1] Рецензент Майкл Берг называет это «отличной книгой, которая богато иллюстрирует объем выбранной ею темы ... очень хорошо написана, ясна и ясна в изложении». [3]
Связанное чтение [ править ]
Другие связанные книги по математике 3-многообразий включают 3-многообразия Дж. Хемпеля (1976), Узлы, зацепления, косы и 3-многообразия Прасолова и Сосинского (1997), Алгоритмическую топологию и классификацию 3-многообразий С. В. Матвеева. (2-е изд., 2007 г.), а также сборник неопубликованных конспектов лекций Аллена Хэтчера по трехмерным многообразиям . [2]
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d e f g Циммерманн, Бруно, "Обзор введения в 3-многообразия ", zbMATH , Zbl 1295.57001
- ^ a b c d e f Перселл, Джессика С. , "Обзор введения в 3-многообразия ", Mathematical Reviews , MR 3203728
- ^ a b Майкл Берг (июль 2014 г.), «Обзор введения в 3-многообразия » , MAA Reviews , Mathematical Association of America
- ^ a b c Cap, A. (сентябрь 2016 г.), «Обзор введения в 3-многообразия », Monatshefte für Mathematik , 181 (3): 751–752, doi : 10.1007 / s00605-016-0971-4
