Квадратичная форма
В математике квадратичная форма — это многочлен , все члены которого имеют степень два (« форма » — другое название однородного многочлена ). Например,
является квадратичной формой от переменных x и y . Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному полю K , такому как действительные или комплексные числа, и говорят о квадратичной форме над K. Если , и квадратичная форма принимает нуль только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это определенная квадратичная форма , в противном случае - изотропная квадратичная форма .
Квадратичные формы занимают центральное место в различных разделах математики, включая теорию чисел , линейную алгебру , теорию групп ( ортогональные группы ), дифференциальную геометрию ( риманова метрика , вторая фундаментальная форма ), дифференциальную топологию ( формы пересечения четырехмерных многообразий ) и Ли теория ( форма Убийства ).
Квадратные формы не следует путать с квадратным уравнением , которое имеет только одну переменную и включает члены степени два или меньше. Квадратичная форма — один из случаев более общего понятия однородных многочленов .
Квадратичные формы — это однородные квадратичные многочлены от n переменных. В случаях одной, двух и трех переменных они называются унарными , бинарными и троичными и имеют следующий явный вид:
Обозначение часто используется для квадратичной формы
