В математике , однородный многочлен , который иногда называют Quantic в старых текстах, является многочленом которого отлично от нуля , все члены имеют одинаковую степень . [1] Например,- однородный многочлен степени 5 от двух переменных; сумма показателей в каждом члене всегда равна 5. Многочленне является однородным, потому что сумма показателей не совпадает от члена к члену. Многочлен однороден тогда и только тогда, когда он определяет однородную функцию .
Алгебраическая форма , или просто форма , является функция определяется однородным многочленом. [2] форма двоичной является формой двух переменных. Форма также функция , определенная на векторном пространстве , которое может быть выражено в виде однородной функции координат по любой основе .
Многочлен степени 0 всегда однороден; это просто элемент поля или кольца коэффициентов, обычно называемый константой или скаляром. Форма степени 1 - это линейная форма. [3] Форма степени 2 - это квадратичная форма . В геометрии , то евклидово расстояние является квадратным корнем из квадратичной формы.
Однородные полиномы повсеместно используются в математике и физике. [4] Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии, поскольку проективное алгебраическое многообразие определяется как множество общих нулей набора однородных многочленов.
Характеристики
Однородный многочлен определяет однородную функцию . Это означает, что если многомерный многочлен P однороден степени d , то
для каждого в любой области , содержащей коэффициенты из P . И наоборот, если указанное выше соотношение верно для бесконечного числато многочлен однороден степени d .
В частности, если P однородно, то
для каждого Это свойство является фундаментальным в определении проективного многообразия .
Любой ненулевой многочлен может быть разложен единственным способом в сумму однородных многочленов разной степени, которые называются однородными компонентами многочлена.
Для кольца многочленов над полем (или, в более общем смысле, кольцом ) K , однородные многочлены степени d образуют векторное пространство (или модуль ), обычно обозначаемое Указанное выше единственное разложение означает, что является прямой суммой из(сумма по всем неотрицательным целым числам ).
Размерность векторного пространства (или свободного модуля )это число различных мономов степени д в п переменных (то есть максимальное число ненулевых членов в однородном многочлен степени д в п переменных). Он равен биномиальному коэффициенту
Однородный полином удовлетворяет тождеству Эйлера для однородных функций . То есть, если P - однородный многочлен степени d от неопределенныхесть коммутативное кольцо коэффициентов,
где обозначает формальную частную производную от Р по отношению к
Гомогенизация
Неоднородный многочлен P ( x 1 , ..., x n ) можно усреднить, введя дополнительную переменную x 0 и определив однородный многочлен, иногда обозначаемый h P : [5]
где d представляет собой степень из P . Например, если
тогда
Усредненный многочлен можно дегомогенизировать, установив дополнительную переменную x 0 = 1. То есть
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2005). Использование алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике. 185 (2-е изд.). Springer. п. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.
- ^ Однако, поскольку некоторые авторы не проводят четкого различия между многочленом и связанной с ним функцией, термины однородный многочлен и форма иногда рассматриваются как синонимы.
- ^ Линейные формы определены только для конечномерного векторного пространства и, таким образом, должны отличаться от линейных функционалов , которые определены для каждого векторного пространства. «Линейный функционал» редко используется для конечномерных векторных пространств.
- ^ Однородные полиномы в физике часто появляются как следствие анализа размерностей , когда измеряемые величины должны совпадать в реальных задачах.
- Перейти ↑ Cox, Little & O'Shea 2005 , p. 35 год
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с однородными полиномами на Викискладе?
- Вайсштейн, Эрик В. «Однородный многочлен» . MathWorld .