В математике два линейных оператора называются изоспектральными или коспектральными, если они имеют одинаковый спектр . Грубо говоря, они должны иметь одинаковые наборы из собственных значений , когда те , подсчитывается с кратностью .
Теория изоспектральных операторов заметно различается в зависимости от того, является ли пространство конечномерным или бесконечномерным. В конечномерном случае мы имеем дело с квадратными матрицами .
В бесконечных измерениях спектр не обязательно должен состоять только из отдельных собственных значений. Однако случай компактного оператора в гильбертовом пространстве (или банаховом пространстве ) по-прежнему разрешим, поскольку собственные значения не более чем счетны с не более чем одной предельной точкой λ = 0. Наиболее изученная изоспектральная проблема в бесконечных измерениях - это проблема изоспектрального анализа. оператор Лапласа в области из R 2 . Две такие области называются изоспектральными, если их лапласианы изоспектральны. Проблема вывода геометрических свойств области из спектра ее лапласиана часто известна как определение формы барабана .
Конечномерные пространства
В случае операторов в конечномерных векторных пространствах для комплексных квадратных матриц отношение изоспектральности для двух диагонализуемых матриц является просто подобием . Однако это не снижает полностью интереса к концепции, поскольку мы можем иметь изоспектральное семейство матриц формы A ( t ) = M ( t ) −1 AM ( t ), зависящее от параметра t сложным образом. Это эволюция матрицы, которая происходит внутри одного класса сходства.
Фундаментальное понимание теории солитонов заключалось в том, что бесконечно малый аналог этого уравнения, а именно
- A ′ = [ A , M ] = AM - MA
лежал за законами сохранения, которые не давали солитонам рассеиваться. То есть сохранение спектра было интерпретацией механизма сохранения. Идентификация так называемых пар Лакса (P, L), приводящих к аналогичным уравнениям, Питером Лаксом , показала, как линейный механизм может объяснить нелинейное поведение.
Изоспектральные многообразия
Два замкнутых римановых многообразия называются изоспектральными, если собственные значения их оператора Лапласа – Бельтрами (лапласианы) с учетом кратностей совпадают. Одна из фундаментальных проблем спектральной геометрии состоит в том, чтобы спросить, в какой степени собственные значения определяют геометрию данного многообразия.
Есть много примеров изоспектральных многообразий, которые не являются изометричными. Первый пример был приведен в 1964 году Джоном Милнором . Он построил пару плоских торов 16 размерности, используя арифметические решетки, впервые изученные Эрнстом Виттом . После этого примера было построено множество изоспектральных пар в размерности два и выше (например, MF Vignéras, A. Ikeda, H. Urakawa, C. Gordon). В частности, Виньерас (1980) на основе формулы следа Сельберга для PSL (2, R ) и PSL (2, C ) построил примеры изоспектральных неизометрических замкнутых гиперболических 2-многообразий и 3-многообразий как частных гиперболических 2 -пространство и 3-пространство с помощью арифметических подгрупп, построенных с использованием кватернионных алгебр, связанных с квадратичными расширениями рациональных чисел теорией полей классов . [1] В этом случае формула следа Сельберга показывает, что спектр лапласиана полностью определяет спектр длин [ необходима цитата ] , набор длин замкнутых геодезических в каждом свободном гомотопическом классе, а также скручивание вдоль геодезической в 3- размерный случай. [2]
В 1985 году Тошиказу Сунада нашел общий метод построения, основанный на технике покрытия пространства , который, в своей первоначальной или в некоторых обобщенных версиях, стал известен как метод Сунада или конструкция Сунада. Как и предыдущие методы, он основан на формуле трассировки через дзета-функцию Сельберга . Сунада заметил, что метод построения числовых полей с той же дзета-функцией Дедекинда может быть адаптирован к компактным многообразиям. Его метод основан на том факте , что , если М представляет собой конечное покрытие компактного риманова многообразия М 0 с G на конечную группу из скольжений и H 1 , H 2 являются подгруппы G , отвечающие каждому сопряженный класс G в том же числе элементов , то многообразия H 1 \ M и H 2 \ M изоспектральны, но не обязательно изометричны. Хотя это не повторяет арифметические примеры Милнора и Виньераса [ цитата необходима ] , метод Сунады дает много известных примеров изоспектральных многообразий. Это привело К. Гордона, Д. Уэбба и С. Вольперта к открытию в 1991 году контрпримера к проблеме Марка Каца « Можно ли услышать форму барабана? » Элементарное лечение, основанное на методе Сунады, было позже приведено в Buser et al. (1994) .
Идея Сунады также стимулировала попытку найти изоспектральные примеры, которые не могли быть получены с помощью его техники. Среди множества примеров наиболее ярким является односвязный пример Schueth (1999) .
Смотрите также
Заметки
- ^ Маклахлан и Рид 2003
- ^ Это равносильно знанию класса сопряженности соответствующего элемента группы в PSL (2, R ) или PSL (2, C ).
Рекомендации
- Берар, Пьер (1988–1989), Variétés riemanniennes isospectrales non isométriques, экспозиция 705 (PDF) , Séminaire Bourbaki, 31
- Брукс, Роберт (1988), "Построение Изоспектральные многообразий", American Mathematical Monthly , Математическая ассоциация Америки, 95 (9): 823-839, DOI : 10,2307 / 2322897 , JSTOR 2322897
- Бузер, Питер (1986), "Изоспектральные римановых поверхностей" (PDF) , Annales де l'Institut Фурье , 36 : 167-192, DOI : 10,5802 / aif.1054
- Баззар, Питер; Конвей, Джон; Дойл, Питер; Семмлер, Клаус-Дитер (1994), "Некоторые плоские изоспектральные области" , Int. Математика. Res. Примечания : 391–400
- Маккин, HP (1972), "Формула следа Сельберга применительно к компактной римановой поверхности", Comm. Pure Appl. Математика. , 25 (3): 225-246, DOI : 10.1002 / cpa.3160250302
- Maclachlan, C .; Рид, Алан В. (2003), Арифметика трехмерных гиперболических многообразий , Springer, стр. 383–394, ISBN 0387983864,
- Милнор, Джон (1964), "Собственные значения оператора Лапласа на некоторых многообразиях", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 51 (4): 542, Bibcode : 1964PNAS ... 51..542M , DOI : 10.1073 / pnas.51.4.542 , КУП 300113 , PMID 16591156
- Schueth, D. (1999), "Непрерывные семейства изоспектральных метрик на односвязных многообразиях", Annals of Mathematics , 149 (1): 287–308, arXiv : dg-ga / 9711010 , doi : 10.2307 / 121026 , JSTOR 121026
- Сельберг, Атле (1956), "Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле", J. Indian Math. Soc. , 20 : 47–87
- Сунады, Т. (1985), "Римановы покрытия и Изоспектральные многообразия", Анналы математики , 121 (1): 169-186, DOI : 10,2307 / 1971195 , JSTOR 1971195
- Vignéras, Мари-Франс (1980), "Варьетэ riemanniennes isospectrales и др не isométriques", Анналы математики , Annals математики, 112 (1): 21-32, DOI : 10,2307 / 1971319 , JSTOR 1971319
- Вольперт, Скотт (1977), "Спектр собственных значений как модули для компактных римановых поверхностей" (PDF) , Bull. Амер. Математика. Soc. , 83 (6): 1306–1308, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1977-14425-X
- Wolpert, Scott (1979), "Длина спектров в качестве модулей для компактной римановой поверхности", Анналы математики , 109 (2): 323-351, DOI : 10,2307 / 1971114 , JSTOR 1971114