Исчисление Ито , названное в честь Киёси Ито , расширяет методы исчисления на случайные процессы, такие как броуновское движение (см. Винеровский процесс ). Он имеет важные приложения в финансовой математике и стохастических дифференциальных уравнениях .
Центральным понятием является стохастический интеграл Ито, стохастическое обобщение интеграла Римана – Стилтьеса в анализе. Подынтегральные выражения и интеграторы теперь являются случайными процессами:
где H - локально интегрируемый с квадратом процесс, адаптированный к фильтрации, порожденной X ( Revuz & Yor, 1999 , глава IV), которая является броуновским движением или, в более общем смысле, семимартингалом . Результатом интегрирования является другой случайный процесс. Конкретно, интеграл от 0 до любого конкретного t является случайной величиной , определяемой как предел определенной последовательности случайных величин. Пути броуновского движения не удовлетворяют требованиям, позволяющим применять стандартные методы исчисления. Таким образом, при подынтегральном выражении стохастический процесс стохастический интеграл Ито представляет собой интеграл относительно функции, которая не является дифференцируемой ни в какой точке и имеет бесконечное изменение на каждом временном интервале. Главное понимание, что интеграл может быть определен как долго , как подынтегральная Н будет приспособлен , который грубо говоря , означает , что его значение в момент времени T может зависеть только от доступной информации , вплоть до этого времени. Грубо говоря, выбирается последовательность разбиений интервала от 0 до t и строятся суммы Римана . Каждый раз, когда мы вычисляем сумму Римана, мы используем конкретный экземпляр интегратора. Очень важно, какая точка в каждом из небольших интервалов используется для вычисления значения функции. Тогда берется предел вероятности, поскольку сетка разбиения стремится к нулю. Необходимо позаботиться о многочисленных технических деталях, чтобы показать, что этот предел существует и не зависит от конкретной последовательности разделов. Обычно используется левый конец интервала.
Важные результаты исчисления Ито включают формулу интегрирования по частям и лемму Ито , которая представляет собой формулу замены переменных . Они отличаются от формул стандартного исчисления из-за членов квадратичной вариации .
В финансовой математике описанная стратегия оценки интеграла концептуализирована так, что мы сначала решаем, что делать, а затем наблюдаем за изменением цен. Интегральная функция - это то, сколько у нас акций, интегратор представляет движение цен, а интеграл - это количество денег, которые у нас есть в целом, включая стоимость наших акций в любой данный момент. Цены на акции и другие торгуемые финансовые активы можно моделировать с помощью стохастических процессов, таких как броуновское движение или, чаще, геометрическое броуновское движение (см. Блэка – Шоулза ). Тогда стохастический интеграл Ито представляет собой выигрыш от стратегии непрерывной торговли, состоящей в удержании количества H t акций в момент времени t . В этой ситуации условие адаптации H соответствует необходимому ограничению, заключающемуся в том, что торговая стратегия может использовать только доступную информацию в любое время. Это предотвращает возможность неограниченной прибыли за счет высокочастотной торговли : покупка акций непосредственно перед каждым подъемом на рынке и продажа перед каждым спадом. Точно так же условие адаптации H подразумевает, что стохастический интеграл не будет расходиться при вычислении как предела сумм Римана ( Revuz & Yor 1999 , глава IV).
Обозначение
Процесс Y, определенный ранее как
сам по себе является случайным процессом с параметром времени t , который также иногда записывается как Y = H · X ( Rogers & Williams 2000 ). В качестве альтернативы, интеграл часто записывается в дифференциальной форме Dy = H йХ , что эквивалентно Y - Y 0 = H · X . Поскольку исчисление Ито связано со случайными процессами с непрерывным временем, предполагается, что задано лежащее в основе фильтрованное вероятностное пространство.
Σ-алгебра F т представляет информацию , доступную вплоть до времени т , и процесс Х приспособлен , если Х т есть Р т -измеримой. Под броуновским движением B понимается F t -броуновское движение, которое является просто стандартным броуновским движением со свойствами, что B t является F t -измеримым и что B t + s - B t не зависит от F t для всех s. , t ≥ 0 ( Ревуз и Йор, 1999 ).
Интегрирование по броуновскому движению.
Интеграл Ито может быть определена в манере , сходной с интегралом Римана-Стилтьеса , то есть как предел по вероятности из сумм Римана ; такой предел не обязательно существует попутно. Предположим, что B - винеровский процесс (броуновское движение) и что H - непрерывный справа ( càdlàg ), адаптированный и локально ограниченный процесс. Еслипредставляет собой последовательность разбиений [0, t ] с сеткой, стремящейся к нулю, то интеграл Ито от H относительно B до момента t является случайной величиной
Можно показать, что этот предел сходится по вероятности .
Для некоторых приложений, таких как теоремы о мартингальном представлении и локальное время , интеграл необходим для процессов, которые не являются непрерывными. Эти предсказуемые процессы образуют наименьший класс , который замкнут относительно пределов последовательностей и содержит все адаптированные влево-непрерывных процессов. Если H - любой предсказуемый процесс такой, что ∫ 0 t H 2 ds <∞ для любого t ≥ 0, то можно определить интеграл H относительно B , и H называется B -интегрируемым. Любой такой процесс можно аппроксимировать последовательностью H n непрерывных слева, адаптированных и локально ограниченных процессов в том смысле, что
по вероятности. Тогда интеграл Ито равен
где, опять же, можно показать, что предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл удовлетворяет изометрии Ито
которое имеет место, когда H ограничена или, в более общем смысле, когда интеграл в правой части конечен.
Ито процессы
Процесс Ито определен , чтобы быть адаптированы стохастический процесс , который может быть выражен в виде суммы интеграла по отношению к броуновского движения и интеграл по времени,
Здесь B - броуновское движение, и требуется, чтобы σ был предсказуемым B -интегрируемым процессом, а μ был предсказуемым и (по Лебегу ) интегрируемым процессом . Это,
для каждого т . Стохастический интеграл можно распространить на такие процессы Ито,
Это определено для всех локально ограниченных и предсказуемых подынтегральных выражений. В более общем смысле требуется, чтобы H σ был B -интегрируемым, а H μ - интегрируемым по Лебегу, так что
Такие предсказуемые процессы H называются X -интегрируемыми.
Важным результатом для изучения процессов Ито является лемма Ито . В своей простейшей форме для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции f на вещественных числах и процесса Ито X, как описано выше, он утверждает, что f ( X ) сам является процессом Ито, удовлетворяющим
Это версия стохастического исчисления формулы замены переменных и цепного правила . Он отличается от стандартного результата из-за дополнительного члена, включающего вторую производную f , который исходит из того свойства, что броуновское движение имеет ненулевую квадратичную вариацию .
Семимартингалы как интеграторы
Интеграл Ито определяется по отношению к семимартингальной X . Это процессы , которые могут быть разложены в виде X = М + А для локального мартингала М и конечного вариации процесса A . Важные примеры таких процессов включают броуновское движение , которое является мартингалом , и процессы Леви . Для непрерывного слева, локально ограниченного и адаптированного процесса H интеграл H · X существует и может быть вычислен как предел сумм Римана. Пусть π n - последовательность разбиений отрезка [0, t ] с нулевой сеткой,
Этот предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл непрерывных слева процессов достаточно общий для изучения большей части стохастического исчисления. Например, этого достаточно для приложений леммы Ито, замены меры с помощью теоремы Гирсанова и для изучения стохастических дифференциальных уравнений . Однако этого недостаточно для других важных тем, таких как теоремы о мартингальном представлении и местное время .
Интеграл уникальным образом распространяется на все предсказуемые и локально ограниченные подынтегральные выражения, так что выполняется теорема о доминирующей сходимости . То есть, если H n →; H и | H n | ≤ J для локально ограниченного процесса J , то
по вероятности. Единственность продолжения от непрерывных слева до предсказуемых подынтегральных выражений является результатом леммы о монотонном классе .
В общем случае стохастический интеграл H · X может быть определен даже в тех случаях, когда предсказуемый процесс H не является локально ограниченным. Если K = 1 / (1 + | H |), то K и KH ограничены. Ассоциативность стохастического интегрирования следует , что Н является Й - интегрируем, со встроенными Н · Х = Y , тогда и только тогда , когда Y 0 = 0 и K · Y = ( KH ) ° Х . Множество X -интегрируемых процессов обозначим L ( X ).
Характеристики
Следующие свойства можно найти в таких работах, как ( Revuz & Yor 1999 ) и ( Rogers & Williams 2000 ):
- Стохастический интеграл - это непрерывный процесс. Кроме того, это семимартингал .
- Разрывы стохастического интеграла даются скачками интегратора, умноженными на подынтегральную функцию. Скачок процесса càdlàg в момент времени t равен X t - X t− и часто обозначается как Δ X t . В этих обозначениях Δ ( Н · Х ) = Н Δ Х . Частным следствием этого является то, что интегралы по непрерывному процессу всегда сами непрерывны.
- Ассоциативность . Пусть J , K - предсказуемые процессы, а K - X -интегрируемый. Тогда J является К · Х интегрируема тогда и только тогдакогда Ю.К. является Х интегрируема,в этом случае
- Преобладает конвергенция . Предположим, что H n → H и | H n | ≤ J , где J - X -интегрируемый процесс. Затем Н п · Х → Н · Х . Сходимость вероятна в каждый момент времени t . Фактически, она сходится равномерно на компактах по вероятности.
- Стохастический интеграл коммутирует с операцией взятия квадратичных ковариаций. Если X и Y - семимартингалы, то любой X -интегрируемый процесс также будет [ X , Y ] -интегрируемым и [ H · X , Y ] = H · [ X , Y ]. Следствием этого является то, что процесс квадратичного изменения стохастического интеграла равен интегралу процесса квадратичного изменения,
Интеграция по частям
Как и в обычном исчислении, интегрирование по частям является важным результатом в стохастическом исчислении. Формула интегрирования по частям для интеграла Ито отличается от стандартного результата из-за включения квадратичного члена ковариации . Этот термин происходит от того факта, что исчисление Ито имеет дело с процессами с ненулевой квадратичной вариацией, которая имеет место только для процессов с бесконечной вариацией (таких как броуновское движение). Если X и Y - семимартингалы, то
где [ X , Y ] - квадратичный ковариационный процесс.
Результат аналогичен теореме интегрирования по частям для интеграла Римана – Стилтьеса, но имеет дополнительный член квадратичной вариации .
Лемма Ито
Лемма Ито - это версия цепного правила или формулы замены переменных, которая применяется к интегралу Ито. Это одна из самых мощных и часто используемых теорем стохастического исчисления. Для непрерывного n -мерного семимартингала X = ( X 1 , ..., X n ) и дважды непрерывно дифференцируемой функции f из R n в R он утверждает, что f ( X ) является семимартингалом и,
Это отличается от цепного правила, используемого в стандартном исчислении, из-за члена, включающего квадратичную ковариацию [ X i , X j ]. Формулу можно обобщить на прерывистые семимартингалы, добавив чисто скачкообразный член, чтобы гарантировать совпадение скачков левой и правой частей (см . Лемму Ито ).
Интеграторы Мартингейла
Местные мартингалы
Важным свойством интеграла Ито является то, что он сохраняет свойство локального мартингала . Если M - локальный мартингал, а H - локально ограниченный предсказуемый процесс, то H · M также является локальным мартингалом. Для подынтегральных выражений, которые не являются локально ограниченными, есть примеры, когда H · M не является локальным мартингалом. Однако это может произойти только тогда, когда M не является непрерывным. Если M - непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс H является M -интегрируемым тогда и только тогда, когда
для каждого t , и H · M всегда является локальным мартингалом.
Наиболее общее утверждение для прерывистого локального мартингальной М является то , что если ( Н 2 · [ М ]) 1/2 является локально интегрируема , то Н · М существует и является локальным мартингалом.
Квадратные интегрируемые мартингалы
Для ограниченных интеграндов, Ито стохастический интеграл сохраняет пространство в квадратично интегрируемых мартингалов, что множество càdlàg мартингалами М такое , что E [ M т 2 ] конечна для всех т . Для любого такого мартингала M , интегрируемого с квадратом , процесс квадратичной вариации [ M ] интегрируем, а изометрия Ито утверждает, что
Это равенство в более общем случае имеет место для любого мартингала M такого, что H 2 · [ M ] t интегрируем. Изометрия Ито часто используется как важный шаг в построении стохастического интеграла, определяя H · M как уникальное расширение этой изометрии с определенного класса простых интегрантов на все ограниченные и предсказуемые процессы.
p -Интегрируемые мартингалы
Для любого p > 1 и ограниченного предсказуемого подынтегрального выражения стохастический интеграл сохраняет пространство p -интегрируемых мартингалов. Это мартингалы такие, что E (| M t | p ) конечно для всех t . Однако это не всегда верно в случае, когда p = 1. Существуют примеры интегралов ограниченных предсказуемых процессов по отношению к мартингалам, которые сами не являются мартингалами.
Максимальный процесс в càdlàg-процессе M записывается как M * t = sup s ≤ t | М с |, Для любого p ≥ 1 и ограниченного предсказуемого подынтегрального выражения стохастический интеграл сохраняет пространство càdlàg мартингалов M, такое что E [( M * t ) p ] конечно для всех t . Если p > 1, то по неравенствам Дуба это то же самое, что и пространство p -интегрируемых мартингалов .
В Burkholder-Davis-Gundy неравенств , что для любого заданного состояния р ≥ 1, существуют положительные константы C , C , которые зависят от р , но не М или т таким образом, что
для всех càdlàg местных мартингалами M . Они используются, чтобы показать, что если ( M * t ) p интегрируем, а H - ограниченный предсказуемый процесс, то
и, следовательно, H · M - p -интегрируемый мартингал. В более общем смысле это утверждение верно, когда ( H 2 · [ M ]) p / 2 интегрируемо.
Существование интеграла
Доказательства того, что интеграл Ито правильно определен, обычно основываются на рассмотрении вначале очень простых подынтегральных выражений, таких как кусочно-постоянные, непрерывные слева и адаптированные процессы, в которых интеграл может быть записан явно. Такие простые предсказуемые процессы представляют собой линейные комбинации членов вида H t = A 1 { t > T } для моментов остановки T и F T -измеримых случайных величин A , для которых интеграл равен
Это распространяется на все простые предсказуемые процессы в силе линейности Н · X в Н .
Для броуновского движения B свойство, состоящее в том, что оно имеет независимые приращения с нулевым средним и дисперсией Var ( B t ) = t, может быть использовано для доказательства изометрии Ито для простых предсказуемых подынтегральных выражений,
С помощью непрерывного линейного расширения интеграл однозначно распространяется на все предсказуемые подынтегральные выражения, удовлетворяющие
таким образом, что изометрия Ито все еще сохраняется. Затем его можно распространить на все B- интегрируемые процессы путем локализации . Этот метод позволяет определить интеграл по отношению к любому процессу Ито.
Для общего семимартингала X , разложение Х = М + в локальный мартингал М плюс конечный процесс вариации A может быть использовано. Тогда интеграл может быть показано , что существуют отдельно по отношению к М и А , и в сочетании с использованием линейности, Н · Х = Н · М + Н · , чтобы получить интеграл по X . Стандартный интеграл Лебега – Стилтьеса позволяет определять интегрирование относительно процессов конечной вариации, поэтому существование интеграла Ито для семимартингалов будет следовать из любой конструкции для локальных мартингалов.
Для мартингала M , интегрируемого с квадратом , можно использовать обобщенную форму изометрии Ито. Во-первых, используется теорема Дуба – Мейера о разложении, чтобы показать, что существует разложение M 2 = N + < M >, где N - мартингал, а < M > - непрерывный справа, возрастающий и предсказуемый процесс, начинающийся с нуля. Это однозначно определяет < М >, которая называется предсказуемой квадратичной вариации из M . Изометрия Ито для мартингалов, интегрируемых с квадратом, тогда
что может быть доказано непосредственно для простых предсказуемых интегрантов. Как и в предыдущем случае для броуновского движения, можно использовать непрерывное линейное расширение для однозначного расширения на все предсказуемые подынтегральные выражения, удовлетворяющие E [ H 2 · < M > t ] <∞. Этот метод можно распространить на все мартингалы, интегрируемые с квадратом, путем локализации. Наконец, разложение Дуба – Мейера можно использовать для разложения любого локального мартингала на сумму локального квадратично интегрируемого мартингала и процесса конечной вариации, что позволяет построить интеграл Ито относительно любого семимартингала.
Существует множество других доказательств, которые применяют аналогичные методы, но которые избегают необходимости использовать теорему о разложении Дуба-Мейера, например, использование квадратичной вариации [ M ] в изометрии Ито, использование меры Долеана для субмартингалов или использование из неравенств Burkholder-Davis-Gundy вместо изометрии Ито. Последнее применяется непосредственно к местным мартингалам, без необходимости сначала разбираться со случаем интегрируемого с квадратом мартингала.
Существуют альтернативные доказательства, использующие только тот факт, что X càdlàg, адаптировано и множество { H · X t : | H | ≤ 1 просто предвидимо} ограничено по вероятности для каждого момента t , что является альтернативным определением для X как семимартингала. Непрерывное линейное расширение можно использовать для построения интеграла для всех непрерывных слева и адаптированных подынтегральных выражений с правыми пределами всюду (caglad или L-процессы). Этого достаточно, чтобы можно было применять такие техники, как лемма Ито ( Protter 2004 ). Кроме того, неравенство Хинчина можно использовать для доказательства теоремы о доминируемой сходимости и распространения интеграла на общие предсказуемые подынтегральные выражения ( Бихтелер, 2002 ).
Дифференциация в исчислении Ито
Исчисление Ито в первую очередь определяется как интегральное исчисление, как описано выше. Однако существуют и другие понятия «производной» по отношению к броуновскому движению:
Производная Маллявэна
Исчисление Маллявэна обеспечивает теорию дифференцирования случайных величин, определенных в винеровском пространстве , включая формулу интегрирования по частям ( Nualart 2006 ).
Представление Мартингейла
Следующий результат позволяет выразить мартингалы в виде интегралов Ито: если M - квадратично интегрируемый мартингал на временном интервале [0, T ] относительно фильтрации, порожденной броуновским движением B , то существует единственный адаптированный квадратично интегрируемый процесс α на [0, T ] такие, что
почти наверняка и для всех t ∈ [0, T ] ( Rogers & Williams, 2000 , теорема 36.5). Эту теорему о представлении можно формально интерпретировать как утверждение, что α является «производной по времени» от M по отношению к броуновскому движению B , поскольку α - это именно тот процесс, который необходимо проинтегрировать до момента времени t, чтобы получить M t - M 0 , как в детерминированное исчисление.
Исчисление Ито для физиков
В физике обычно используются стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), такие как уравнения Ланжевена , а не стохастические интегралы. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) Ито часто формулируется с помощью
где гауссовский белый шум с
и используется соглашение Эйнштейна о суммировании .
Если является функцией x k , то необходимо использовать лемму Ито :
SDE Ито, как указано выше, также соответствует SDE Стратоновича, которое читается
СДУ часто встречаются в физике в форме Стратоновича, как пределы стохастических дифференциальных уравнений, управляемых цветным шумом, если время корреляции шумового члена приближается к нулю. Недавнее рассмотрение различных интерпретаций стохастических дифференциальных уравнений см., Например, в ( Lau & Lubensky 2007 ).
Интерпретация Ито и суперсимметричная теория СДУ
В суперсимметричной теории СДУ стохастическая эволюция определяется через оператор стохастической эволюции (SEO), действующий на дифференциальные формы фазового пространства. Дилемма Ито-Стратоновича принимает форму неоднозначности упорядочения операторов, которая возникает на пути от интеграла по путям к операторному представлению стохастической эволюции. Интерпретация Ито соответствует соглашению об упорядочивании операторов, согласно которому все операторы импульса действуют после всех операторов положения. SEO можно сделать уникальным, снабдив его наиболее естественным математическим определением отката, вызванного зависящими от шумовой конфигурации диффеоморфизмами SDE и усредненного по шумовым конфигурациям. Это устранение неоднозначности приводит к интерпретации СДУ Стратоновича, которая может быть превращена в интерпретацию Ито посредством определенного сдвига векторного поля потока СДУ.
Смотрите также
- Стохастическое исчисление
- Винеровский процесс
- Лемма Ито
- Интеграл Стратоновича
- Семимартингейл
Рекомендации
- Бихтелер, Клаус (2002), Стохастическая интеграция со скачками (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81129-5
- Коэн, Самуэль; Эллиотт, Роберт (2015), Стохастическое исчисление и приложения (2-е изд.), Birkhaueser , ISBN 978-1-4939-2867-5
- Хаген Кляйнерт (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, World Scientific (Сингапур); Мягкая обложка ISBN 981-238-107-4 . Пятое издание доступно онлайн: PDF-файлы с обобщениями леммы Ито для негауссовских процессов.
- Он, Шэн-ву; Ван, Цзя-ган; Ян, Цзя- ань (1992), Теория семимартингалов и стохастическое исчисление , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 978-0849377150
- Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-97655-8
- Лау, Энди; Любенский, Том (2007), "Зависимая диффузия от состояния", Phys. Rev. E , 76 (1): 011123, arXiv : 0707.2234 , Bibcode : 2007PhRvE..76a1123L , doi : 10.1103 / PhysRevE.76.011123
- Нуаларт, Дэвид (2006), Исчисление Маллявэна и связанные темы , Springer, ISBN 3-540-28328-5
- Эксендал, Бернт К. (2003), Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями , Берлин: Springer, ISBN 3-540-04758-1
- Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
- Ревуз, Даниил; Йор, Марк (1999), Непрерывные мартингалы и броуновское движение , Берлин: Springer, ISBN 3-540-57622-3
- Роджерс, Крис; Уильямс, Дэвид (2000), диффузии, марковские процессы и мартингалы - том 2: исчисление Ито , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-77593-0
- Финансовое математическое программирование в TI-Basic, которое реализует исчисление Ито для TI-калькуляторов.