В математике , теорема Койпера (после Николаса Койпера ) является результатом на топологии операторов на бесконечномерным, комплексном гильбертовом пространстве H . Он утверждает , что пространство GL ( H ) из обратимых ограниченных эндоморфизмов из Н такова , что все карты из любого конечного комплекса Y в GL ( H ) являются гомотопной константой, для топологии нормы на операторах.
Важное следствие, также называемое теоремой Койпера , состоит в том, что эта группа слабо стягиваема , т. Е. все его гомотопические группы тривиальны. Этот результат имеет важное применение в топологической K-теории .
Общая топология полной линейной группы
Для конечномерной H эта группа была бы сложной общей линейной группой и вовсе не стягиваемой. На самом деле это гомотопически эквивалентно ее максимальной компактной подгруппы , в унитарной группы U из H . Доказательство того, что комплексная общая линейная группа и унитарная группа имеют один и тот же гомотопический тип, проводится с помощью процесса Грама-Шмидта или с помощью матричного полярного разложения и переносится на бесконечномерный случай сепарабельного гильбертова пространства , в основном потому, что пространство верхнетреугольные матрицы стягиваемы, что можно увидеть довольно явно. Основной феномен состоит в том, что переход к бесконечному множеству измерений приводит к исчезновению большей части топологической сложности унитарных групп; но см. раздел об унитарной группе Ботта, где переход к бесконечности более ограничен, и в результирующей группе есть нетривиальные гомотопические группы.
Исторический контекст и топология сфер
Удивительно, что единичная сфера , иногда обозначаемая как S ∞ , в бесконечномерном гильбертовом пространстве H является стягиваемым пространством , в то время как никакие конечномерные сферы не стягиваются. Этот результат, несомненно известный за десятилетия до Кейпера, может иметь статус математического фольклора , но на него довольно часто ссылаются. [1] [2] На самом деле более верно: S ∞ является диффеоморфен к H , что, безусловно , сжимаемым ее выпуклости. [3] Одним из следствий этого является то , что существует гладкие контрпримеры к расширению Брауэра с фиксированной точкой теоремы для единичного шара в H . [4] Существование таких контрпримеров, которые являются гомеоморфизмами, было показано в 1943 году Шизуо Какутани , который, возможно, первым написал доказательство стягиваемости единичной сферы. [5] Но результат все равно был по существу известен (в 1935 году Андрей Николаевич Тихонов показал, что единичная сфера была ретрактом единичного шара). [6]
Результат о группе ограниченных операторов был доказан голландским математиком Николаасом Койпером для случая сепарабельного гильбертова пространства; позже ограничение на разделимость было снято. [7] Тот же результат, но для сильной операторной топологии, а не для топологии нормы, был опубликован в 1963 году Жаком Диксмье и Адрианом Дуади . [8] геометрическое соотношение сферы и группы операторов является то , что единичная сфера является однородным пространством для унитарной группы U . Стабилизатором единственного вектора v единичной сферы является унитарная группа ортогонального дополнения к v ; поэтому гомотопическая длинная точная последовательность предсказывает, что все гомотопические группы единичной сферы будут тривиальными. Это показывает тесную топологическую взаимосвязь, но самого по себе этого недостаточно, поскольку включение точки будет только слабой гомотопической эквивалентностью , а это подразумевает сжимаемость непосредственно только для комплекса CW . В статье, опубликованной через два года после Койпера [9], Ричард Пале представил технические результаты о бесконечномерных многообразиях, достаточные для решения этой проблемы. [10]
Унитарная группа Ботта
Существует еще одна бесконечномерная унитарная группа, имеющая большое значение в теории гомотопий , к которой применима теорема периодичности Ботта . Это, конечно, не сжимаемо. Отличие от группы Койпера можно объяснить: группа Ботта - это подгруппа, в которой данный оператор действует нетривиально только на подпространстве, натянутом на первые N фиксированного ортонормированного базиса { e i }, для некоторого N , являющегося тождеством на остальные базисные векторы.
Приложения
Непосредственным следствием общей теории расслоений является то, что каждое гильбертово расслоение является тривиальным расслоением . [11]
Результат о стягиваемости S ∞ дает геометрическую конструкцию классифицирующих пространств для определенных групп, которые свободно действуют в нем, например, циклической группы с двумя элементами и группы окружности . Унитарная группа U в смысле Ботта имеет классифицирующее пространство BU для комплексных векторных расслоений (см. Классифицирующее пространство для U (n) ). Более глубокое приложение, исходящее из теоремы Койпера, - это доказательство теоремы Атьи – Яниха (после Клауса Йениха и Майкла Атьи ), в которой говорится, что пространство фредгольмовых операторов на H с топологией нормы представляет собой функтор K (.) Топологического (. комплекс) K-теория в смысле теории гомотопий. Это дано Атьей. [12]
Случай банаховых пространств
Тот же вопрос можно задать об обратимых операторах в любом банаховом пространстве бесконечной размерности. Здесь есть лишь частичные результаты. Некоторые классические пространства последовательностей обладают тем же свойством, а именно, что группа обратимых операторов стягиваема. С другой стороны, известны примеры, когда это не может быть связным пространством . [13] Если известно, что все гомотопические группы тривиальны, сжимаемость в некоторых случаях может оставаться неизвестной.
Рекомендации
- ^ Джон Баэз , «Находки этой недели по математической физике, неделя 151», [1]
- ^ Дэйв Русин, публикация группы новостей http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/93_back/s-infty. Архивировано 2 июля2010 г. на Wayback Machine.
- ^ C. Бессага, Каждое бесконечномерное гильбертово пространство диффеоморфно своей единичной сфере . Бык. Акад. Полон. Sci. Сер. Sci. Математика. 14 (1966), 2731.
- ^ Анджей Granas, Джеймс Дугунджи , теория с фиксированной точкой (2003), стр. 82-3.
- ^ С. Какутани, Топологические свойства единичной сферы в гильбертовом пространстве , Proc. Imp. Акад. Токио 19 (1943), 269–271.
- ^ Анджей Granas, Джеймс Дугунджи, стр. 108.
- ^ Люк Иллюзи , Contractibilité дю GROUPE linéaire де ESPACES де Гильберт де измерение infinie , Seminaire Бурбаки 1964, Exp. № 284.
- ^ Лемма 3 на стр. 26, Champs continus d'espaces hilbertiens (PDF) , Bulletin de la Société Mathématique de France, 91 (1963), стр. 227-284.
- ^ Ричард Пале, Гомотопическая теория бесконечномерных многообразий , Топология, т. 5, стр. 1-16 (1966).
- ^ Например, http://math.leetspeak.org/GN/homotopy_groups_of_operator_groups.pdf [ постоянная мертвая ссылка ]
- ^ Booss и Bleecker, топология и анализ (1985), стр. 67.
- ^ Майкл Атья , K-теория стр. 153 и стр. 162-3, Собрание сочинений, том 2, стр. 590-600.
- ^ Герберт Шредер, О топологии группы обратимых элементов (PDF), препринт обзор .
- Койпер, Н. (1965). «Гомотопический тип унитарной группы гильбертова пространства». Топология . 3 (1): 19–30. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (65) 90067-4 .