Математическое понятие гильбертово пространство , названное в честь Давида Гильберта , обобщающее понятие евклидова пространства . Он расширяет методы векторной алгебры и исчисления с двухмерной евклидовой плоскости и трехмерного пространства до пространств с любым конечным или бесконечным числом измерений . Гильбертово пространство - это векторное пространство, снабженное внутренним произведением , операцией, которая позволяет определять длины и углы. Кроме того, гильбертовы пространства полны , а это значит, что существует достаточно ограничений. в пространстве, чтобы можно было использовать методы исчисления.
Гильбертовые пространства возникают естественным образом и часто в математике и физике , обычно как бесконечномерные функциональные пространства . Самые ранние гильбертовы пространства изучались с этой точки зрения в первом десятилетии 20-го века Давидом Гильбертом , Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом . Они являются незаменимыми инструментами в теориях уравнений в частных производных , квантовой механике , анализе Фурье (который включает приложения для обработки сигналов и теплопередачи) и эргодической теории (которая формирует математическую основу термодинамики ). Джон фон Нейман ввел термин « гильбертово пространство» для обозначения абстрактной концепции, лежащей в основе многих из этих разнообразных приложений. Успех методов гильбертова пространства положил начало очень плодотворной эре функционального анализа . Помимо классических евклидовых пространств, примеры гильбертовых пространств включают в себя пространство квадратично интегрируемых функций , пространство последовательностей , пространства Соболева , состоящие из обобщенных функций и пространство Харди из голоморфных функций .
Геометрическая интуиция играет важную роль во многих аспектах теории гильбертова пространства. Точные аналоги теоремы Пифагора и закона параллелограмма верны в гильбертовом пространстве. На более глубоком уровне перпендикулярная проекция на подпространство (аналог « снижения высоты » треугольника) играет важную роль в задачах оптимизации и других аспектах теории. Элемент гильбертова пространства может быть однозначно задан своими координатами относительно набора координатных осей ( ортонормированный базис ) по аналогии с декартовыми координатами на плоскости. Когда этот набор осей счетно бесконечен , гильбертово пространство также можно с пользой рассматривать в терминах пространства бесконечных последовательностей , суммируемых с квадратом . Последнее пространство часто в старой литературе упоминается как в гильбертовом пространстве. Линейные операторы в гильбертовом пространстве также являются довольно конкретными объектами: в хороших случаях они представляют собой просто преобразования, которые растягивают пространство на разные факторы во взаимно перпендикулярных направлениях в том смысле, который уточняется путем изучения их спектра .
Определение и иллюстрация
Мотивирующий пример: евклидово векторное пространство
Одним из наиболее известных примеров гильбертова пространства является евклидово векторное пространство, состоящее из трехмерных векторов , обозначенных R 3 , и снабженное скалярным произведением . Скалярное произведение берет два вектора x и y и дает действительное число x ⋅ y . Если x и y представлены в декартовых координатах , то скалярное произведение определяется как
Скалярное произведение удовлетворяет свойствам:
- Он симметричен по x и y : x ⋅ y = y ⋅ x .
- Он линейен по своему первому аргументу: ( a x 1 + b x 2 ) ⋅ y = a x 1 ⋅ y + b x 2 ⋅ y для любых скаляров a , b и векторов x 1 , x 2 и y .
- Это положительно определена : для всех векторов х , х ⋅ х ≥ 0 , причем равенство тогда и только тогда , когда х = 0 .
Операция с парами векторов, которая, как и скалярное произведение, удовлетворяет этим трем свойствам, называется (реальным) внутренним произведением . Векторное пространство , оборудованное такой внутренний продукт известно как (реальный) внутреннее пространство продукта . Каждое конечномерное внутреннее пространство продукта также является гильбертовым пространством. Основная особенность скалярного произведения, которая связывает его с евклидовой геометрией, состоит в том, что оно связано как с длиной (или нормой ) вектора, обозначенной || х || , а на угол θ между двумя векторами x и y по формуле
Многовариантное исчисление в евклидовом пространстве полагается на способность вычислять пределы и наличие полезных критериев для заключения о существовании пределов. Математическая серия
состоящий из векторов в R 3 , абсолютно сходится при условии, что сумма длин сходится как обычный ряд действительных чисел: [1]
Как и в случае с серией скаляров, серия абсолютно сходящихся векторов также сходится к некоторому предельному вектору L в евклидовом пространстве в том смысле, что
Это свойство выражает полноту евклидова пространства: абсолютно сходящийся ряд также сходится в обычном смысле.
Гильбертовы пространства часто берутся над комплексными числами . Комплексная плоскость обозначается C оснащена понятием величины, то комплексный модуль | z | который определяется как квадратный корень из произведения z на комплексное сопряжение :
Если z = x + iy является разложением z на его действительную и мнимую части, то модуль представляет собой обычную евклидову двумерную длину:
Скалярное произведение пары комплексных чисел z и w - это произведение z на комплексно сопряженное число w :
Это комплексно. Действительная часть ⟨ г , ш ⟩ дает обычное двумерное евклидово скалярное произведение .
Второй пример - пространство C 2 , элементами которого являются пары комплексных чисел z = ( z 1 , z 2 ) . Тогда скалярное произведение z на другой такой вектор w = ( w 1 , w 2 ) задается формулой
Действительная часть ⟨ г , ш ⟩ тогда двумерное евклидово скалярное произведение. Это внутреннее произведение эрмитово симметрично, что означает, что результатом перестановки z и w будет комплексное сопряжение:
Определение
Гильбертово пространство Н является реальным или сложным внутренним пространством продукта , который также является полным метрическим пространство относительно функции расстояния , индуцированной скалярным произведением. [2]
Для того, чтобы сказать , что Н представляет собой сложный внутренний продукт пространство означает , что Н представляет собой комплексное векторное пространство , на котором есть скалярное произведение ⟨ х , у ⟩ связывая комплексное число к каждой паре элементов х , у из Н , которая удовлетворяет следующим свойствам:
- Внутренний продукт сопряженно-симметричный; то есть внутренний продукт пары элементов равен комплексному сопряжению внутреннего продукта замененных элементов:
- Внутренний продукт линейен по своему первому [nb 1] аргументу. Для всех комплексных чисел и Ь ,
- Внутренний продукт элемента с самим собой положительно определен :
Из свойств 1 и 2 следует, что комплексное внутреннее произведение антилинейно , также называемое сопряженно-линейным , во втором аргументе, что означает, что
Реальное внутреннее пространство продукта определяется таким же образом, за исключением того, что Н является реальным векторным пространством и скалярное произведение принимает действительные значения. Такое внутреннее произведение будет билинейным отображением, а ( H , H , ⟨⋅, ⋅⟩) образует двойственную систему . [3]
Нормой является функцией вещественной
а расстояние d между двумя точками x , y в H определяется в терминах нормы формулой
То, что эта функция является функцией расстояния, означает, во-первых, что она симметрична по x и y , во-вторых, что расстояние между x и самим собой равно нулю, а в противном случае расстояние между x и y должно быть положительным, и, наконец, что неравенство треугольника выполняется, что означает что длина одного катета треугольника xyz не может превышать сумму длин двух других катетов:
Последнее свойство в конечном итоге является следствием более фундаментального неравенства Коши – Шварца , которое утверждает
равенство тогда и только тогда , когда х и у являются линейно зависимыми .
С функцией расстояния, определенной таким образом, любое внутреннее пространство продукта является метрическим пространством и иногда известно как предгильбертово пространство Хаусдорфа . [4] Любое предгильбертово пространство, которое дополнительно также является полным пространством, является гильбертовым пространством.
Полнота из H выражается с помощью формы критерия Кошей для последовательностей в Н : предгильбертовое пространство Н является полным , если каждые Коши последовательность сходится относительно этой нормы к элементу в пространстве. Полноту можно охарактеризовать следующим эквивалентным условием: если серия векторов
абсолютно сходится в том смысле, что
то ряд сходится в H , в том смысле , что частичные суммы сходятся к элементу Н .
Как полное нормированное пространство, гильбертовы пространства по определению также являются банаховыми пространствами . Как таковые, они являются топологическими векторными пространствами , в которых хорошо определены топологические понятия, такие как открытость и замкнутость подмножеств. Особое значение имеет понятие замкнутого линейного подпространства в гильбертовом пространстве, которое со скалярным произведением, индуцированным ограничением, также является полным (будучи замкнутым множеством в полном метрическом пространстве) и, следовательно, является гильбертовым пространством само по себе.
Второй пример: пробелы последовательности
Пространство последовательностей l 2 состоит из всех бесконечных последовательностей z = ( z 1 , z 2 ,…) комплексных чисел, таких что ряд
сходится . Внутренний продукт на l 2 определяется как
причем последний ряд сходится вследствие неравенства Коши – Шварца .
Полнота пространства сохраняется при условии, что всякий раз, когда ряд элементов из l 2 сходится абсолютно (по норме), он сходится к элементу из l 2 . Доказательство является базовым в математическом анализе и позволяет манипулировать математическими сериями элементов пространства с той же легкостью, что и сериями комплексных чисел (или векторов в конечномерном евклидовом пространстве). [5]
История
До развития гильбертовых пространств математикам и физикам были известны другие обобщения евклидовых пространств . В частности, идея абстрактного линейного пространства (векторного пространства) получила некоторую поддержку к концу 19 века: [6] это пространство, элементы которого можно складывать вместе и умножать на скаляры (например, действительные или комплексные числа). ), не обязательно отождествляя эти элементы с «геометрическими» векторами , такими как векторы положения и импульса в физических системах. Другие объекты, изучаемые математиками на рубеже 20-го века, в частности, пространства последовательностей (включая ряды ) и пространства функций [7], естественно, можно рассматривать как линейные пространства. Например, функции можно складывать или умножать на постоянные скаляры, и эти операции подчиняются алгебраическим законам, которым удовлетворяют сложение и скалярное умножение пространственных векторов.
В первом десятилетии 20-го века параллельные разработки привели к появлению гильбертовых пространств. Первое из них было наблюдение, которое возникло во время Давида Гильберта и Erhard Schmidt «s исследование интегральных уравнений , [8] , что два квадратных интегрируемых вещественных функций е и г на отрезке [ , Ь ] есть внутренний продукт
который обладает многими знакомыми свойствами евклидова скалярного произведения. В частности, имеет смысл идея ортогонального семейства функций. Шмидт использовал сходство этого внутреннего произведения с обычным скалярным произведением, чтобы доказать аналог спектрального разложения для оператора вида
где K - непрерывная функция, симметричная по x и y . Полученное разложение по собственным функциям выражает функцию K в виде ряда вида
где функции ф п ортогональны в том смысле , что ⟨ φ п φ т ⟩ = 0 для всех п ≠ м . Отдельные термины в этой серии иногда называют элементарными решениями продукта. Однако есть разложения по собственным функциям, которые не могут сходиться в подходящем смысле к интегрируемой с квадратом функции: недостающий ингредиент, обеспечивающий сходимость, - это полнота. [9]
Вторым развитием стал интеграл Лебега , альтернатива интегралу Римана, введенному Анри Лебегом в 1904 году. [10] Интеграл Лебега позволил интегрировать гораздо более широкий класс функций. В 1907 году Frigyes Рисса и Эрнст Фишер Сигизмунд независимо доказали , что пространство L 2 квадратных Лебегу функций , интегрируемых является полным метрическим пространством . [11] Как следствие взаимодействия между геометрией и полнотой, результаты 19 века Жозефа Фурье , Фридриха Бесселя и Марка-Антуана Парсеваля по тригонометрическим рядам легко переносятся на эти более общие пространства, что приводит к геометрическому и аналитическому аппарату, который сейчас обычно известная как теорема Рисса – Фишера . [12]
Дальнейшие основные результаты были подтверждены в начале 20 века. Например, теорема о представлении Рисса была независимо установлена Морисом Фреше и Фридьесом Риссом в 1907 году. [13] Джон фон Нейман ввел термин абстрактное гильбертово пространство в своей работе по неограниченным эрмитовым операторам . [14] Хотя другие математики, такие как Герман Вейль и Норберт Винер, уже очень подробно изучили конкретные гильбертовы пространства, часто с физически мотивированной точки зрения, фон Нейман дал первое полное и аксиоматическое их рассмотрение. [15] Фон Нейман позже использовал их в своей основополагающей работе по основам квантовой механики [16] и в своей продолжающейся работе с Юджином Вигнером . Название «гильбертово пространство» вскоре было принято другими, например, Германом Вейлем в его книге по квантовой механике и теории групп. [17]
Значение концепции гильбертова пространства было подчеркнуто осознанием того, что оно предлагает одну из лучших математических формулировок квантовой механики . [18] Короче говоря, состояния квантово-механической системы - это векторы в определенном гильбертовом пространстве, наблюдаемые - эрмитовы операторы в этом пространстве, симметрии системы - унитарные операторы , а измерения - ортогональные проекции . Соотношение между квантовыми - механическими симметриями и унитарными операторами дало толчок для развития унитарной теории представлений из групп , инициированной в 1928 работе Герман Вейль. [17] С другой стороны, в начале 1930-х годов стало ясно, что классическая механика может быть описана в терминах гильбертова пространства ( классическая механика Купмана – фон Неймана ) и что некоторые свойства классических динамических систем могут быть проанализированы с использованием методов гильбертова пространства в рамки эргодической теории . [19]
Алгебра наблюдаемых в квантовой механике, естественно , алгебра операторов , определенных в гильбертовом пространстве, согласно Werner Гейзенберг «s матричной механике формулировке квантовой теории. Фон Нейман начал исследовать операторные алгебры в 1930-х годах как кольца операторов в гильбертовом пространстве. Алгебры, изучаемые фон Нейманом и его современниками, теперь известны как алгебры фон Неймана . В 1940-х годах Израиль Гельфанд , Марк Наймарк и Ирвинг Сигал дали определение разновидности операторных алгебр, называемых C * -алгебрами, которые, с одной стороны, не ссылались на лежащее в основе гильбертово пространство, а с другой - экстраполировали многие полезные особенности. ранее изученных операторных алгебр. В частности, спектральная теорема для самосопряженных операторов, лежащая в основе большей части существующей теории гильбертовых пространств, была обобщена на C * -алгебры. Эти методы сейчас являются основными в абстрактном гармоническом анализе и теории представлений.
Примеры
Пространства Лебега
Лебеговы пространств являются функциональными пространствами , связанными с измерением пространства ( X , M , мю ) , где Х представляет собой набор, М представляет собой σ-алгебра подмножеств X , а μ является счетно - аддитивной мерой на М . Пусть L 2 ( X , μ ) пространство этих комплекснозначных измеримых функций на X , для которых интеграл Лебега от квадрата абсолютного значения функции конечен, то есть, для функции F в L 2 ( X , μ ) ,
и где функции идентифицируются тогда и только тогда, когда они различаются только на множестве нулевой меры .
Скалярное произведение функций F и г в L 2 ( X , μ ) затем определяется как
- или же
где вторая форма (сопряжение первого элемента) обычно встречается в литературе по теоретической физике. Для F и г в L 2 , то интеграл существует в силу неравенства Коши-Шварца, и определяет скалярное произведение на пространстве. Оснащенный этим внутренним продуктом, L 2 фактически завершен. [20] Интеграл Лебега необходим для обеспечения полноты: например, в областях вещественных чисел, интегрируемых по Риману недостаточно функций . [21]
Пространства Лебега проявляются во многих естественных условиях. Пространства L 2 ( R ) и L 2 ([0,1]) квадратично интегрируемых функций по отношению к мере Лебега на прямой и единичного интервала, соответственно, являются естественными домены , на которых можно определить преобразование Фурье и Фурье ряд. В других ситуациях мера может быть чем-то иным, чем обычная мера Лебега на действительной прямой. Например, если w - любая положительно измеримая функция, пространство всех измеримых функций f на интервале [0, 1], удовлетворяющих
называется взвешенная L 2 Пространство L2
нед([0, 1]) , а w называется весовой функцией. Внутренний продукт определяется
Весовое пространство L2
нед([0, 1]) совпадает с гильбертовым пространством L 2 ([0, 1], μ ), где мера μ измеримого по Лебегу множества A определяется формулой
Взвешенная L 2 пространства , как это часто используется для изучения ортогональных полиномов, так как различные семейства ортогональных многочленов , ортогональных относительно различных весовых функций.
Соболевские пространства
Пространства Соболева , обозначаемые H s или W s , 2 , являются гильбертовыми пространствами. Это особый вид функционального пространства, в котором может выполняться дифференцирование , но которое (в отличие от других банаховых пространств, таких как пространства Гёльдера ) поддерживает структуру внутреннего продукта. Поскольку дифференцирование разрешено, пространства Соболева удобны для теории уравнений в частных производных . [22] Они также составляют основу теории прямых методов вариационного исчисления . [23]
Для целого неотрицательного s и Ω ⊂ R n пространство Соболева H s (Ω) содержит L 2 функций, слабые производные которых порядка до s также являются L 2 . Скалярное произведение в H s (Ω) равно
где точка указывает скалярное произведение в евклидовом пространстве частных производных каждого порядка. Пространства Соболева также могут быть определены, когда s не является целым числом.
Пространства Соболева изучаются также с точки зрения спектральной теории, более конкретно опираясь на структуру гильбертова пространства. Если Ω - подходящая область, то можно определить пространство Соболева H s (Ω) как пространство бесселевых потенциалов ; [24] примерно,
Здесь Δ - лапласиан, а (1 - Δ) -s/2понимается в терминах теоремы о спектральном отображении . Помимо обеспечения работоспособного определения пространств Соболева для нецелых s , это определение также имеет особенно желательные свойства при преобразовании Фурье, которые делают его идеальным для изучения псевдодифференциальных операторов . Используя эти методы на компактном римановом многообразии , можно получить, например, разложение Ходжа , которое является основой теории Ходжа . [25]
Пространства голоморфных функций
Пространства Харди
Пространства Харди - это функциональные пространства, возникающие в комплексном анализе и гармоническом анализе , элементы которого являются некоторыми голоморфными функциями в комплексной области. [26] Пусть U обозначает единичный круг в комплексной плоскости. Тогда пространство Харди H 2 ( U ) определяется как пространство голоморфных функций f на U таких, что средние
остаются ограниченными при r <1 . Норма на этом пространстве Харди определяется формулой
Пространства Харди в круге связаны с рядами Фурье. Функция f находится в H 2 ( U ) тогда и только тогда, когда
где
Таким образом, H 2 ( U ) состоит из тех функций, которые являются L 2 на окружности, и отрицательные частотные коэффициенты Фурье которых равны нулю.
Пространства Бергмана
Пространства Бергмана - еще одно семейство гильбертовых пространств голоморфных функций. [27] Пусть D - ограниченное открытое множество на комплексной плоскости (или в многомерном комплексном пространстве), и пусть L 2, h ( D ) - пространство голоморфных функций f в D , которые также находятся в L 2 ( D ). в смысле
где интеграл берется по мере Лебега в D . Ясно, что L 2, h ( D ) является подпространством в L 2 ( D ) ; на самом деле, это замкнутое подпространство и, следовательно, гильбертово пространство само по себе. Это следствие оценки, справедливой на компактных подмножествах K в D , что
что, в свою очередь, следует из интегральной формулы Коши . Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L 2 ( D ) влечет также компактную сходимость , и поэтому предельная функция также голоморфна. Другое следствие этого неравенства состоит в том, что линейный функционал, вычисляющий функцию f в точке D , фактически непрерывен на L2 , h ( D ) . Из теоремы о представлении Рисса следует, что оценивающий функционал может быть представлен как элемент L 2, h ( D ) . Таким образом, для любого z ∈ D существует функция η z ∈ L 2, h ( D ) такая, что
для всех f ∈ L 2, h ( D ) . Подынтегральное выражение
известна как Бергман ядра из D . Это интегральное ядро обладает воспроизводящим свойством
Пространство Бергмана является примером гильбертова пространства с воспроизводящим ядром , которое является гильбертовым пространством функций вместе с ядром K ( ζ , z ), которое проверяет воспроизводящее свойство, аналогичное этому. Пространство Харди H 2 ( D ) также допускает воспроизводящее ядро, известное как ядро Сеге . [28] Воспроизводящие ядра распространены и в других областях математики. Например, в гармоническом анализе ядро Пуассона является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства квадратично интегрируемых гармонических функций в единичном шаре . То, что последнее вообще является гильбертовым пространством, является следствием теоремы о среднем значении для гармонических функций.
Приложения
Многие приложения гильбертовых пространств используют тот факт, что гильбертовы пространства поддерживают обобщения простых геометрических понятий, таких как проекция и изменение базиса из их обычных конечномерных условий . В частности, спектральная теория о непрерывном самосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве обобщает обычное спектральное разложение в виде матрицы , и это часто играет важную роль в приложениях теории к другим областям математики и физики.
Теория Штурма – Лиувилля
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений спектральные методы на подходящем гильбертовом пространстве используются для изучения поведения собственных значений и собственных функций дифференциальных уравнений. Например, проблема Штурма – Лиувилля возникает при изучении гармоник волн в скрипичной струне или барабане и является центральной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях . [29] Задача представляет собой дифференциальное уравнение вида
для неизвестной функции y на интервале [ a , b ] , удовлетворяющей общим однородным граничным условиям Робена
Функции p , q и w задаются заранее, и задача состоит в том, чтобы найти функцию y и константы λ, для которых уравнение имеет решение. Задача имеет решения только для определенных значений λ , называемых собственными значениями системы, и это является следствием спектральной теоремы для компактных операторов, примененной к интегральному оператору, определяемому функцией Грина для системы. Кроме того, другим следствием этого общего результата является то, что собственные значения λ системы могут быть расположены в возрастающей последовательности, стремящейся к бесконечности. [nb 2]
Уравнения с частными производными
Гильбертовы пространства образуют основной инструмент при изучении дифференциальных уравнений в частных производных . [22] Для многих классов дифференциальных уравнений в частных производных, таких как линейные эллиптические уравнения , можно рассматривать обобщенное решение (известное как слабое решение) путем расширения класса функций. Многие слабые формулировки включают класс функций Соболева , который является гильбертовым пространством. Подходящая слабая формулировка сводит к геометрической проблеме аналитическую задачу поиска решения или, что более важно, демонстрации того, что решение существует и уникально для заданных граничных данных. Для линейных эллиптических уравнений одним геометрическим результатом, обеспечивающим однозначную разрешимость большого класса задач, является теорема Лакса – Милграма . Эта стратегия составляет рудимент метода Галеркина ( метода конечных элементов ) для численного решения уравнений в частных производных. [30]
Типичным примером является уравнение Пуассона -Δ у = г с граничными условиями Дирихле в ограниченной области Q , в R 2 . Слабая формулировка состоит в нахождении такой функции u , что для всех непрерывно дифференцируемых функций v из Ω, обращающихся в нуль на границе:
Это может быть преобразовано в терминах гильбертова пространства H1
0(Ω), состоящий из таких функций u , что u вместе со своими слабыми частными производными интегрируемы с квадратом на Ω и обращаются в нуль на границе. Тогда вопрос сводится к нахождению u в этом пространстве так, чтобы для всех v в этом пространстве
где a - непрерывная билинейная форма , а b - непрерывный линейный функционал , задаваемый соответственно формулой
Поскольку уравнение Пуассона эллиптическое , из неравенства Пуанкаре следует, что билинейная форма a является коэрцитивной . Тогда теорема Лакса – Милграма гарантирует существование и единственность решений этого уравнения.
Гильбертовы пространства позволяют аналогичным образом формулировать многие эллиптические уравнения в частных производных, и теорема Лакса – Мильграма становится основным инструментом в их анализе. С соответствующими модификациями аналогичные методы могут быть применены к параболическим уравнениям в частных производных и некоторым гиперболическим уравнениям в частных производных .
Эргодическая теория
Область эргодической теории - изучение долговременного поведения хаотических динамических систем . Типичным случаем поля, к которому применяется эргодическая теория, является термодинамика , в которой - хотя микроскопическое состояние системы чрезвычайно сложно (невозможно понять совокупность индивидуальных столкновений между частицами материи) - среднее поведение за достаточно долгое время временные интервалы послушны. В законах термодинамики являются утверждениями о таком среднем поведении. В частности, одна из формулировок нулевого закона термодинамики утверждает, что в течение достаточно длительного периода времени единственным функционально независимым измерением термодинамической системы в состоянии равновесия является ее полная энергия в виде температуры .
Эргодическая динамическая система - это система, для которой, кроме энергии, измеряемой гамильтонианом , нет других функционально независимых сохраняющихся величин на фазовом пространстве . Более явно, предположим, что энергия E фиксирована, и пусть Ω E будет подмножеством фазового пространства, состоящим из всех состояний энергии E (энергетическая поверхность), и пусть T t обозначает оператор эволюции в фазовом пространстве. Динамическая система является эргодической, если на Ω E нет непрерывных непостоянных функций таких, что
для всех w на Ω E и за все время t . Из теоремы Лиувилля следует, что существует мера μ на поверхности энергии, инвариантная относительно сдвига времени . В результате перевод времени является унитарным преобразованием гильбертова пространства L 2 (Ω E , μ ), состоящего из квадратично интегрируемых функций на энергетической поверхности Ω E относительно скалярного произведения
Эргодическая теорема фон Неймана о среднем [19] утверждает следующее:
- Если U t - (сильно непрерывная) однопараметрическая полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве H , а P - ортогональная проекция на пространство общих неподвижных точек U t , { x ∈ H | U t x = x , ∀ t > 0} , тогда
Для эргодической системы фиксированный набор временной эволюции состоит только из постоянных функций, поэтому из эргодической теоремы следует следующее: [31] для любой функции f ∈ L 2 (Ω E , μ ) ,
То есть долгое среднее значение наблюдаемого f равно его математическому ожиданию по поверхности энергии.
Фурье-анализ
Одна из основных целей анализа Фурье - разложить функцию на (возможно, бесконечную) линейную комбинацию заданных базисных функций: соответствующий ряд Фурье . Классический ряд Фурье, связанный с функцией f, определенной на интервале [0, 1], представляет собой ряд вида
где
Пример сложения первых нескольких членов ряда Фурье для пилообразной функции показан на рисунке. Базисные функции - это синусоидальные волны с длинами волнλ/п(для целого n ) короче, чем длина волны λ самой пилообразной формы (за исключением n = 1 , основной волны). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, но все, кроме основных, имеют дополнительные узлы. Колебание суммированных членов относительно пилообразной формы называется явлением Гиббса .
Существенная проблема классических рядов Фурье состоит в том, в каком смысле ряд Фурье сходится, если вообще сходится, к функции f . Один из возможных ответов на этот вопрос дают методы гильбертова пространства. [32] Функции e n ( θ ) = e 2π inθ образуют ортогональный базис гильбертова пространства L 2 ([0, 1]) . Следовательно, любую интегрируемую с квадратом функцию можно выразить в виде ряда
и, кроме того, этот ряд сходится в пространстве Гильберта смысла (то есть, в L 2 средних ).
Проблема также может быть изучена с абстрактной точки зрения: каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис , и каждый элемент гильбертова пространства может быть записан уникальным способом как сумма кратных этих базисных элементов. Коэффициенты, возникающие на этих базисных элементах, иногда абстрактно называют коэффициентами Фурье элемента пространства. [33] Абстракция особенно полезна, когда более естественно использовать различные базисные функции для пространства, такого как L 2 ([0, 1]) . Во многих случаях желательно не разлагать функцию на тригонометрические функции, а скорее на ортогональные полиномы или всплески, например [34], а в более высоких измерениях - на сферические гармоники . [35]
Например, если e n - любые ортонормированные базисные функции L 2 [0, 1] , то данная функция в L 2 [0, 1] может быть аппроксимирована как конечная линейная комбинация [36]
Коэффициенты { a j } выбираются так, чтобы величина разницы || f - f n || 2 как можно меньше. Геометрический наилучшее приближение является ортогональной проекцией из F на подпространство , состоящее из всех линейных комбинаций { е J } , и может быть вычислена с помощью [37]
Эта формула минимизирует разницу || f - f n || 2 является следствием неравенства Бесселя и формулы Парсеваля .
В различных приложениях к физическим проблемам, функция может быть разложена на физически значимые собственные функции одного дифференциального оператора ( как правило, оператор Лапласа ): Это формирует основу для спектрального исследования функций, в ссылке на спектр дифференциального оператора. [38] Конкретное физическое приложение включает в себя проблему слышания формы барабана : учитывая основные виды вибрации, которые способна производить пластина барабана, можно ли сделать вывод о форме самого барабана? [39] Математическая формулировка этого вопроса включает собственные значения Дирихле уравнения Лапласа на плоскости, которые представляют основные виды колебаний в прямой аналогии с целыми числами, которые представляют основные виды колебаний струны скрипки.
Спектральная теория также лежит в основе некоторых аспектов преобразования Фурье функции. В то время как анализ Фурье разлагает функцию, определенную на компакте, в дискретный спектр лапласиана (который соответствует колебаниям струны скрипки или барабана), преобразование Фурье функции - это разложение функции, определенной на всем евклидовом пространстве. на его компоненты в непрерывном спектре лапласиана. Преобразование Фурье также является геометрическим в смысле, уточненном теоремой Планшереля , которая утверждает, что оно является изометрией одного гильбертова пространства («временной области») с другим («частотной областью»). Это свойство изометрии преобразования Фурье является повторяющейся темой в абстрактном гармоническом анализе (поскольку оно отражает сохранение энергии для непрерывного преобразования Фурье), о чем свидетельствует, например, теорема Планшереля для сферических функций, встречающаяся в некоммутативном гармоническом анализе .
Квантовая механика
В математически строгой формулировке квантовой механики , разработанной Джоном фон Нейман , [40] возможные состояния (точнее, чистые состояния ) квантово - механической система представлены единичные векторы (называемые векторы состояния ) , проживающих в комплексном сепарабельном Гильберта пространство, известное как пространство состояний , четко определено до комплексного числа нормы 1 ( фазовый фактор ). Другими словами, возможные состояния - это точки проективизации гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы; например, состояния положения и импульса для одиночной нерелятивистской частицы с нулевым спином представляют собой пространство всех интегрируемых с квадратом функций, а состояния для спина одиночного протона являются единичными элементами двумерного комплексного гильбертова пространства спиноров. . Каждая наблюдаемая представлена самосопряженным линейным оператором, действующим в пространстве состояний. Каждое собственное состояние наблюдаемого соответствует собственному вектору оператора, а соответствующее собственное значение соответствует значению наблюдаемого в этом собственном состоянии.
Внутренний продукт между двумя векторами состояния - это комплексное число, известное как амплитуда вероятности . Во время идеального измерения квантово-механической системы вероятность того, что система коллапсирует из заданного начального состояния в конкретное собственное состояние, дается квадратом абсолютного значения амплитуд вероятности между начальным и конечным состояниями. Возможными результатами измерения являются собственные значения оператора, что объясняет выбор самосопряженных операторов, поскольку все собственные значения должны быть действительными. Распределение вероятностей наблюдаемого в данном состоянии может быть найдено путем вычисления спектрального разложения соответствующего оператора.
Для общей системы состояния обычно не являются чистыми, а вместо этого представляются как статистические смеси чистых состояний или смешанных состояний, заданных матрицами плотности : самосопряженными операторами следа один в гильбертовом пространстве. Более того, для общих квантово-механических систем эффекты одного измерения могут влиять на другие части системы способом, который вместо этого описывается положительной операторнозначной мерой . Таким образом, структура как состояний, так и наблюдаемых в общей теории значительно сложнее, чем идеализация для чистых состояний.
Восприятие цвета
Любой истинный физический цвет может быть представлен комбинацией чистых спектральных цветов . Поскольку физические цвета могут состоять из любого количества спектральных цветов, пространство физических цветов может быть точно представлено гильбертовым пространством над спектральными цветами. У людей есть три типа колбочек для восприятия цвета, поэтому воспринимаемые цвета могут быть представлены трехмерным евклидовым пространством. Линейное отображение `` многие к одному '' из гильбертова пространства физических цветов в евклидово пространство воспринимаемых человеком цветов объясняет, почему многие различные физические цвета могут восприниматься людьми как идентичные (например, чистый желтый свет по сравнению с сочетанием красного и зеленого свет, см. метамеризм ).
Характеристики
Пифагорейская идентичность
Два вектора ¯u и V в гильбертовом пространстве H ортогональны , когда ⟨ U , V ⟩ = 0 . Обозначение для этого - u ⊥ v . В более общем плане , когда S является подмножеством в H , обозначение U ⊥ S означает , что у ортогонален каждый элемент из S .
Когда u и v ортогональны,
Индукцией по n это распространяется на любое семейство u 1 ,…, u n из n ортогональных векторов,
В то время как заявленная пифагорейская идентичность действительна в любом внутреннем пространстве продукта, полнота требуется для расширения пифагорейской идентичности на ряды. А серия Е U K из ортогональных векторов сходится в H тогда и только тогда , когда ряды квадратов норм сходится, и
Кроме того, сумма ряда ортогональных векторов не зависит от порядка, в котором она берется.
Идентичность и поляризация параллелограмма
По определению каждое гильбертово пространство также является банаховым пространством . Кроме того, в каждом гильбертовом пространстве выполняется следующее тождество параллелограмма :
И наоборот, каждое банахово пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма, является гильбертовым пространством, а скалярное произведение однозначно определяется нормой с помощью поляризационного тождества . [41] Для вещественных гильбертовых пространств поляризационное тождество имеет вид
Для комплексных гильбертовых пространств это
Из закона параллелограмма следует, что любое гильбертово пространство является равномерно выпуклым банаховым пространством . [42]
Наилучшее приближение
В этом пункте используется проекционная теорема Гильберта . Если C - непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H и x - точка в H , существует единственная точка y ∈ C, которая минимизирует расстояние между x и точками в C , [43]
Это равносильно утверждению, что в сдвинутом выпуклом множестве D = C - x есть точка с минимальной нормой . Доказательство состоит в том, чтобы показать, что каждая минимизирующая последовательность ( d n ) ⊂ D является коши (используя тождество параллелограмма), следовательно, сходится (используя полноту) к точке в D , имеющей минимальную норму. В более общем смысле это верно в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве. [44]
Когда этот результат применяется к замкнутому подпространству F в H , можно показать, что точка y ∈ F, ближайшая к x , характеризуется [45]
Эта точка у является ортогональной проекция из й на F , а отображение Р Р : х → у является линейным (см ортогональных дополнений и проекции ). Этот результат особенно важен в прикладной математике , особенно в численном анализе , где он лежит в основе методов наименьших квадратов . [46]
В частности, когда F не равно H , можно найти ненулевой вектор v, ортогональный F (выберите x ∉ F и v = x - y ). Весьма полезный критерий получается путем применения этого наблюдения в замкнутое подпространство F , порожденного подмножества S из H .
- A subset S of H spans a dense vector subspace if (and only if) the vector 0 is the sole vector v ∈ H orthogonal to S.
Duality
The dual space H* is the space of all continuous linear functions from the space H into the base field. It carries a natural norm, defined by
This norm satisfies the parallelogram law, and so the dual space is also an inner product space where this inner product can be defined in terms of this dual norm by using the polarization identity. The dual space is also complete so it is a Hilbert space in its own right. If e• = (ei)i ∈ I is a complete orthonormal basis for H then the inner product on the dual space of any two is
where all but countably many of the terms in this series are zero.
The Riesz representation theorem affords a convenient description of the dual space. To every element u of H, there is a unique element φu of H*, defined by
where moreover,
The Riesz representation theorem states that the map from H to H* defined by u ↦ φu is surjective, which makes this map an isometric antilinear isomorphism.[47] So to every element φ of the dual H* there exists one and only one uφ in H such that
for all x ∈ H. The inner product on the dual space H* satisfies
The reversal of order on the right-hand side restores linearity in φ from the antilinearity of uφ. In the real case, the antilinear isomorphism from H to its dual is actually an isomorphism, and so real Hilbert spaces are naturally isomorphic to their own duals.
The representing vector uφ is obtained in the following way. When φ ≠ 0, the kernel F = Ker(φ) is a closed vector subspace of H, not equal to H, hence there exists a nonzero vector v orthogonal to F. The vector u is a suitable scalar multiple λv of v. The requirement that φ(v) = ⟨v, u⟩ yields
This correspondence φ ↔ u is exploited by the bra–ket notation popular in physics. It is common in physics to assume that the inner product, denoted by ⟨x|y⟩, is linear on the right,
The result ⟨x|y⟩ can be seen as the action of the linear functional ⟨x| (the bra) on the vector |y⟩ (the ket).
The Riesz representation theorem relies fundamentally not just on the presence of an inner product, but also on the completeness of the space. In fact, the theorem implies that the topological dual of any inner product space can be identified with its completion. An immediate consequence of the Riesz representation theorem is also that a Hilbert space H is reflexive, meaning that the natural map from H into its double dual space is an isomorphism.
Weakly-convergent sequences
In a Hilbert space H, a sequence {xn} is weakly convergent to a vector x ∈ H when
for every v ∈ H.
For example, any orthonormal sequence {fn} converges weakly to 0, as a consequence of Bessel's inequality. Every weakly convergent sequence {xn} is bounded, by the uniform boundedness principle.
Conversely, every bounded sequence in a Hilbert space admits weakly convergent subsequences (Alaoglu's theorem).[48] This fact may be used to prove minimization results for continuous convex functionals, in the same way that the Bolzano–Weierstrass theorem is used for continuous functions on Rd. Among several variants, one simple statement is as follows:[49]
- If f : H → R is a convex continuous function such that f(x) tends to +∞ when ||x|| tends to ∞, then f admits a minimum at some point x0 ∈ H.
This fact (and its various generalizations) are fundamental for direct methods in the calculus of variations. Minimization results for convex functionals are also a direct consequence of the slightly more abstract fact that closed bounded convex subsets in a Hilbert space H are weakly compact, since H is reflexive. The existence of weakly convergent subsequences is a special case of the Eberlein–Šmulian theorem.
Banach space properties
Any general property of Banach spaces continues to hold for Hilbert spaces. The open mapping theorem states that a continuous surjective linear transformation from one Banach space to another is an open mapping meaning that it sends open sets to open sets. A corollary is the bounded inverse theorem, that a continuous and bijective linear function from one Banach space to another is an isomorphism (that is, a continuous linear map whose inverse is also continuous). This theorem is considerably simpler to prove in the case of Hilbert spaces than in general Banach spaces.[50] The open mapping theorem is equivalent to the closed graph theorem, which asserts that a linear function from one Banach space to another is continuous if and only if its graph is a closed set.[51] In the case of Hilbert spaces, this is basic in the study of unbounded operators (see closed operator).
The (geometrical) Hahn–Banach theorem asserts that a closed convex set can be separated from any point outside it by means of a hyperplane of the Hilbert space. This is an immediate consequence of the best approximation property: if y is the element of a closed convex set F closest to x, then the separating hyperplane is the plane perpendicular to the segment xy passing through its midpoint.[52]
Операторы в гильбертовых пространствах
Bounded operators
The continuous linear operators A : H1 → H2 from a Hilbert space H1 to a second Hilbert space H2 are bounded in the sense that they map bounded sets to bounded sets. Conversely, if an operator is bounded, then it is continuous. The space of such bounded linear operators has a norm, the operator norm given by
The sum and the composite of two bounded linear operators is again bounded and linear. For y in H2, the map that sends x ∈ H1 to ⟨Ax, y⟩ is linear and continuous, and according to the Riesz representation theorem can therefore be represented in the form
for some vector A*y in H1. This defines another bounded linear operator A* : H2 → H1, the adjoint of A. The adjoint satisfies A** = A. When the Riesz representation theorem is used to identify each Hilbert space with its continuous dual space, the adjoint of A can be shown to be identical to the transpose tA : H2* → H1* of A, which by definition sends to the functional
The set B(H) of all bounded linear operators on H (meaning operators H → H), together with the addition and composition operations, the norm and the adjoint operation, is a C*-algebra, which is a type of operator algebra.
An element A of B(H) is called 'self-adjoint' or 'Hermitian' if A* = A. If A is Hermitian and ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 for every x, then A is called 'nonnegative', written A ≥ 0; if equality holds only when x = 0, then A is called 'positive'. The set of self adjoint operators admits a partial order, in which A ≥ B if A − B ≥ 0. If A has the form B*B for some B, then A is nonnegative; if B is invertible, then A is positive. A converse is also true in the sense that, for a non-negative operator A, there exists a unique non-negative square root B such that
In a sense made precise by the spectral theorem, self-adjoint operators can usefully be thought of as operators that are "real". An element A of B(H) is called normal if A*A = AA*. Normal operators decompose into the sum of a self-adjoint operators and an imaginary multiple of a self adjoint operator
that commute with each other. Normal operators can also usefully be thought of in terms of their real and imaginary parts.
An element U of B(H) is called unitary if U is invertible and its inverse is given by U*. This can also be expressed by requiring that U be onto and ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ for all x, y ∈ H. The unitary operators form a group under composition, which is the isometry group of H.
An element of B(H) is compact if it sends bounded sets to relatively compact sets. Equivalently, a bounded operator T is compact if, for any bounded sequence {xk}, the sequence {Txk} has a convergent subsequence. Many integral operators are compact, and in fact define a special class of operators known as Hilbert–Schmidt operators that are especially important in the study of integral equations. Fredholm operators differ from a compact operator by a multiple of the identity, and are equivalently characterized as operators with a finite dimensional kernel and cokernel. The index of a Fredholm operator T is defined by
The index is homotopy invariant, and plays a deep role in differential geometry via the Atiyah–Singer index theorem.
Unbounded operators
Unbounded operators are also tractable in Hilbert spaces, and have important applications to quantum mechanics.[53] An unbounded operator T on a Hilbert space H is defined as a linear operator whose domain D(T) is a linear subspace of H. Often the domain D(T) is a dense subspace of H, in which case T is known as a densely defined operator.
The adjoint of a densely defined unbounded operator is defined in essentially the same manner as for bounded operators. Self-adjoint unbounded operators play the role of the observables in the mathematical formulation of quantum mechanics. Examples of self-adjoint unbounded operators on the Hilbert space L2(R) are:[54]
- A suitable extension of the differential operator where i is the imaginary unit and f is a differentiable function of compact support.
- The multiplication-by-x operator:
These correspond to the momentum and position observables, respectively. Note that neither A nor B is defined on all of H, since in the case of A the derivative need not exist, and in the case of B the product function need not be square integrable. In both cases, the set of possible arguments form dense subspaces of L2(R).
Конструкции
Direct sums
Two Hilbert spaces H1 and H2 can be combined into another Hilbert space, called the (orthogonal) direct sum,[55] and denoted
consisting of the set of all ordered pairs (x1, x2) where xi ∈ Hi, i = 1, 2, and inner product defined by
More generally, if Hi is a family of Hilbert spaces indexed by i ∈ I, then the direct sum of the Hi, denoted
consists of the set of all indexed families
in the Cartesian product of the Hi such that
The inner product is defined by
Each of the Hi is included as a closed subspace in the direct sum of all of the Hi. Moreover, the Hi are pairwise orthogonal. Conversely, if there is a system of closed subspaces, Vi, i ∈ I, in a Hilbert space H, that are pairwise orthogonal and whose union is dense in H, then H is canonically isomorphic to the direct sum of Vi. In this case, H is called the internal direct sum of the Vi. A direct sum (internal or external) is also equipped with a family of orthogonal projections Ei onto the ith direct summand Hi. These projections are bounded, self-adjoint, idempotent operators that satisfy the orthogonality condition
The spectral theorem for compact self-adjoint operators on a Hilbert space H states that H splits into an orthogonal direct sum of the eigenspaces of an operator, and also gives an explicit decomposition of the operator as a sum of projections onto the eigenspaces. The direct sum of Hilbert spaces also appears in quantum mechanics as the Fock space of a system containing a variable number of particles, where each Hilbert space in the direct sum corresponds to an additional degree of freedom for the quantum mechanical system. In representation theory, the Peter–Weyl theorem guarantees that any unitary representation of a compact group on a Hilbert space splits as the direct sum of finite-dimensional representations.
Tensor products
If x1, y1 ∊ H1 and x2, y2 ∊ H2, then one defines an inner product on the (ordinary) tensor product as follows. On simple tensors, let
This formula then extends by sesquilinearity to an inner product on H1 ⊗ H2. The Hilbertian tensor product of H1 and H2, sometimes denoted by H1 H2, is the Hilbert space obtained by completing H1 ⊗ H2 for the metric associated to this inner product.[56]
An example is provided by the Hilbert space L2([0, 1]). The Hilbertian tensor product of two copies of L2([0, 1]) is isometrically and linearly isomorphic to the space L2([0, 1]2) of square-integrable functions on the square [0, 1]2. This isomorphism sends a simple tensor f1 ⊗ f2 to the function
on the square.
This example is typical in the following sense.[57] Associated to every simple tensor product x1 ⊗ x2 is the rank one operator from H∗
1 to H2 that maps a given x* ∈ H∗
1 as
This mapping defined on simple tensors extends to a linear identification between H1 ⊗ H2 and the space of finite rank operators from H∗
1 to H2. This extends to a linear isometry of the Hilbertian tensor product H1 H2 with the Hilbert space HS(H∗
1, H2) of Hilbert–Schmidt operators from H∗
1 to H2.
Ортонормированные базы
The notion of an orthonormal basis from linear algebra generalizes over to the case of Hilbert spaces.[58] In a Hilbert space H, an orthonormal basis is a family {ek}k ∈ B of elements of H satisfying the conditions:
- Orthogonality: Every two different elements of B are orthogonal: ⟨ek, ej⟩ = 0 for all k, j ∈ B with k ≠ j.
- Normalization: Every element of the family has norm 1: ||ek|| = 1 for all k ∈ B.
- Completeness: The linear span of the family ek, k ∈ B, is dense in H.
A system of vectors satisfying the first two conditions basis is called an orthonormal system or an orthonormal set (or an orthonormal sequence if B is countable). Such a system is always linearly independent. Completeness of an orthonormal system of vectors of a Hilbert space can be equivalently restated as:
- if ⟨v, ek⟩ = 0 for all k ∈ B and some v ∈ H then v = 0.
This is related to the fact that the only vector orthogonal to a dense linear subspace is the zero vector, for if S is any orthonormal set and v is orthogonal to S, then v is orthogonal to the closure of the linear span of S, which is the whole space.
Examples of orthonormal bases include:
- the set {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forms an orthonormal basis of R3 with the dot product;
- the sequence {fn : n ∈ Z} with fn(x) = exp(2πinx) forms an orthonormal basis of the complex space L2([0, 1]);
In the infinite-dimensional case, an orthonormal basis will not be a basis in the sense of linear algebra; to distinguish the two, the latter basis is also called a Hamel basis. That the span of the basis vectors is dense implies that every vector in the space can be written as the sum of an infinite series, and the orthogonality implies that this decomposition is unique.
Sequence spaces
The space of square-summable sequences of complex numbers is the set of infinite sequences
of real or complex numbers such that
This space has an orthonormal basis:
This space is the infinite-dimensional generalization of the space of finite-dimensional vectors. It is usually the first example used to show that in infinite-dimensional spaces, a set that is closed and bounded is not necessarily (sequentially) compact (as is the case in all finite dimensional spaces). Indeed, the set of orthonormal vectors above shows this: It is an infinite sequence of vectors in the unit ball (i.e., the ball of points with norm less than or equal one). This set is clearly bounded and closed; yet, no subsequence of these vectors converges to anything and consequently the unit ball in is not compact. Intuitively, this is because "there is always another coordinate direction" into which the next elements of the sequence can evade.
One can generalize the space in many ways. For example, if B is any (infinite) set, then one can form a Hilbert space of sequences with index set B, defined by
The summation over B is here defined by
the supremum being taken over all finite subsets of B. It follows that, for this sum to be finite, every element of l2(B) has only countably many nonzero terms. This space becomes a Hilbert space with the inner product
for all x, y ∈ l2(B). Here the sum also has only countably many nonzero terms, and is unconditionally convergent by the Cauchy–Schwarz inequality.
An orthonormal basis of l2(B) is indexed by the set B, given by
Bessel's inequality and Parseval's formula
Let f1, …, fn be a finite orthonormal system in H. For an arbitrary vector x ∈ H, let
Then ⟨x, fk⟩ = ⟨y, fk⟩ for every k = 1, …, n. It follows that x − y is orthogonal to each fk, hence x − y is orthogonal to y. Using the Pythagorean identity twice, it follows that
Let {fi}, i ∈ I, be an arbitrary orthonormal system in H. Applying the preceding inequality to every finite subset J of I gives Bessel's inequality:[59]
(according to the definition of the sum of an arbitrary family of non-negative real numbers).
Geometrically, Bessel's inequality implies that the orthogonal projection of x onto the linear subspace spanned by the fi has norm that does not exceed that of x. In two dimensions, this is the assertion that the length of the leg of a right triangle may not exceed the length of the hypotenuse.
Bessel's inequality is a stepping stone to the stronger result called Parseval's identity, which governs the case when Bessel's inequality is actually an equality. By definition, if {ek}k ∈ B is an orthonormal basis of H, then every element x of H may be written as
Even if B is uncountable, Bessel's inequality guarantees that the expression is well-defined and consists only of countably many nonzero terms. This sum is called the Fourier expansion of x, and the individual coefficients ⟨x, ek⟩ are the Fourier coefficients of x. Parseval's identity then asserts that
Conversely, if {ek} is an orthonormal set such that Parseval's identity holds for every x, then {ek} is an orthonormal basis.
Hilbert dimension
As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[60] For instance, since l2(B) has an orthonormal basis indexed by B, its Hilbert dimension is the cardinality of B (which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).
As a consequence of Parseval's identity, if {ek}k ∈ B is an orthonormal basis of H, then the map Φ : H → l2(B) defined by Φ(x) = ⟨x, ek⟩k∈B is an isometric isomorphism of Hilbert spaces: it is a bijective linear mapping such that
for all x, y ∈ H. The cardinal number of B is the Hilbert dimension of H. Thus every Hilbert space is isometrically isomorphic to a sequence space l2(B) for some set B.
Separable spaces
By definition, a Hilbert space is separable provided it contains a dense countable subset. Along with Zorn's lemma, this means a Hilbert space is separable if and only if it admits a countable orthonormal basis. All infinite-dimensional separable Hilbert spaces are therefore isometrically isomorphic to l2.
In the past, Hilbert spaces were often required to be separable as part of the definition.[61] Most spaces used in physics are separable, and since these are all isomorphic to each other, one often refers to any infinite-dimensional separable Hilbert space as "the Hilbert space" or just "Hilbert space".[62] Even in quantum field theory, most of the Hilbert spaces are in fact separable, as stipulated by the Wightman axioms. However, it is sometimes argued that non-separable Hilbert spaces are also important in quantum field theory, roughly because the systems in the theory possess an infinite number of degrees of freedom and any infinite Hilbert tensor product (of spaces of dimension greater than one) is non-separable.[63] For instance, a bosonic field can be naturally thought of as an element of a tensor product whose factors represent harmonic oscillators at each point of space. From this perspective, the natural state space of a boson might seem to be a non-separable space.[63] However, it is only a small separable subspace of the full tensor product that can contain physically meaningful fields (on which the observables can be defined). Another non-separable Hilbert space models the state of an infinite collection of particles in an unbounded region of space. An orthonormal basis of the space is indexed by the density of the particles, a continuous parameter, and since the set of possible densities is uncountable, the basis is not countable.[63]
Ортогональные дополнения и проекции
If S is a subset of a Hilbert space H, the set of vectors orthogonal to S is defined by
S⊥ is a closed subspace of H (can be proved easily using the linearity and continuity of the inner product) and so forms itself a Hilbert space. If V is a closed subspace of H, then V⊥ is called the orthogonal complement of V. In fact, every x ∈ H can then be written uniquely as x = v + w, with v ∈ V and w ∈ V⊥. Therefore, H is the internal Hilbert direct sum of V and V⊥.
The linear operator PV : H → H that maps x to v is called the orthogonal projection onto V. There is a natural one-to-one correspondence between the set of all closed subspaces of H and the set of all bounded self-adjoint operators P such that P2 = P. Specifically,
Theorem — The orthogonal projection PV is a self-adjoint linear operator on H of norm ≤ 1 with the property P2
V = PV. Moreover, any self-adjoint linear operator E such that E2 = E is of the form PV, where V is the range of E. For every x in H, PV(x) is the unique element v of V that minimizes the distance ||x − v||.
This provides the geometrical interpretation of PV(x): it is the best approximation to x by elements of V.[64]
Projections PU and PV are called mutually orthogonal if PUPV = 0. This is equivalent to U and V being orthogonal as subspaces of H. The sum of the two projections PU and PV is a projection only if U and V are orthogonal to each other, and in that case PU + PV = PU+V. The composite PUPV is generally not a projection; in fact, the composite is a projection if and only if the two projections commute, and in that case PUPV = PU∩V.
By restricting the codomain to the Hilbert space V, the orthogonal projection PV gives rise to a projection mapping π : H → V; it is the adjoint of the inclusion mapping
meaning that
for all x ∈ V and y ∈ H.
The operator norm of the orthogonal projection PV onto a nonzero closed subspace V is equal to 1:
Every closed subspace V of a Hilbert space is therefore the image of an operator P of norm one such that P2 = P. The property of possessing appropriate projection operators characterizes Hilbert spaces:[65]
- A Banach space of dimension higher than 2 is (isometrically) a Hilbert space if and only if, for every closed subspace V, there is an operator PV of norm one whose image is V such that P2
V = PV.
While this result characterizes the metric structure of a Hilbert space, the structure of a Hilbert space as a topological vector space can itself be characterized in terms of the presence of complementary subspaces:[66]
- A Banach space X is topologically and linearly isomorphic to a Hilbert space if and only if, to every closed subspace V, there is a closed subspace W such that X is equal to the internal direct sum V ⊕ W.
The orthogonal complement satisfies some more elementary results. It is a monotone function in the sense that if U ⊂ V, then V⊥ ⊆ U⊥ with equality holding if and only if V is contained in the closure of U. This result is a special case of the Hahn–Banach theorem. The closure of a subspace can be completely characterized in terms of the orthogonal complement: if V is a subspace of H, then the closure of V is equal to V⊥⊥. The orthogonal complement is thus a Galois connection on the partial order of subspaces of a Hilbert space. In general, the orthogonal complement of a sum of subspaces is the intersection of the orthogonal complements:[67]
If the Vi are in addition closed, then
Спектральная теория
There is a well-developed spectral theory for self-adjoint operators in a Hilbert space, that is roughly analogous to the study of symmetric matrices over the reals or self-adjoint matrices over the complex numbers.[68] In the same sense, one can obtain a "diagonalization" of a self-adjoint operator as a suitable sum (actually an integral) of orthogonal projection operators.
The spectrum of an operator T, denoted σ(T), is the set of complex numbers λ such that T − λ lacks a continuous inverse. If T is bounded, then the spectrum is always a compact set in the complex plane, and lies inside the disc |z| ≤ ||T||. If T is self-adjoint, then the spectrum is real. In fact, it is contained in the interval [m, M] where
Moreover, m and M are both actually contained within the spectrum.
The eigenspaces of an operator T are given by
Unlike with finite matrices, not every element of the spectrum of T must be an eigenvalue: the linear operator T − λ may only lack an inverse because it is not surjective. Elements of the spectrum of an operator in the general sense are known as spectral values. Since spectral values need not be eigenvalues, the spectral decomposition is often more subtle than in finite dimensions.
However, the spectral theorem of a self-adjoint operator T takes a particularly simple form if, in addition, T is assumed to be a compact operator. The spectral theorem for compact self-adjoint operators states:[69]
- A compact self-adjoint operator T has only countably (or finitely) many spectral values. The spectrum of T has no limit point in the complex plane except possibly zero. The eigenspaces of T decompose H into an orthogonal direct sum: Moreover, if Eλ denotes the orthogonal projection onto the eigenspace Hλ, thenwhere the sum converges with respect to the norm on B(H).
This theorem plays a fundamental role in the theory of integral equations, as many integral operators are compact, in particular those that arise from Hilbert–Schmidt operators.
The general spectral theorem for self-adjoint operators involves a kind of operator-valued Riemann–Stieltjes integral, rather than an infinite summation.[70] The spectral family associated to T associates to each real number λ an operator Eλ, which is the projection onto the nullspace of the operator (T − λ)+, where the positive part of a self-adjoint operator is defined by
The operators Eλ are monotone increasing relative to the partial order defined on self-adjoint operators; the eigenvalues correspond precisely to the jump discontinuities. One has the spectral theorem, which asserts
The integral is understood as a Riemann–Stieltjes integral, convergent with respect to the norm on B(H). In particular, one has the ordinary scalar-valued integral representation
A somewhat similar spectral decomposition holds for normal operators, although because the spectrum may now contain non-real complex numbers, the operator-valued Stieltjes measure dEλ must instead be replaced by a resolution of the identity.
A major application of spectral methods is the spectral mapping theorem, which allows one to apply to a self-adjoint operator T any continuous complex function f defined on the spectrum of T by forming the integral
The resulting continuous functional calculus has applications in particular to pseudodifferential operators.[71]
The spectral theory of unbounded self-adjoint operators is only marginally more difficult than for bounded operators. The spectrum of an unbounded operator is defined in precisely the same way as for bounded operators: λ is a spectral value if the resolvent operator
fails to be a well-defined continuous operator. The self-adjointness of T still guarantees that the spectrum is real. Thus the essential idea of working with unbounded operators is to look instead at the resolvent Rλ where λ is nonreal. This is a bounded normal operator, which admits a spectral representation that can then be transferred to a spectral representation of T itself. A similar strategy is used, for instance, to study the spectrum of the Laplace operator: rather than address the operator directly, one instead looks as an associated resolvent such as a Riesz potential or Bessel potential.
A precise version of the spectral theorem in this case is:[72]
- Given a densely defined self-adjoint operator T on a Hilbert space H, there corresponds a unique resolution of the identityE on the Borel sets of R, such that
- for all x ∈ D(T) and y ∈ H. The spectral measure E is concentrated on the spectrum of T.
There is also a version of the spectral theorem that applies to unbounded normal operators.
В популярной культуре
Thomas Pynchon introduced the fictional character, Sammy Hilbert-Spaess (a pun on "Hilbert Space"), in his 1973 novel, Gravity's Rainbow. Hilbert-Spaess is first described as a "a ubiquitous double agent" and later as "at least a double agent".[73] The novel had earlier referenced the work of fellow German mathematician Kurt Gödel's Incompleteness Theorems,[74] which showed that Hilbert's Program, Hilbert's formalized plan to unify mathematics into a single set of axioms, was not possible.[75]
Смотрите также
- Banach space – Normed vector space that is complete
- Fock space – Algebraic construct for studying identical particles in quantum mechanics
- Fundamental theorem of Hilbert spaces
- Hadamard space
- Hausdorff space
- Hilbert algebra
- Hilbert C*-module – Mathematical objects which generalise the notion of a Hilbert space
- Hilbert manifold
- L-semi-inner product – Generalization of inner products that applies to all normed spaces
- Locally convex topological vector space – A vector space with a topology defined by convex open sets
- Operator theory
- Operator topologies
- Rigged Hilbert space – Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysis
- Topological vector space – Vector space with a notion of nearness
Замечания
- ^ In some conventions, inner products are linear in their second arguments instead.
- ^ The eigenvalues of the Fredholm kernel are 1/λ, which tend to zero.
Заметки
- ^ Marsden 1974, §2.8
- ^ The mathematical material in this section can be found in any good textbook on functional analysis, such as Dieudonné (1960), Hewitt & Stromberg (1965), Reed & Simon (1980) or Rudin (1987).
- ^ Schaefer & Wolff 1999, pp. 122-202.
- ^ Dieudonné 1960, §6.2
- ^ Dieudonné 1960
- ^ Largely from the work of Hermann Grassmann, at the urging of August Ferdinand Möbius (Boyer & Merzbach 1991, pp. 584–586). The first modern axiomatic account of abstract vector spaces ultimately appeared in Giuseppe Peano's 1888 account (Grattan-Guinness 2000, §5.2.2; O'Connor & Robertson 1996).
- ^ A detailed account of the history of Hilbert spaces can be found in Bourbaki 1987.
- ^ Schmidt 1908
- ^ Titchmarsh 1946, §IX.1
- ^ Lebesgue 1904. Further details on the history of integration theory can be found in Bourbaki (1987) and Saks (2005).
- ^ Bourbaki 1987.
- ^ Dunford & Schwartz 1958, §IV.16
- ^ In Dunford & Schwartz (1958, §IV.16), the result that every linear functional on L2[0,1] is represented by integration is jointly attributed to Fréchet (1907) and Riesz (1907). The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in Riesz (1934).
- ^ von Neumann 1929.
- ^ Kline 1972, p. 1092
- ^ Hilbert, Nordheim & von Neumann 1927
- ^ a b Weyl 1931.
- ^ Prugovečki 1981, pp. 1–10.
- ^ a b von Neumann 1932
- ^ Halmos 1957, Section 42.
- ^ Hewitt & Stromberg 1965.
- ^ a b Bers, John & Schechter 1981.
- ^ Giusti 2003.
- ^ Stein 1970
- ^ Details can be found in Warner (1983).
- ^ A general reference on Hardy spaces is the book Duren (1970).
- ^ Krantz 2002, §1.4
- ^ Krantz 2002, §1.5
- ^ Young 1988, Chapter 9.
- ^ More detail on finite element methods from this point of view can be found in Brenner & Scott (2005).
- ^ Reed & Simon 1980
- ^ A treatment of Fourier series from this point of view is available, for instance, in Rudin (1987) or Folland (2009).
- ^ Halmos 1957, §5
- ^ Bachman, Narici & Beckenstein 2000
- ^ Stein & Weiss 1971, §IV.2.
- ^ Lanczos 1988, pp. 212–213
- ^ Lanczos 1988, Equation 4-3.10
- ^ The classic reference for spectral methods is Courant & Hilbert 1953. A more up-to-date account is Reed & Simon 1975.
- ^ Kac 1966
- ^ von Neumann 1955
- ^ Young 1988, p. 23.
- ^ Clarkson 1936.
- ^ Rudin 1987, Theorem 4.10
- ^ Dunford & Schwartz 1958, II.4.29
- ^ Rudin 1987, Theorem 4.11
- ^ Blanchet, Gérard; Charbit, Maurice (2014). Digital Signal and Image Processing Using MATLAB. Digital Signal and Image Processing. 1 (Second ed.). New Jersey: Wiley. pp. 349–360. ISBN 978-1848216402.
- ^ Weidmann 1980, Theorem 4.8
- ^ Weidmann 1980, §4.5
- ^ Buttazzo, Giaquinta & Hildebrandt 1998, Theorem 5.17
- ^ Halmos 1982, Problem 52, 58
- ^ Rudin 1973
- ^ Trèves 1967, Chapter 18
- ^ See Prugovečki (1981), Reed & Simon (1980, Chapter VIII) and Folland (1989).
- ^ Prugovečki 1981, III, §1.4
- ^ Dunford & Schwartz 1958, IV.4.17-18
- ^ Weidmann 1980, §3.4
- ^ Kadison & Ringrose 1983, Theorem 2.6.4
- ^ Dunford & Schwartz 1958, §IV.4.
- ^ For the case of finite index sets, see, for instance, Halmos 1957, §5. For infinite index sets, see Weidmann 1980, Theorem 3.6.
- ^ Levitan 2001. Many authors, such as Dunford & Schwartz (1958, §IV.4), refer to this just as the dimension. Unless the Hilbert space is finite dimensional, this is not the same thing as its dimension as a linear space (the cardinality of a Hamel basis).
- ^ Prugovečki 1981, I, §4.2
- ^ von Neumann (1955) defines a Hilbert space via a countable Hilbert basis, which amounts to an isometric isomorphism with l2. The convention still persists in most rigorous treatments of quantum mechanics; see for instance Sobrino 1996, Appendix B.
- ^ a b c Streater & Wightman 1964, pp. 86–87
- ^ Young 1988, Theorem 15.3
- ^ Kakutani 1939
- ^ Lindenstrauss & Tzafriri 1971
- ^ Halmos 1957, §12
- ^ A general account of spectral theory in Hilbert spaces can be found in Riesz & Sz.-Nagy (1990). A more sophisticated account in the language of C*-algebras is in Rudin (1973) or Kadison & Ringrose (1997)
- ^ See, for instance, Riesz & Sz.-Nagy (1990, Chapter VI) or Weidmann 1980, Chapter 7. This result was already known to Schmidt (1908) in the case of operators arising from integral kernels.
- ^ Riesz & Sz.-Nagy 1990, §§107–108
- ^ Shubin 1987
- ^ Rudin 1973, Theorem 13.30.
- ^ "H - Hilbert-Spaess, Sammy". Thomas Pynchon Wiki: Gravity's Rainbow. Retrieved 2018-10-23.
- ^ "G - Gödel's Theorem". Thomas Pynchon Wiki: Gravity's Rainbow. Retrieved 2018-10-23.
- ^ Thomas, Pynchon (1973). Gravity's Rainbow. Viking Press. pp. 217, 275. ISBN 978-0143039945.
Рекомендации
- Bachman, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2000), Fourier and wavelet analysis, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98899-3, MR 1729490.
- Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1981), Partial differential equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2.
- Bourbak, Nicolasi (1986), Spectral theories, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-201-00767-1.
- Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
- Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C (1991), A History of Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
- Brenner, S.; Scott, R. L. (2005), The Mathematical Theory of Finite Element Methods (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95451-6.
- Buttazzo, Giuseppe; Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1998), One-dimensional variational problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 15, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850465-8, MR 1694383.
- Clarkson, J. A. (1936), "Uniformly convex spaces", Trans. Amer. Math. Soc., 40 (3): 396–414, doi:10.2307/1989630, JSTOR 1989630.
- Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Interscience.
- Dieudonné, Jean (1960), Foundations of Modern Analysis, Academic Press.
- Dirac, P.A.M. (1930), The Principles of Quantum Mechanics, Oxford: Clarendon Press.
- Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Parts I and II, Wiley-Interscience.
- Duren, P. (1970), Theory of Hp-Spaces, New York: Academic Press.
- Folland, Gerald B. (2009), Fourier analysis and its application (Reprint of Wadsworth and Brooks/Cole 1992 ed.), American Mathematical Society Bookstore, ISBN 978-0-8218-4790-9.
- Folland, Gerald B. (1989), Harmonic analysis in phase space, Annals of Mathematics Studies, 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08527-2.
- Fréchet, Maurice (1907), "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires", C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1414–1416.
- Fréchet, Maurice (1904), "Sur les opérations linéaires", Transactions of the American Mathematical Society, 5 (4): 493–499, doi:10.2307/1986278, JSTOR 1986278.
- Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific, ISBN 978-981-238-043-2.
- Grattan-Guinness, Ivor (2000), The search for mathematical roots, 1870–1940, Princeton Paperbacks, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05858-0, MR 1807717.
- Halmos, Paul (1957), Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Chelsea Pub. Co
- Halmos, Paul (1982), A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0.
- Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, New York: Springer-Verlag.
- Hilbert, David; Nordheim, Lothar (Wolfgang); von Neumann, John (1927), "Über die Grundlagen der Quantenmechanik", Mathematische Annalen, 98: 1–30, doi:10.1007/BF01451579, S2CID 120986758[dead link].
- Kac, Mark (1966), "Can one hear the shape of a drum?", American Mathematical Monthly, 73 (4, part 2): 1–23, doi:10.2307/2313748, JSTOR 2313748.
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997), Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I, Graduate Studies in Mathematics, 15, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0819-1, MR 1468229.
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983), Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I: Elementary Theory, New York: Academic Press, Inc.
- Kakutani, Shizuo (1939), "Some characterizations of Euclidean space", Japanese Journal of Mathematics, 16: 93–97, doi:10.4099/jjm1924.16.0_93, MR 0000895.
- Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 (3rd ed.), Oxford University Press (published 1990), ISBN 978-0-19-506137-6.
- Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1970), Introductory Real Analysis (Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975) ed.), Dover Press, ISBN 978-0-486-61226-3.
- Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2724-6.
- Lanczos, Cornelius (1988), Applied analysis (Reprint of 1956 Prentice-Hall ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-65656-4.
- Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars.
- Levitan, B.M. (2001) [1994], "Hilbert space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
- Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (1971), "On the complemented subspaces problem", Israel Journal of Mathematics, 9 (2): 263–269, doi:10.1007/BF02771592, ISSN 0021-2172, MR 0276734, S2CID 119575718.
- Marsden, Jerrold E. (1974), Elementary classical analysis, W. H. Freeman and Co., MR 0357693.
- von Neumann, John (1929), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren", Mathematische Annalen, 102: 49–131, doi:10.1007/BF01782338, S2CID 121249803.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- von Neumann, John (1932), "Physical Applications of the Ergodic Hypothesis", Proc Natl Acad Sci USA, 18 (3): 263–266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, doi:10.1073/pnas.18.3.263, JSTOR 86260, PMC 1076204, PMID 16587674.
- von Neumann, John (1955), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Mathematics, translated by Beyer, Robert T., Princeton University Press (published 1996), ISBN 978-0-691-02893-4, MR 1435976.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1996), "Abstract linear spaces", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- Prugovečki, Eduard (1981), Quantum mechanics in Hilbert space (2nd ed.), Dover (published 2006), ISBN 978-0-486-45327-9.
- Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Functional Analysis, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6.
- Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 9780125850025.
- Riesz, Frigyes (1907), "Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables", C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1409–1411.
- Riesz, Frigyes (1934), "Zur Theorie des Hilbertschen Raumes", Acta Sci. Math. Szeged, 7: 34–38.
- Riesz, Frigyes; Sz.-Nagy, Béla (1990), Functional analysis, Dover, ISBN 978-0-486-66289-3.
- Rudin, Walter (1973). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 25 (First ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 9780070542259.
- Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9.
- Saks, Stanisław (2005), Theory of the integral (2nd Dover ed.), Dover, ISBN 978-0-486-44648-6; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Schmidt, Erhard (1908), "Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten", Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116, S2CID 120666844.
- Shubin, M. A. (1987), Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13621-7, MR 0883081.
- Sobrino, Luis (1996), Elements of non-relativistic quantum mechanics, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., Bibcode:1996lnrq.book.....S, doi:10.1142/2865, ISBN 978-981-02-2386-1, MR 1626401.
- Stewart, James (2006), Calculus: Concepts and Contexts (3rd ed.), Thomson/Brooks/Cole.
- Stein, E (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Press, ISBN 978-0-691-08079-6.
- Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
- Streater, Ray; Wightman, Arthur (1964), PCT, Spin and Statistics and All That, W. A. Benjamin, Inc.
- Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5..
- Titchmarsh, Edward Charles (1946), Eigenfunction expansions, part 1, Oxford University: Clarendon Press.
- Trèves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press.
- Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
- Weidmann, Joachim (1980), Linear operators in Hilbert spaces, Graduate Texts in Mathematics, 68, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90427-6, MR 0566954.
- Weyl, Hermann (1931), The Theory of Groups and Quantum Mechanics (English 1950 ed.), Dover Press, ISBN 978-0-486-60269-1.
- Young, Nicholas (1988), An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8, Zbl 0645.46024.
Внешние ссылки
- "Hilbert space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Hilbert space at Mathworld
- 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao