В теории вероятностей , А распределение называется устойчивым , если линейная комбинация двух независимых случайных величин с этим распределением имеет такое же распределение, вплоть до определения местоположения и масштаба параметров. Случайная величина называется стабильной, если ее распределение устойчиво. Семейство стабильных распределений также иногда называют альфа-стабильным распределением Леви в честь Поля Леви , первого математика, изучившего его. [1] [2]
Функция плотности вероятности Симметричные а -затухающие распределения с единицей масштабного коэффициента перекошены по центру устойчивых распределений с единицей масштабного коэффициентом | |||
Кумулятивная функция распределения CDFs для симметричного альфа -устойчивых распределений CDFs для перекошенных центрированных распределений стабильных | |||
Параметры | α ∈ (0, 2] - параметр устойчивости | ||
---|---|---|---|
Служба поддержки | x ∈ [μ, + ∞), если α <1 и β = 1 x ∈ (-∞, μ], если α <1 и β = −1 x ∈ R иначе | ||
не выражается аналитически, за исключением некоторых значений параметров | |||
CDF | не выражается аналитически, за исключением определенных значений параметров | ||
Иметь в виду | μ, если α> 1 , иначе не определено | ||
Медиана | μ, когда β = 0 , иначе не выразимо аналитически | ||
Режим | μ, когда β = 0 , иначе не выразимо аналитически | ||
Дисперсия | 2 c 2, если α = 2 , в противном случае бесконечно | ||
Асимметрия | 0, если α = 2 , в противном случае не определено | ||
Бывший. эксцесс | 0, если α = 2 , в противном случае не определено | ||
Энтропия | не выражается аналитически, за исключением определенных значений параметров | ||
MGF | когда , в противном случае не определено | ||
CF | |
Из четырех параметров, определяющих семейство, наибольшее внимание было уделено параметру стабильности α (см. Панель). Стабильные распределения имеют 0 <α ≤ 2, причем верхняя граница соответствует нормальному распределению , а α = 1 - распределению Коши . Распределения имеют неопределенную дисперсию для α <2 и неопределенное среднее значение для α ≤ 1. Важность стабильных распределений вероятностей состоит в том, что они являются « аттракторами » для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных ( iid ) случайных величин. Нормальное распределение определяет семейство стабильных распределений. Согласно классической центральной предельной теореме правильно нормированная сумма набора случайных величин, каждая из которых имеет конечную дисперсию, будет стремиться к нормальному распределению по мере увеличения числа переменных. Без предположения о конечной дисперсии предел может быть устойчивым распределением, которое не является нормальным. Мандельброт назвал такие распределения «стабильными распределениями Парето» [3] [4] [5] после Вильфредо Парето . В частности, он называл те, которые максимально смещены в положительном направлении с 1 <α <2, «распределениями Парето – Леви» [1], которые он считал лучшими описаниями цен акций и товаров, чем нормальные распределения. [6]
Определение
Невырожденное распределение является устойчивым, если оно удовлетворяет следующему свойству:
- Пусть X 1 и X 2 независимых копий в случайной величине X . Тогда X называется устойчивым, если для любых констант a > 0 и b > 0 случайная величина aX 1 + bX 2 имеет то же распределение, что и cX + d для некоторых констант c > 0 и d . Распределение называется строго устойчивым, если это выполняется при d = 0. [7]
Поскольку нормальное распределение , распределение Коши и распределение Леви обладают указанным выше свойством, отсюда следует, что они являются частными случаями стабильных распределений.
Такие распределения образуют четырехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей, параметризованных параметрами местоположения и масштаба μ и c , соответственно, и двумя параметрами формы β и α, примерно соответствующими мерам асимметрии и концентрации, соответственно (см. Рисунки).
Характеристическая функция φ ( т ) любое распределение вероятностей является только преобразованием Фурье его функция плотности вероятности F ( х ). Таким образом, функция плотности является обратным преобразованием Фурье характеристической функции. [8]
Хотя функция плотности вероятности для общего устойчивого распределения не может быть записана аналитически, общая характеристическая функция может быть выражена аналитически. Случайная величина X называется стабильной, если ее характеристическая функция может быть записана как [7] [9]
где SGN ( т ) является только знаком из т и
μ ∈ R - параметр сдвига, β ∈ [−1, 1], называемый параметром асимметрии , является мерой асимметрии. Обратите внимание, что в этом контексте обычная асимметрия не определена должным образом, поскольку для α <2 распределение не допускает 2-го или более высоких моментов , а обычное определение асимметрии - это 3-й центральный момент .
Причина, по которой это дает стабильное распределение, заключается в том, что характеристическая функция для суммы двух независимых случайных величин равна произведению двух соответствующих характеристических функций. Добавление двух случайных величин из устойчивого распределения дает что-то с одинаковыми значениями α и β, но, возможно, разными значениями μ и c .
Не каждая функция является характеристической функцией допустимого распределения вероятностей (то есть той, кумулятивная функция распределения которой действительна и идет от 0 до 1 без уменьшения), но характеристические функции, приведенные выше, будут допустимыми, пока параметры находятся в их диапазоны. Значение характеристической функции при некотором значении t является комплексно сопряженным с ее значением при - t, как и должно быть, чтобы функция распределения вероятностей была действительной.
В простейшем случае β = 0 характеристическая функция - это просто растянутая экспоненциальная функция ; распределение симметрично относительно μ и называется симметричным (Леви) альфа-стабильным распределением , часто сокращенно SαS .
Когда α <1 и β = 1, распределение поддерживается [μ, ∞).
Параметр c > 0 представляет собой масштабный коэффициент, который является мерой ширины распределения, в то время как α является показателем или индексом распределения и задает асимптотическое поведение распределения.
Параметризации
Приведенное выше определение - только одна из параметризаций, используемых для стабильных распределений; он наиболее распространен, но не является непрерывным по параметрам при α = 1 .
Непрерывная параметризация [7]
где:
Диапазоны значений α и β такие же, как и раньше, γ (например, c ) должен быть положительным, а δ (например, μ) должен быть действительным.
В любой параметризации можно выполнить линейное преобразование случайной величины, чтобы получить случайную величину с плотностью . В первой параметризации это делается путем определения новой переменной:
Для второй параметризации мы просто используем
независимо от того, что такое α. В первой параметризации, если существует среднее значение (то есть α > 1 ), то оно равно μ, тогда как во второй параметризации, когда существует среднее значение, оно равно
Распространение
Таким образом, стабильное распределение определяется указанными выше четырьмя параметрами. Можно показать, что любое невырожденное устойчивое распределение имеет гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию плотности. [7] Еслиобозначает плотность X, а Y - сумма независимых копий X :
то Y имеет плотность с участием
Асимптотика описывается при α <2: [7]
где Γ - гамма-функция (за исключением того, что когда α ≥ 1 и β = ± 1, хвост не обращается в нуль слева или справа, соответственно, от μ , хотя приведенное выше выражение равно 0). Такое поведение « тяжелого хвоста » приводит к тому, что дисперсия стабильных распределений становится бесконечной для всех α <2. Это свойство проиллюстрировано на диаграммах логарифмической статистики ниже.
При α = 2, то распределение является гауссовым (смотри ниже), с хвостами асимптотическим ехр (- х 2 /4 C 2 ) / (2c√π).
Одностороннее стабильное распределение и стабильное подсчетное распределение
Когда α <1 и β = 1, распределение поддерживается [μ, ∞). Это семейство называется односторонним стабильным распределением . [10] Его стандартное распределение (μ = 0) определяется как
- , где .
Позволять , его характеристическая функция . Таким образом, интегральная форма его PDF (примечание:)
Двойной синусоидальный интеграл более эффективен для очень малых .
Рассмотрим сумму Леви где , то Y имеет плотность где . Набор, мы приходим к устойчивому распределению счетчиков . [11] Его стандартное распределение определяется как
- , где а также .
Стабильное подсчетное распределение является сопряженным предшествующим односторонним стабильным распределением. Его семейство в масштабе местоположения определяется как
- , где , , а также .
Это также односторонний дистрибутив, поддерживаемый . Параметр местоположения это точка отсечения, а определяет его масштаб.
Когда , - это распределение Леви, которое является обратным гамма-распределением. Таким образом- смещенное гамма-распределение формы 3/2 и масштаба,
- , где , .
Его среднее значение и его стандартное отклонение . Предполагается, что VIX распространяется как с участием а также (См. Раздел 7 в [11] ). Таким образом, стабильное подсчетное распределение является предельным распределением первого порядка волатильности. В контексте, называется «волатильность пола».
Другой подход к получению стабильного распределения счетчиков состоит в использовании преобразования Лапласа одностороннего устойчивого распределения (раздел 2.4 в [11] )
- , где .
Позволять , и можно разложить интеграл в левой части как распределение произведения стандартного распределения Лапласа и стандартного устойчивого распределения подсчетов,
- , где .
Это называется «лямбда-разложением» (см. Раздел 4 в [11] ), поскольку правая часть была названа «симметричным лямбда-распределением» в предыдущих работах Лина. Однако у него есть несколько более популярных названий, таких как « экспоненциальное распределение мощности » или «обобщенная ошибка / нормальное распределение», которое часто называют, когда α> 1 .
N-й момент это -й момент , Все положительные моменты конечны. Это в некотором роде решает острую проблему расхождения моментов в устойчивом распределении.
Характеристики
- Все устойчивые распределения безгранично делимы .
- За исключением нормального распределения (α = 2), стабильными распределениями являются лептокуртотические распределения и распределения с тяжелыми хвостами .
- Закрытие под свертку
Устойчивые распределения замыкаются сверткой при фиксированном значении α. Поскольку свертка эквивалентна умножению преобразованной Фурье функции, из этого следует, что произведение двух стабильных характеристических функций с одинаковым α даст другую такую характеристическую функцию. Произведение двух стабильных характеристических функций определяется выражением:
Поскольку Φ не является функцией переменных μ, c или β, эти параметры для свернутой функции задаются следующим образом:
В каждом случае можно показать, что результирующие параметры лежат в пределах требуемых интервалов для устойчивого распределения.
Обобщенная центральная предельная теорема
Еще одно важное свойство стабильных распределений - это роль, которую они играют в обобщенной центральной предельной теореме . Центральная предельная теорема утверждает, что сумма ряда независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин с конечными ненулевыми дисперсиями будет стремиться к нормальному распределению по мере роста числа переменных.
Обобщение Гнеденко и Колмогорова утверждает, что сумма ряда случайных величин с симметричными распределениями, имеющими степенные хвосты ( хвосты Парето ), убывающая как где (и, следовательно, имеющий бесконечную дисперсию), будет стремиться к стабильному распределению по мере роста числа слагаемых. [12] Еслитогда сумма сходится к устойчивому распределению с параметром устойчивости, равному 2, то есть к распределению Гаусса. [13]
Есть и другие возможности. Например, если характеристическая функция случайной величины асимптотичнадля малых t (положительных или отрицательных), тогда мы можем спросить, как t изменяется с n, когда значение характеристической функции для суммы n таких случайных величин равно заданному значению u :
Предполагая на данный момент, что t → 0, мы возьмем предел сказанного выше при n → ∞ :
Следовательно:
Это показывает, что асимптотичен поэтому, используя предыдущее уравнение, мы имеем
Это означает, что сумма, деленная на
имеет характеристическую функцию, значение которой при некотором t ′ переходит в u (при увеличении n ), когда Другими словами, характеристическая функция поточечно сходится к и поэтому по теореме Леви о непрерывности сумма, деленная на
сходится по распределению к симметричному альфа-устойчивому распределению с параметром устойчивости и масштабный параметр 1.
Это можно применить к случайной величине, хвосты которой уменьшаются как . Эта случайная величина имеет среднее значение, но дисперсия бесконечна. Возьмем следующее распределение:
Мы можем записать это как
где
Мы хотим найти главные члены асимптотического разложения характеристической функции. Характеристическая функция распределения вероятностей является так что характеристическая функция для f ( x ) равна
и мы можем рассчитать:
где а также являются константами. Следовательно,
и согласно тому, что было сказано выше (и тому факту, что дисперсия f ( x ; 2,0,1,0) равна 2), сумма n экземпляров этой случайной величины, деленная набудет сходиться по распределению к гауссовскому распределению с дисперсией 1. Но дисперсия при любом конкретном n все равно будет бесконечной. Обратите внимание, что ширина предельного распределения растет быстрее, чем в случае, когда случайная величина имеет конечную дисперсию (в этом случае ширина растет как квадратный корень из n ). Среднем , полученное путем деления суммы на п , стремится к гауссовой, ширина которого стремится к нулю при п увеличивается, в соответствии с законом больших чисел .
Особые случаи
Для вида f ( x ) не существует общего аналитического решения . Однако есть три частных случая, которые могут быть выражены в терминах элементарных функций, что можно увидеть при рассмотрении характеристической функции : [7] [9] [14]
- Для α = 2 распределение сводится к распределению Гаусса с дисперсией σ 2 = 2 c 2 и средним значением μ; параметр асимметрии β не влияет.
- Для α = 1 и β = 0 распределение сводится к распределению Коши с параметром масштаба c и параметром сдвига μ.
- Для α = 1/2 и β = 1 распределение сводится к распределению Леви с параметром масштаба c и параметром сдвига μ.
Обратите внимание, что указанные выше три распределения также связаны следующим образом: стандартная случайная величина Коши может рассматриваться как смесь гауссовских случайных величин (все со средним нулевым значением), причем дисперсия берется из стандартного распределения Леви. Фактически это частный случай более общей теоремы (см. Стр. 59 в [15] ), которая позволяет рассматривать любое симметричное альфа-устойчивое распределение таким образом (с параметром альфа распределения смеси, равным удвоенному значению параметр альфа распределения смешения - и параметр бета распределения смешения всегда равен единице).
Общее выражение в замкнутой форме для стабильных PDF с рациональными значениями α доступно в терминах G-функций Мейера . [16] H-функции Фокса также могут использоваться для выражения стабильных функций плотности вероятности. Для простых рациональных чисел выражение в закрытой форме часто выражается в терминах менее сложных специальных функций . Доступно несколько выражений закрытой формы, имеющих довольно простые выражения в терминах специальных функций. В приведенной ниже таблице PDF-файлы, выражаемые элементарными функциями, обозначены буквой E, а те, которые выражаются специальными функциями, обозначены буквой s . [15]
α | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1/3 | 1/2 | 2/3 | 1 | 4/3 | 3/2 | 2 | ||
β | 0 | s | s | s | E | s | s | E |
1 | s | E | s | s | s |
Некоторые особые случаи известны под определенными именами:
- Для α = 1 и β = 1 распределение является распределением Ландау, которое имеет конкретное использование в физике под этим именем.
- Для α = 3/2 и β = 0 распределение сводится к распределению Холтсмарка с параметром масштаба c и параметром сдвига μ.
Кроме того, в пределе, когда c приближается к нулю или когда α приближается к нулю, распределение будет приближаться к дельта-функции Дирака δ ( x - μ ) .
Представление серии
Устойчивое распределение можно переформулировать как действительную часть более простого интеграла: [17]
Выражая вторую экспоненту в виде ряда Тейлора , мы имеем:
где . Изменение порядка интегрирования и суммирования на противоположное и выполнение интегрирования дает:
которое будет справедливо при x ≠ μ и будет сходиться при подходящих значениях параметров. (Обратите внимание, что член n = 0, который дает дельта-функцию по x −μ, поэтому был опущен.) Выражение первой экспоненты в виде ряда даст другой ряд с положительными степенями x −μ, что обычно менее полезно.
Для одностороннего стабильного распределения необходимо изменить указанное выше расширение ряда, так как а также . Нет никакой реальной части для суммирования. Вместо этого интеграл характеристической функции следует проводить по отрицательной оси, что дает: [18] [10]
Моделирование стабильных переменных
Моделирование последовательностей стабильных случайных величин непросто, поскольку нет аналитических выражений для обратной ни CDF сам. [19] [11] Все стандартные подходы, такие как методы отклонения или инверсии, потребуют утомительных вычислений. Гораздо более элегантное и эффективное решение было предложено Чемберсом, Маллоусом и Штуком (CMS) [20], которые заметили, что некоторая интегральная формула [21] дает следующий алгоритм: [22]
- генерировать случайную величину равномерно распределены по и независимая экспоненциальная случайная величина со средним значением 1;
- для вычислить:
- для вычислить:
- где
Этот алгоритм дает случайную величину . Подробное доказательство см. [23]
Имея формулы для моделирования стандартной стабильной случайной величины, мы можем легко смоделировать стабильную случайную величину для всех допустимых значений параметров , , а также используя следующее свойство. Если тогда
является . Для (а также ) метод CMS сводится к хорошо известному преобразованию Бокса-Мюллера для генерации гауссовских случайных величин. [24] В литературе было предложено множество других подходов, включая применение разложений в ряды Бергстрёма и Лепажа, см. [25] и [26] соответственно. Однако метод CMS считается самым быстрым и точным.
Приложения
Стабильные распределения обязаны своей важностью как в теории, так и на практике обобщению центральной предельной теоремы на случайные величины без моментов второго (и, возможно, первого) порядка и сопутствующего самоподобия стабильного семейства. Это было кажущееся отклонение от нормальности наряду со спросом на самоподобную модель финансовых данных (т. Е. Форма распределения ежегодных изменений цен на активы должна напоминать форму составляющих ежедневных или ежемесячных изменений цен), что привело Бенуа Мандельброта к предложению что цены на хлопок подчиняются альфа-стабильному распределению с α, равным 1,7. [6] Распределения Леви часто встречаются при анализе критического поведения и финансовых данных. [9] [27]
Они также встречаются в спектроскопии как общее выражение для спектральной линии, уширенной квазистатическим давлением . [17]
Распределение Леви событий времени ожидания солнечных вспышек (время между вспышками) было продемонстрировано для солнечных вспышек с жестким рентгеновским излучением CGRO BATSE в декабре 2001 г. Анализ статистической сигнатуры Леви показал, что были очевидны две разные сигнатуры; один связан с солнечным циклом, а второй, происхождение которого, по-видимому, связано с локализованными или сочетанием локализованных эффектов солнечной активной области. [28]
Другие аналитические случаи
Известен ряд случаев аналитически выразимых устойчивых распределений. Пусть устойчивое распределение выражается как тогда мы знаем:
- Распределение Коши дается формулой
- Распределение Леви дается формулой
- Нормальное распределение задается
- Позволять - функция Ломмеля , то: [29]
- Позволять а также Обозначим интегралы Френеля, тогда: [30]
- Позволять - модифицированная функция Бесселя второго рода, тогда: [30]
- Если обозначим гипергеометрические функции, тогда: [29]
- причем последнее является распределением Хольтсмарка .
- Позволять - функция Уиттекера , то: [31] [32] [33]
Смотрите также
- Леви рейс
- Леви процесс
- Дробная квантовая механика
- Другие распределения "степенного закона"
- Распределение Парето
- Дзета-распределение
- Распространение Zipf
- Распределение Ципфа – Мандельброта
- Стабильные и умеренные стабильные распределения с кластеризацией волатильности - финансовые приложения
- Многомерное стабильное распределение
- Дискретно-стабильное распределение
Заметки
- Программа STABLE для Windows доступна на стабильной веб-странице Джона Нолана: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html . Он вычисляет плотность (pdf), кумулятивную функцию распределения (cdf) и квантили для общего стабильного распределения, а также выполняет оценку максимального правдоподобия стабильных параметров и некоторые методы исследовательского анализа данных для оценки соответствия набора данных.
- libstable - это реализация C для стабильного распределения pdf, cdf, случайных чисел, квантилей и функций подгонки (вместе с пакетом репликации тестов и пакетом R).
- R Package 'stabledist' от Дитгельма Вюрца, Мартина Махлера и членов основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа. Обновлено 12 сентября 2016 г.
Рекомендации
- ^ a b Б. Мандельброт, Закон Парето – Леви и распределение доходов, International Economic Review 1960 https://www.jstor.org/stable/2525289
- ↑ Поль Леви, Расчет вероятностей 1925 г.
- ^ Б. Мандельброт, Стабильные паретианские случайные функции и мультипликативная вариация дохода, Econometrica 1961 https://www.jstor.org/stable/pdfplus/1911802.pdf
- ^ Б. Мандельброт, Вариация некоторых спекулятивных цен, Журнал Бизнес 1963 [1]
- ^ Юджин Ф. Фама, Мандельброт и стабильная паретианская гипотеза, Журнал бизнеса 1963
- ^ a b Мандельброт, Б., Новые методы в статистической экономике Журнал политической экономии , 71 № 5, 421–440 (1963).
- ^ a b c d e f Нолан, Джон П. "Стабильные распределения - модели для данных с тяжелыми хвостами" (PDF) . Проверено 21 февраля 2009 .
- ^ Зигрист, Кайл. «Стабильные распределения» . www.randomservices.org . Проверено 18 октября 2018 .
- ^ а б в Войт, Йоханнес (2005). Балиан, Р; Beiglböck, W; Grosse, H; Thirring, W. (ред.). Статистическая механика финансовых рынков - Springer . Тексты и монографии по физике. Springer. DOI : 10.1007 / b137351 . ISBN 978-3-540-26285-5.
- ^ а б Пенсон, KA; Горска, К. (17 ноября 2010 г.). "Точные и явные плотности вероятностей для односторонних устойчивых распределений Леви". Письма с физическим обзором . 105 (21): 210604. arXiv : 1007.0193 . Bibcode : 2010PhRvL.105u0604P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.105.210604 . PMID 21231282 . S2CID 27497684 .
- ^ а б в г д Лин, Стивен (2017). «Теория доходности и волатильности активов при стабильном законе и стабильном лямбда-распределении» . ССРН .
- ^ Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, Кембридж, Эддисон-Уэсли, 1954 https://books.google.com/books/about/Limit_distributions_for_sums_of_independ.html?id=rYsZAQAAIAAJ&redir_esc=y См. Теорему 5 в главе 7, раздел 35, стр. 181 .
- ^ Владимир В. Учайкин, Владимир М. Золотарев, Вероятность и стабильность: стабильные дистрибутивы и их приложения, De Gruyter 1999 https://books.google.com/books/about/Chance_and_Stability.html?id=Y0xiwAmkb_oC&redir_esc=y
- ^ Самородницкий, Г .; Taqqu, MS (1994). Устойчивые негауссовские случайные процессы: стохастические модели с бесконечной дисперсией . CRC Press. ISBN 9780412051715.
- ^ а б Ли, Вай Ха (2010). Непрерывные и дискретные свойства случайных процессов . Кандидатская диссертация, Ноттингемский университет.
- ^ Золотарев, В. (1995). «О представлении плотностей устойчивых законов специальными функциями». Теория вероятностей и ее приложения . 39 (2): 354–362. DOI : 10.1137 / 1139025 . ISSN 0040-585X .
- ^ а б Пич, Г. (1981). «Теория уширения под давлением и сдвига спектральных линий». Успехи физики . 30 (3): 367–474. Bibcode : 1981AdPhy..30..367P . DOI : 10.1080 / 00018738100101467 . ISSN 0001-8732 .
- ^ Поллард, Ховард (1946). «Представление e ^ {- x ^ {\ lambda}} как интеграла Лапласа» . Бык. Амер. Математика. Soc . 52 : 908. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1946-08672-3 .
- ^ Нолан, Джон П. (1997). «Численный расчет устойчивых плотностей и функций распределения». Коммуникации в статистике. Стохастические модели . 13 (4): 759–774. DOI : 10.1080 / 15326349708807450 . ISSN 0882-0287 .
- ^ Чемберс, JM; Мальвы, CL; Застрявший, BW (1976). «Метод моделирования стабильных случайных величин». Журнал Американской статистической ассоциации . 71 (354): 340–344. DOI : 10.1080 / 01621459.1976.10480344 . ISSN 0162-1459 .
- ^ Золотарев В.М. (1986). Одномерные стабильные распределения . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4519-6.
- ^ Мисиорек, Адам; Верон, Рафал (2012). Нежный, Джеймс Э .; Härdle, Вольфганг Карл; Мори, Юичи (ред.). Распределения с тяжелыми хвостами в расчетах VaR (PDF) . Справочники Springer по вычислительной статистике. Springer Berlin Heidelberg. С. 1025–1059. DOI : 10.1007 / 978-3-642-21551-3_34 . ISBN 978-3-642-21550-6.
- ^ Верон, Рафал (1996). «О методе Чемберса-Маллоуса-Стака для моделирования устойчивых случайных величин с перекосом». Статистика и вероятностные письма . 28 (2): 165–171. CiteSeerX 10.1.1.46.3280 . DOI : 10.1016 / 0167-7152 (95) 00113-1 .
- ^ Яницкий, Александр; Верон, Александр (1994). Моделирование и хаотическое поведение альфа-устойчивых случайных процессов . CRC Press. ISBN 9780824788827.
- ^ Мантенья, Росарио Нунцио (1994). «Быстрый и точный алгоритм для численного моделирования устойчивых случайных процессов Леви». Physical Review E . 49 (5): 4677–4683. Bibcode : 1994PhRvE..49.4677M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.49.4677 . PMID 9961762 .
- ^ Яницкий, Александр; Кокошка, Петр (1992). «Компьютерное исследование скорости сходимости рядов типа Лепажа к α-стабильным случайным величинам». Статистика . 23 (4): 365–373. DOI : 10.1080 / 02331889208802383 . ISSN 0233-1888 .
- ^ Рачев, Светлозар Т .; Миттник, Стефан (2000). Стабильные паретианские модели в финансах . Вайли. ISBN 978-0-471-95314-2.
- ^ Леддон, Д., Статистическое исследование солнечных вспышек в жестком рентгеновском диапазоне
- ^ а б Гарони, ТМ; Франкель, NE (2002). «Полеты Леви: точные результаты и асимптотика вне всяких порядков». Журнал математической физики . 43 (5): 2670–2689. Bibcode : 2002JMP .... 43.2670G . DOI : 10.1063 / 1.1467095 .
- ^ а б Hopcraft, KI; Jakeman, E .; Таннер, RMJ (1999). «Случайные прогулки Леви с изменяющимся числом шагов и многомасштабным поведением». Physical Review E . 60 (5): 5327–5343. Bibcode : 1999PhRvE..60.5327H . DOI : 10.1103 / physreve.60.5327 . PMID 11970402 .
- ^ Учайкин, В.В.; Золотарев В.М. (1999). «Случайность и стабильность - стабильные распределения и их приложения». ВСП .
- ^ Злотарев В.М. (1961). «Выражение плотности устойчивого распределения с показателем альфа больше единицы с помощью частоты с показателем 1 / альфа». Избранные переводы по математической статистике и вероятности (Пер. С русской статьи: ДАН СССР 98, 735–738 (1954)) . 1 : 163–167.
- ^ Заляпин, И.В. Каган Ю.Г .; Шенберг, ФП (2005). «Аппроксимация распределения сумм Парето» . Чистая и прикладная геофизика . 162 (6): 1187–1228. Bibcode : 2005PApGe.162.1187Z . DOI : 10.1007 / s00024-004-2666-3 . S2CID 18754585 .