Решетка (группа)
В геометрии и теории групп решетка в реальном координатном пространстве представляет собой бесконечный набор точек в этом пространстве со свойствами, заключающимися в том, что покоординатное сложение или вычитание двух точек в решетке дает другую точку решетки, что все точки решетки разделены некоторым минимальное расстояние и что каждая точка пространства находится в пределах некоторого максимального расстояния от точки решетки. Замыкание при сложении и вычитании означает, что решетка должна быть подгруппой аддитивной группы точек в пространстве, а требования минимального и максимального расстояния можно резюмировать, сказав, что решетка является множеством Делоне . Более абстрактно решетку можно описать каксвободная абелева группа размерности , которая охватывает векторное пространство . Для любого базиса подгруппа всех линейных комбинаций с целыми коэффициентами базисных векторов образует решетку, и таким образом из базиса можно составить любую решетку. Решётку можно рассматривать как регулярное замощение пространства примитивной ячейкой .
Решетки имеют много важных приложений в чистой математике, особенно в связи с алгебрами Ли , теорией чисел и теорией групп. Они также возникают в прикладной математике в связи с теорией кодирования , в криптографии из-за предполагаемой вычислительной сложности нескольких задач решетки и по-разному используются в физических науках. Например, в материаловедении и физике твердого тела решетка является синонимом «каркаса» кристаллической структуры , трехмерного массива регулярно расположенных точек, совпадающих в особых случаях с атомом или молекулой .позиции в кристалле . В более общем плане решетчатые модели изучаются в физике , часто методами вычислительной физики .
Решетка — это группа симметрии дискретной трансляционной симметрии в n направлениях. Шаблон с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Как группа (отбрасывая свою геометрическую структуру) решетка является конечно порожденной свободной абелевой группой и, таким образом, изоморфна .
Решетка в смысле трехмерного массива регулярно расположенных точек, совпадающих, например, с положениями атома или молекулы в кристалле , или, в более общем смысле, с орбитой группового действия при трансляционной симметрии, является трансляцией трансляционной решетки: смежный класс , который не обязательно должен содержать начало координат и, следовательно, не должен быть решеткой в предыдущем смысле.
