- См. Список вещей, названных в честь Готфрида Лейбница, чтобы узнать о других формулах, известных под тем же именем.
В математике , то формула Лейбница для П , названной по имени Готфрида Лейбница , утверждает , что
знакопеременный ряд . Его также называют рядом Лейбница-Мадхава, поскольку это частный случай более общего разложения в ряд для функции обратной касательной , впервые обнаруженный индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы в 14 веке, конкретный случай, впервые опубликованный Лейбницем около 1676 года. . [1] Ряд для функции обратной касательной , который также известен как ряд Грегори , может быть задан следующим образом:
Формула Лейбница для π/4можно получить, положив в этот ряд x = 1 . [2]
Он также является Дирихле L -рядов из неглавного характера Дирихля по модулю 4 , измеренного при х = 1 , и , следовательно, значение р (1) из беты - функции Дирихле .
Доказательство
Доказательство 1
Учитывая только интеграл в последнем члене, мы имеем:
Следовательно, по теореме о сжатии при n → ∞ остается ряд Лейбница:
Доказательство 2
Когда , сходится равномерно, поэтому
Если подходы так что он непрерывен и сходится равномерно, доказательство завершено. Из теста Лейбница , сходится, также подходы из угла Штольца, поэтому согласно теореме Абеля это верно.
Конвергенция
Формула Лейбница сходится чрезвычайно медленно: она демонстрирует сублинейную сходимость . Вычисление π до 10 правильных десятичных знаков с использованием прямого суммирования ряда требует около пяти миллиардов членов, потому что4/2 к + 1<10 −10 для k > 2 × 10 10 - 1/2.
Однако формулу Лейбница можно использовать для вычисления π с высокой точностью (сотни цифр и более), используя различные методы ускорения сходимости . Например, преобразование Хвостовики , преобразование Эйлера или преобразование Вана Вейнгаарден , которые являются общими методами знакопеременного ряда, может быть эффективно применен к частичным суммам ряда Лейбница. Кроме того, попарное объединение членов дает не чередующийся ряд
которые могут быть вычислены с высокой точностью из небольшого числа членов с помощью экстраполяции Ричардсона или формулы Эйлера – Маклорена . Этот ряд также можно преобразовать в интеграл с помощью формулы Абеля – Планы и оценить с помощью методов численного интегрирования .
Необычное поведение
Если ряд усечен в нужный момент, десятичное разложение приближения будет соответствовать таковому для π для многих других цифр, за исключением отдельных цифр или групп цифр. Например, если взять пять миллионов терминов, то получится
где подчеркнутые цифры неправильные. Фактически ошибки можно предсказать; они порождаются числами Эйлера E n согласно асимптотической формуле
где N - целое число, делящееся на 4. Если N выбрано равным степени десяти, каждый член в правой сумме становится конечной десятичной дробью. Эта формула является частным случаем формулы суммирования булевых чисел для чередующихся рядов, предоставляя еще один пример техники ускорения сходимости, которая может быть применена к рядам Лейбница. В 1992 году Джонатан Борвейн и Марк Лимбер использовали первую тысячу чисел Эйлера для вычисления числа π с точностью до 5263 десятичных разрядов по формуле Лейбница. [3]
Произведение Эйлера
Формулу Лейбница можно интерпретировать как ряд Дирихле с использованием уникального неглавного характера Дирихле по модулю 4. Как и в случае с другими рядами Дирихле, это позволяет преобразовать бесконечную сумму в бесконечное произведение с одним членом для каждого простого числа . Такое произведение называется произведением Эйлера . Это:
В этом произведении каждый член представляет собой суперчастное соотношение , каждый числитель - нечетное простое число, а каждый знаменатель - это ближайшее кратное 4 к числителю. [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Эдвардс, Чарльз Генри (1994), Историческое развитие исчисления , Springer Study Edition Series (3-е изд.), Springer, p. 247, ISBN 978-0-387-94313-8
- ^ Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Cambridge University Press , стр. 58, ISBN 0-521-78988-5
- ^ Борвейн, Джонатан ; Бейли, Дэвид ; Гиргенсон, Роланд (2004), «1.8.1: пересмотр серии Грегори» , « Эксперименты в математике: вычислительные пути к открытию» , AK Peters, стр. 28–30, ISBN 1-56881-136-5, Руководство по ремонту 2051473
- ^ Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия , World Scientific, стр. 214, ISBN 9781848165267.
Внешние ссылки
- Формула Лейбница на C, сборка x86 FPU, сборка x86-64 SSE3 и сборка DEC Alpha