В геометрии , isotoxal многогранники и тайлинги определяются тем свойством , что они имеют симметрию , принимая любую кромку к любому другому краю. [1] Многогранники с этим свойством также можно назвать «реберно-транзитивными», но их следует отличать от реберно-транзитивных графов , где симметрии комбинаторные, а не геометрические.
Правильные многогранники изоэдральны (транзитивны по граням), изогональны (транзитивны по вершинам) и изотоксальны (транзитивны по ребрам).
Квазирегулярные многогранники изогональны и изотоксальны, но не изоэдральны; их двойники изоэдральны и изотоксальны, но не изогональны.
Двойник изотоксального многогранника также является изотоксальным многогранником. (См. Статью Двойной многогранник .)
Выпуклые изотоксальные многогранники [ править ]
Двойник выпуклого многогранника также является выпуклым многогранником. [2]
Есть девять выпуклых изотоксальных многогранников, основанных на Платоновых телах : пять (правильных) Платоновых тел, два ( квазирегулярных ) общих ядра двойных Платоновых тел и их два двойственных.
Эти цифры вершин квазирегулярных форм являются (квадратами или прямоугольниками); фигурами вершин двойников квазирегулярных форм являются (равносторонние треугольники и равносторонние треугольники, или) равносторонние треугольники и квадраты, или равносторонние треугольники и правильные пятиугольники.
| Форма | Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярный | Квазирегулярный дуальный |
|---|---|---|---|---|
| Символ Wythoff | q | 2 шт. | p | 2 кв. | 2 | pq | |
| Конфигурация вершины | p q | q p | pqpq | |
| р = 3 д = 3 |  Тетраэдр {3,3}    3 | 2 3 |  Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3 |  Тетратетраэдр ( Октаэдр ) 2 | 3 3 |  Куб (ромбический шестигранник) |
| р = 4 д = 3 |  Куб {4,3}  3 | 2 4 |  Октаэдр {3,4} 4 | 2 3 |  Кубооктаэдр 2 | 3 4 |  Ромбический додекаэдр |
| р = 5 д = 3 |  Додекаэдр {5,3}  3 | 2 5 |  Икосаэдр {3,5} 5 | 2 3 |  Икосидодекаэдр 2 | 3 5 |  Ромбический триаконтаэдр |
Изотоксальные звездчатые многогранники [ править ]
Двойник невыпуклого многогранника также является невыпуклым многогранником. [2] (В противовес.)
Существует десять невыпуклых изотоксальных многогранников, основанных на квазирегулярном октаэдре, кубооктаэдре и икосододекаэдре: пять (квазирегулярных) гемиполиэдров, основанных на квазирегулярном октаэдре, кубооктаэдре и икосододекаэдре, и их пяти (бесконечных) двойниках:
| Форма | Квазирегулярный | Квазирегулярный дуальный |
|---|---|---|
| р = 3 д = 3 | Тетрагемигексаэдр | Тетрагемигексакрон |
| р = 4 д = 3 | Кубогемиоктаэдр | Гексагемиоктакрон |
Октагемиоктаэдр | Октахемиоктакрон (визуально неотличимый от гексагемиоктакрона) (*) | |
| р = 5 д = 3 | Малый икосигемидодекаэдр | Маленький икосигемидодекакрон (визуально неотличимый от малого додекагемидодекакрона ) (*) |
Малый додекагемидодекаэдр | Малый додекагемидодекакрон |
(*) Грани, ребра и точки пересечения совпадают; только некоторые другие из этих точек пересечения, не находящиеся на бесконечности, считаются вершинами.
На основе многогранников Кеплера – Пуансо шестнадцать невыпуклых изотоксальных многогранников : четыре (правильных) многогранника Кеплера – Пуансо, шесть ( квазирегулярных ) общих ядер двойных многогранников Кеплера – Пуансо (включая четыре гемиполиэдра) и их шесть двойных ( включая четыре (бесконечных) двойных гемиполиэдра):
| Форма | Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярный | Квазирегулярный дуальный |
|---|---|---|---|---|
| Символ Wythoff | q | 2 шт. | p | 2 кв. | 2 | pq | |
| Конфигурация вершины | p q | q p | pqpq | |
| р = 5/2 д = 3 | Большой звездообразный додекаэдра { 5 / 2 , 3}
| Большой икосаэдр {3, 5 / 2 }
| Большой икосододекаэдр   2 | 3 5/2 | Большой ромбический триаконтаэдр |
Большой икосигемидодекаэдр | Великий икосихемидодекакрон | |||
Большой додекагемидодекаэдр | Большой додекагемидодекакрон | |||
| р = 5/2 д = 5 | Малый звездообразный додекаэдра { 5 / 2 , 5}
| Большой додекаэдр {5, 5 / 2 }
| Додекадодекаэдр 2 | 5 5/2 | Средний ромбический триаконтаэдр |
Малый икосигемидодекаэдр | Малый додекагемикосакрон | |||
Большой додекагемидодекаэдр | Великий додекагемикосакрон |
Наконец, есть шесть других невыпуклых изотоксальных многогранников: три квазирегулярных дитригональных (3 | pq) звездных многогранника и их три двойных:
| Квазирегулярный | Квазирегулярный дуальный |
|---|---|
| 3 | pq | |
Большой дитригональный икосододекаэдр 3/2 | 3 5  | Большой триамбический икосаэдр |
Дитригональный додекадодекаэдр 3 | 5/3 5 | Медиальный триамбический икосаэдр |
Малый дитригональный икосододекаэдр 3 | 5/2 3 | Малый триамбический икосаэдр |
Изотоксальные мозаики евклидовой плоскости [ править ]
Есть по крайней мере 5 многоугольных мозаик евклидовой плоскости, которые являются изотоксальными. (Самодвойная квадратная мозаика воссоздает себя во всех четырех формах.)
| Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярный | Квазирегулярный дуальный |
|---|---|---|---|
Шестиугольная черепица {6,3}  6 | 2 3 | Треугольная черепица {3,6} 3 | 2 3 | Трехгранная черепица 2 | 3 6 | Ромбильная плитка |
Квадратная черепица {4,4} 4 | 2 4 | Квадратная черепица {4,4} 2 | 4 4 | Квадратная черепица {4,4} 4 | 2 4 | Квадратная черепица {4,4} |
Изотоксальные мозаики гиперболической плоскости [ править ]
Существует бесконечно много изотоксальных многоугольных мозаик гиперболической плоскости, включая конструкции Витхоффа из регулярных гиперболических мозаик {p, q} и неправые (pqr) группы.
Вот шесть (pq 2) семейств, каждое с двумя регулярными формами и одной квазирегулярной формой. У всех есть ромбические двойники квазирегулярной формы, но показан только один:
| [p, q] | {p, q} | {q, p} | г {р, д} | Двойной r {p, q} |
|---|---|---|---|---|
| Кокстер-Дынкин |   | | |  |
| [7,3] | {7,3} | {3,7} | г {7,3} | |
| [8,3] | {8,3} | {3,8} | г {8,3} | |
| [5,4] | {5,4} | {4,5} | г {5,4} | |
| [6,4] | {6,4} | {4,6} | г {6,4} | |
| [8,4] | {8,4} | {4,8} | г {8,3} | |
| [5,5] | {5,5} | {5,5} | г {5,5} |
Вот 3 примера (pqr) семейства, каждое с 3 квазирегулярными формами. Двойники не показаны, но имеют изотоксальные шестиугольные и восьмиугольные грани.
| Кокстер-Дынкин |  | | |
|---|---|---|---|
| (4 3 3) | 3 | 4 3 | 3 | 4 3 | 4 | 3 3 |
| (4 4 3) | 4 | 4 3 | 3 | 4 4 | 4 | 4 3 |
| (4 4 4) | 4 | 4 4 | 4 | 4 4 | 4 | 4 4 |
Изотоксальные мозаики сферы [ править ]
Все перечисленные выше изотоксальные многогранники могут быть построены как изотоксальные мозаики сферы.
Помимо сферических мозаик, есть еще два семейства, которые вырождены как многогранники. Даже упорядоченный осоэдр может быть полурегулярным , чередующим две лунки, и, следовательно, изотоксальным:
- осоэдр {2, q}
- диэдр {p, 2}
Ссылки [ править ]
- ^ Питер Р. Кромвель, Многогранники , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2 , стр. 371
- ^ а б «двойственность» . maths.ac-noumea.nc . Проверено 1 октября 2020 .
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 Изотоксальные плитки, 309–321)
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. физико - математических наук , 246 (916): 401-450, DOI : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446 , S2CID 202575183
