Уравнения Лондона

Когда материал опускается ниже своей сверхпроводящей критической температуры, магнитные поля внутри материала вытесняются за счет эффекта Мейснера . Уравнения Лондона дают количественное объяснение этому эффекту.

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Уравнения Лондона, разработанные братьями Фрицем и Хайнцем Лондоном в 1935 году ^[1], являются определяющими соотношениями для сверхпроводника, связывающими его сверхпроводящий ток с электромагнитными полями внутри и вокруг него. В то время как закон Ома - это простейшее определяющее соотношение для обычного проводника , уравнения Лондона представляют собой простейшее содержательное описание сверхпроводящих явлений и составляют основу почти любого современного вводного текста по этому вопросу. ^{[2] [3] [4]} Главный триумф уравнений - их способность объяснять эффект Мейснера., ^{[5] в} котором материал экспоненциально вытесняет все внутренние магнитные поля, когда он пересекает сверхпроводящий порог.

Описание [ править ]

Есть два уравнения Лондона, выраженные через измеримые поля:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} =-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Здесь - (сверхпроводящая) плотность тока , E и B - электрическое и магнитное поля внутри сверхпроводника, соответственно, - заряд электрона или протона, - масса электрона и феноменологическая константа, слабо связанная с числовой плотностью сверхпроводящих носителей. . ^[6]${\displaystyle {\mathbf {j} }}$${\displaystyle e\,}$${\displaystyle m\,}$${\displaystyle n_{s}\,}$

Два уравнения могут быть объединены в одно «уравнение Лондона» ^{[6] [7]} в терминах определенного векторного потенциала, который был привязан к «лондонской калибровке», давая: ^[8]${\displaystyle \mathbf {A} _{s}}$

${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{s}.}$

В лондонской калибровке векторный потенциал подчиняется следующим требованиям, гарантируя, что его можно интерпретировать как плотность тока: ^[9]

• ${\displaystyle {\text{div}}\mathbf {A} _{s}=0,}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{s}=0}$ в объеме сверхпроводника,
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{s}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,}$где - вектор нормали к поверхности сверхпроводника.${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Эти требования отменяют всякую калибровочную свободу и однозначно определяют векторный потенциал. Можно также записать уравнение Лондона в терминах произвольной калибровки ^[10] , просто определив , где - скалярная функция, а - изменение калибровки, которое переводит произвольную калибровку в лондонскую. Выражение векторного потенциала справедливо для магнитных полей, которые медленно меняются в пространстве. ^[4]${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} _{s}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \nabla \phi }$

Глубина проникновения в Лондон [ править ]

Если вторым уравнением Лондона манипулировать, применяя закон Ампера , ^[11]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$,

тогда его можно превратить в уравнение Гельмгольца для магнитного поля:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{s}^{2}}}\mathbf {B} }$

где величина, обратная собственному значению лапласиана :

${\displaystyle \lambda _{s}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{s}e^{2}}}}}$

- характерный масштаб длины , на котором внешние магнитные поля экспоненциально подавляются: он называется лондонской глубиной проникновения : типичные значения составляют от 50 до 500 нм .${\displaystyle \lambda _{s}}$

Например, рассмотрим сверхпроводник в свободном пространстве, где магнитное поле вне сверхпроводника представляет собой постоянную величину, направленную параллельно сверхпроводящей граничной плоскости в направлении z . Если x ведет перпендикулярно границе, то можно показать, что решение внутри сверхпроводника имеет вид

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{s}}.\,}$

Отсюда, пожалуй, легче всего понять физический смысл лондонской глубины проникновения.

Обоснование уравнений Лондона [ править ]

Исходные аргументы [ править ]

Хотя важно отметить, что приведенные выше уравнения не могут быть получены формально ^[12], Лондоны действительно следовали определенной интуитивной логике в формулировке своей теории. Вещества поразительно широкого диапазона составов ведут себя примерно в соответствии с законом Ома , который гласит, что ток пропорционален электрическому полю. Однако такая линейная зависимость невозможна в сверхпроводнике почти по определению для электронов в сверхпроводящем потоке без какого-либо сопротивления. С этой целью братья Лондон представляли электроны как свободные электроны, находящиеся под действием однородного внешнего электрического поля. Согласно закону силы Лоренца

${\displaystyle \mathbf {F} =e\mathbf {E} +e\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

эти электроны должны столкнуться с однородной силой и, таким образом, фактически должны равномерно ускоряться. Это именно то, что утверждает первое уравнение Лондона.

Чтобы получить второе уравнение, возьмите ротор первого уравнения Лондона и примените закон Фарадея ,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$,

чтобы получить

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} +{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {B} \right)=0.}$

В его нынешнем виде это уравнение допускает как постоянные, так и экспоненциально убывающие решения. Лондоны признали из эффекта Мейснера, что постоянные ненулевые решения нефизичны, и, таким образом, постулировали, что не только производная по времени вышеупомянутого выражения равна нулю, но также и что выражение в скобках должно быть идентично нулю. Это приводит ко второму уравнению Лондона.

Аргументы канонического импульса [ править ]

Также можно обосновать уравнения Лондона другими способами. ^{[13] [14]} Плотность тока определяется согласно уравнению

${\displaystyle \mathbf {j} =-n_{s}e\mathbf {v} .}$

Перенося это выражение из классического описания в квантово-механическое, мы должны заменить значения j и v на математические ожидания их операторов. Оператор скорости

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} +e\mathbf {A} \right)}$

определяется делением калибровочно-инвариантного кинематического оператора импульса на массу частицы m . ^[15] Обратите внимание, что мы используем заряд электрона. Затем мы можем сделать эту замену в приведенном выше уравнении. Однако важное предположение микроскопической теории сверхпроводимости состоит в том, что сверхпроводящее состояние системы является основным состоянием, и согласно теореме Блоха ^[16] в таком состоянии канонический импульс p равен нулю. Это оставляет${\displaystyle -e}$

${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {A} ,}$

которое является уравнением Лондона согласно второй формулировке, приведенной выше.

Ссылки [ править ]