В математике , идентичность является равенство , относящееся одно математического выражение А в другой математическую экспрессии B , таким образом, что и Б (которые могут содержать некоторые переменные ) производят одинаковое значение для всех значений переменных в пределах определенного диапазона действия. [1] [2] Другими словами, A = B является тождеством, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество - это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, а также идентичности. [2] идентичности иногда обозначаются тройник символом ≡ вместо = , то знака равенства . [3]
Общие идентичности
Алгебраические тождества
Определенные личности, такие как а также , составляют основу алгебры, [4] в то время как другие тождества, такие как а также , может быть полезно для упрощения алгебраических выражений и их расширения. [5]
Тригонометрические тождества
Геометрически тригонометрические тождества - это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов . [6] Они отличаются от тождеств треугольника , которые представляют собой тождества, включающие как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.
Эти тождества полезны, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Другое важное приложение - интеграция нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает в себя сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение итогового интеграла с помощью тригонометрического тождества.
Один из самых ярких примеров тригонометрических тождеств включает уравнение что верно для всех комплексных значений (поскольку комплексные числа образуют область синуса и косинуса). С другой стороны, уравнение
верно только для определенных значений , не все (ни для всех значений в окрестности ). Например, это уравнение верно, когда но ложь, когда .
Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения / вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ), [3] [1], которые можно использовать для разбиения выражений с большими углами на выражения с меньшими составляющими.
Экспоненциальные тождества
Следующие тождества выполняются для всех целочисленных показателей, при условии, что основание не равно нулю:
В отличие от сложения и умножения возведение в степень не коммутативно . Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , но 2 3 = 8 , тогда как 3 2 = 9 .
И, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень тоже не ассоциативно . Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , но от 2 3 до 4 будет 8 4 (или 4096), а 2 к 3 4 - 2 81 (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Без круглых скобок для изменения порядка вычислений, по соглашению, порядок идет сверху вниз, а не снизу вверх:
Логарифмические тождества
Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом. [а]
Произведение, частное, мощность и корень
Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм p -й степени числа равен p, умноженному на логарифм самого числа; Логарифм корня p -й степени - это логарифм числа, деленного на p . В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма x = b log b (x) и / или y = b log b (y) в левые части.
Формула | Пример | |
---|---|---|
продукт | ||
частное | ||
мощность | ||
корень |
Смена базы
Логарифм log b ( x ) может быть вычислен из логарифмов x и b относительно произвольного основания k, используя следующую формулу:
Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы с основанием 10 и е . [7] Логарифмы по основанию b могут быть определены с использованием любого из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:
Для числа x и его логарифма log b ( x ) с неизвестным основанием b основание задается следующим образом:
Тождества гиперболических функций
Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества . Фактически, правило Осборна [8] гласит, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое, полностью расширив его с точки зрения интегральных степеней синусов и косинусов, заменив синус на sinh и косинус на cosh и поменяв знак каждого члена который содержит произведение 2, 6, 10, 14, ... shs. [9]
Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.
Логика и универсальная алгебра
В математической логике и универсальной алгебре тождество определяется как формула вида « ∀ x 1 , ..., x n . S = t », где s и t - термы без других свободных переменных, кроме x 1 , ..., х п . Префикс квантора («∀ x 1 , ..., x n .») Часто остается неявным, особенно в универсальной алгебре. Например, аксиомы о наличии моноида часто даются в качестве идентификационного набора
- { ∀ x , y , z . х * ( у * г ) = ( х * у ) * г , ∀ х . х * 1 = х , ∀ х . 1 * х = х },
или, сокращенно, как
- { x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , x * 1 = x , 1 * x = x }.
Некоторые авторы используют название «уравнение», а не «идентичность». [10] [11]
Смотрите также
Рекомендации
Заметки
- ^ Все утверждения в этом разделе можно найти в Shirali 2002 , Section 4, Downing 2003 , p. 275, или Кейт и Бхапкар 2009 , стр. 1-1, например.
Цитаты
- ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - идентичность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ а б «Математические слова: идентичность» . www.mathwords.com . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ а б «Идентичность - определение математического слова - Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ «Основные идентичности» . www.math.com . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ «Алгебраические тождества» . www.sosmath.com . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ Стапель, Элизабет. «Тригонометрические тождества» . Purplemath . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ Бернштейн, Стивен; Бернштейн, Рут (1999), Очерк теории Шаума и проблемы элементов статистики. I, Описательная статистика и вероятность , серия набросков Шаума, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл , ISBN 978-0-07-005023-5, п. 21 год
- ^ Осборн, Г. (1 января 1902 г.). «109. Мнемоника для гиперболических формул» . Математический вестник . 2 (34): 189. DOI : 10,2307 / 3602492 . JSTOR 3602492 .
- ^ Петерсон, Джон Чарльз (2003). Техническая математика с исчислением (3-е изд.). Cengage Learning. п. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Глава 26, страница 1155
- ^ Нахум Дершовиц ; Жан-Пьер Жуанно (1990). «Системы перезаписи». В Яне ван Леувене (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. B . Эльзевир. С. 243–320.
- ^ Вольфганг Векслер (1992). Вильфрид Брауэр ; Гжегож Розенберг ; Арто Саломаа (ред.). Универсальная алгебра для компьютерных ученых . Монографии EATCS по теоретической информатике. 25 . Берлин: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Здесь: Def.1 раздела 3.2.1, p.160.
Источники
- Даунинг, Дуглас (2003). Алгебра - легкий путь . Образовательная серия Бэрронса. ISBN 978-0-7641-1972-9.
- Катя, СК; Бхапкар, HR (2009). Основы математики . Технические публикации. ISBN 978-81-8431-755-8.
- Ширали, С. (2002). Приключения в решении проблем . Университеты Press. ISBN 978-81-7371-413-9.
Внешние ссылки
- The Encyclopedia of Equation Online энциклопедия математических тождеств (в архиве)
- Коллекция алгебраических тождеств