Встраивание

---

В математике вложение (или вложение ^[1] ) — это один экземпляр некоторой математической структуры, содержащейся в другом экземпляре, таком как группа , являющаяся подгруппой .

Когда говорят, что какой-то объект вложен в другой объект , вложение задается некоторой инъективной и сохраняющей структуру картой . Точное значение слова «сохранение структуры» зависит от вида математической структуры , экземплярами которой являются и . В терминологии теории категорий сохраняющее структуру отображение называется морфизмом .${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle е: Х \ стрелка вправо Y}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Y}$

Тот факт, что карта является вложением, часто обозначается использованием «стрелки с крючком» ( U+ 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮЧКОМ ); ^[2] таким образом: (С другой стороны, это обозначение иногда зарезервировано для карт включения .)${\ Displaystyle е: Х \ стрелка вправо Y}$ ${\ Displaystyle е: X \ hookrightarrow Y.}$

Учитывая и , возможно несколько различных вложений в . Во многих интересных случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение, подобное вложению натуральных чисел в целые числа , целых чисел в рациональные числа , рациональных чисел в действительные числа и действительных чисел в комплексные числа . . В таких случаях принято идентифицировать домен с его изображением , содержащимся в , так что .${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle е (Х)}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle е (Х) \ подмножество Y}$

В общей топологии вложение есть гомеоморфизм на свой образ. ^[3] Более явно, инъективное непрерывное отображение между топологическими пространствами и является топологическим вложением , если дает гомеоморфизм между и (где переносит топологию подпространства, унаследованную от ). Интуитивно тогда вложение позволяет нам рассматривать как подпространство . Каждое вложение инъективно и непрерывно . Всякое отображение, которое является инъективным, непрерывным и либо открытым , либо${\ Displaystyle е: X \ к Y}$ ${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$замкнуто — вложение; однако есть также вложения, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Последнее происходит, если образ не является ни открытым, ни замкнутым множеством в .${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$

---