Числовое познание - это раздел когнитивной науки , изучающий когнитивные, развивающие и нейронные основы чисел и математики . Как и многие другие направления когнитивных наук, это очень междисциплинарная тема, в которую входят исследователи в области когнитивной психологии , психологии развития , нейробиологии и когнитивной лингвистики . Эта дисциплина, хотя она может взаимодействовать с вопросами философии математики , в первую очередь связана с эмпирическими вопросами.
Темы, включенные в область численного познания, включают:
- Как животные, не являющиеся людьми, обрабатывают численность ?
- Как младенцы приобретают понимание чисел (и сколько из них является врожденным)?
- Как люди связывают языковые символы с числовыми величинами?
- Как эти способности лежат в основе нашей способности выполнять сложные вычисления?
- Каковы нейронные основы этих способностей как у людей, так и у других людей?
- Какие метафорические возможности и процессы позволяют нам расширить наше численное понимание на сложные области, такие как концепция бесконечности , бесконечно малого или концепция предела в исчислении?
- Эвристика в числовом познании
Сравнительные исследования
Разнообразные исследования показали, что животные, не относящиеся к человеку, включая крыс, львов и различные виды приматов, имеют приблизительное чувство числа (называемое « численностью ») (обзор см. В Dehaene 1997 ). Например, когда крысу дрессируют нажимать планку 8 или 16 раз, чтобы получить награду за еду, количество нажатий на планку будет приближаться к гауссовскому или нормальному распределению с пиком около 8 или 16 нажатий на планку. Когда крысы более голодны, их поведение при нажатии на планку становится более быстрым, поэтому, показывая, что максимальное количество нажатий на планку одинаково для сытых или голодных крыс, можно разделить время и количество нажатий на планку. Кроме того, у нескольких видов была показана система параллельной индивидуации , например, в случае гуппи, которые успешно различали 1 и 4 других особей. [1]
Точно так же исследователи установили скрытые динамики в африканской саванне, чтобы проверить естественное (необученное) поведение львов ( McComb, Packer & Pusey, 1994 ). Эти динамики могут воспроизводить несколько львиных криков, от 1 до 5. Если одна львица услышит, например, три крика неизвестных львов, она уйдет, а если она с четырьмя своими сестрами, они отправятся исследовать. Это говорит о том, что львы не только могут определить, когда они «превосходят численностью», но и могут делать это на основе сигналов от различных сенсорных модальностей, предполагая, что численность - это мультисенсорная концепция.
Исследования развития
Исследования психологии развития показали, что человеческие младенцы, как и животные, не являющиеся людьми, имеют приблизительное чувство числа. Например, в одном исследовании младенцам неоднократно предъявляли массивы (в одном блоке) из 16 точек. Был введен тщательный контроль, чтобы исключить информацию из «нечисловых» параметров, таких как общая площадь поверхности, яркость, окружность и так далее. После того, как младенцам показали множество дисплеев, содержащих 16 предметов, они привыкли или перестали так долго смотреть на дисплей. Затем младенцам был представлен дисплей, содержащий 8 предметов, и они дольше смотрели на новый дисплей.
Из-за многочисленных средств контроля, которые использовались для исключения нечисловых факторов, экспериментаторы пришли к выводу, что шестимесячные младенцы чувствительны к различиям между 8 и 16. Последующие эксперименты с использованием аналогичных методологий показали, что шестимесячные младенцы может различать числа, различающиеся соотношением 2: 1 (8 против 16 или 16 против 32), но не соотношением 3: 2 (8 против 12 или 16 против 24). Однако 10-месячные младенцы добиваются успеха как при соотношении 2: 1, так и при соотношении 3: 2, что свидетельствует о повышенной чувствительности к различиям в численности с возрастом (обзор этой литературы см. В Feigenson, Dehaene & Spelke 2004 ).
В другой серии исследований Карен Винн показала, что младенцы в возрасте пяти месяцев могут выполнять очень простые операции сложения (например, 1 + 1 = 2) и вычитания (3 - 1 = 2). Чтобы продемонстрировать это, Винн использовала парадигму «нарушения ожидания», в которой младенцам показывали (например) одну куклу Микки Мауса, идущую за ширмой, за которой следовала другая. Если при опускании экрана младенцам был представлен только один Микки («невозможное событие»), они выглядели дольше, чем если бы им показали двух Микки («возможное» событие). Дальнейшие исследования Карен Винн и Колин МакКринк показали, что, хотя способность младенцев вычислять точные результаты распространяется только на небольшое количество, младенцы могут вычислять приблизительные результаты более крупных событий сложения и вычитания (например, событий «5 + 5» и «10-5»). ).
Ведутся споры о том, сколько на самом деле эти детские системы содержат с точки зрения числовых концепций, исходя из классической дискуссии о природе и воспитании . Гельман и Галлистель 1978 предположили, что ребенок от рождения имеет понятие натурального числа, и ему нужно только сопоставить его со словами, используемыми в его языке. Кэри 2004 и Кэри 2009 не согласились, заявив, что эти системы могут кодировать большие числа только приблизительным образом , тогда как натуральные числа на основе языка могут быть точными. Считается, что без языка только числа от 1 до 4 имеют точное представление через параллельную систему индивидуации . Один многообещающий подход - посмотреть, могут ли культуры, в которых отсутствуют числовые слова, работать с натуральными числами. Результаты пока неоднозначны (например, Pica et al. 2004 ); Баттерворт и Рив 2008 , Баттерворт, Рив и Ллойд 2008 .
Нейровизуализация и нейрофизиологические исследования
Исследования с использованием нейровизуализации человека показали, что области теменной доли , включая интрапариетальную борозду (IPS) и нижнюю теменную долю (IPL), активируются, когда субъектов просят выполнить вычислительные задачи. Основываясь на нейровизуализации и нейропсихологии человека , Станислас Дехаене и его коллеги предположили, что эти две теменные структуры играют взаимодополняющие роли. Считается, что IPS содержит схемы, которые в основном участвуют в численной оценке ( Piazza et al. 2004 ), числовом сравнении ( Pinel et al. 2001 ; Pinel et al. 2004 ) и онлайн-расчетах или количественной обработке (часто проверяемой). с вычитанием), в то время как IPL, как полагают, участвует в механическом запоминании, таком как умножение (см. Dehaene 1997 ). Таким образом, пациент с поражением IPL может иметь возможность вычитать, но не умножать, и наоборот для пациента с поражением IPS. Помимо этих теменных областей, в расчетных задачах также задействованы области лобной доли . Эти активации накладываются на области, участвующие в языковой обработке, такие как область Брока, и области, участвующие в рабочей памяти и внимании . Кроме того, нижневисочная кора участвует в обработке числовых форм и символов, необходимых для вычислений с арабскими цифрами. [2] Более современные исследования выявили сети, связанные с задачами умножения и вычитания. Умножение часто изучается посредством механического запоминания и вербального повторения, и исследования нейровизуализации [3] показали, что умножение использует левостороннюю сеть нижней лобной коры и верхнюю среднюю височную извилину в дополнение к IPL и IPS. Вычитание больше учитывается с помощью количественных манипуляций и использования стратегии, больше полагаясь на правую IPS и заднюю теменную долю. [4]
Единичная нейрофизиология у обезьян также обнаружила нейроны во фронтальной коре и внутри теменной борозды, которые реагируют на числа. Андреас Нидер ( Nieder 2005 ; Nieder, Freedman & Miller 2002 ; Nieder & Miller 2004 harvnb error: множественные цели (2 ×): CITEREFNiederMiller2004 ( помощь ) ) обучил обезьян выполнять задачу «отложенного сопоставления с выборкой». Например, обезьяне может быть представлено поле из четырех точек, которое требуется сохранить в памяти после того, как убрать изображение. Затем, после периода задержки в несколько секунд, появляется второй дисплей. Если число на втором дисплее совпадает с числом на первом, обезьяна должна отпустить рычаг. Если он другой, обезьяна должна держать рычаг. Нейронная активность, зарегистрированная в течение периода задержки, показала, что нейроны внутри теменной борозды и лобной коры обладали «предпочтительной численностью», в точности как и предсказывалось поведенческими исследованиями. То есть определенное количество может сильно выстрелить для четырех, но менее сильно для трех или пяти, и даже меньше для двух или шести. Таким образом, мы говорим, что эти нейроны были «настроены» на определенные величины. Обратите внимание, что эти нейронные реакции следовали закону Вебера , как было продемонстрировано для других сенсорных измерений, и согласуются с зависимостью отношения, наблюдаемой для численного поведения животных и младенцев, кроме человека ( Nieder & Miller, 2003 ), серьезная ошибка: множественные цели (2 × ): CITEREFNiederMiller2003 ( справка ) .
Важно отметить, что, хотя у приматов мозг удивительно похож на человеческий, существуют различия в функциях, способностях и сложности. Они подходят для хороших подопытных для предварительного тестирования, но не показывают небольших различий, которые являются результатом разных эволюционных путей и окружающей среды. Однако в количественном отношении у них много общего. Как было идентифицировано у обезьян, нейроны, избирательно настроенные на количество, были идентифицированы в двусторонних интрапариетальных бороздах и префронтальной коре у людей. Пьяцца и его коллеги [5] исследовали это с помощью фМРТ, представив участникам наборы точек, в которых они должны были либо делать одинаковые-разные суждения, либо более крупные-меньшие суждения. Наборы точек состояли из основных чисел 16 и 32 точек с соотношениями 1,25, 1,5 и 2. Девиантные числа были включены в некоторые испытания в большем или меньшем количестве, чем базовые числа. Участники продемонстрировали паттерны активации, аналогичные тем, что были обнаружены у Нейдера [6] у обезьян. Находящийся в теменной доле головного мозга борозды и префронтальной коры головного мозга , а также участвует в ряде, общаться в аппроксимирующая число и было обнаружено в обоих видов , которые париетальные нейроны IPS имели короткие латентности стрельбы, в то время как фронтальные нейроны были больше стрельбы латентности. Это поддерживает идею о том, что число сначала обрабатывается в IPS и, при необходимости, затем передается связанным фронтальным нейронам в префронтальной коре для дальнейшей нумерации и применения. Люди отображали гауссовы кривые на кривых настройки приблизительной величины. Это соответствовало обезьянам, демонстрируя аналогично структурированный механизм у обоих видов с классическими кривыми Гаусса относительно все более отклоняющихся чисел с 16 и 32, а также привыкания. Результаты соответствовали закону Вебера , с уменьшением точности по мере уменьшения отношения чисел. Это подтверждает выводы, сделанные Нейдером [7] на обезьянах макак, и демонстрирует неопровержимые доказательства приблизительной числовой логарифмической шкалы [8] [9] у людей.
При установленном механизме аппроксимации несимволических чисел как у людей, так и у приматов необходимо дальнейшее исследование, чтобы определить, является ли этот механизм врожденным и присутствует ли у детей, что предполагает врожденную способность обрабатывать числовые стимулы так же, как люди рождаются готовыми. обрабатывать язык. Кантлон [10] и его коллеги решили исследовать это у 4-летних здоровых, нормально развивающихся детей параллельно со взрослыми. В этом эксперименте использовалась задача, аналогичная задаче Пьяццы [5] , без оценочных задач. Использовались точечные массивы разного размера и количества, с базовыми номерами 16 и 32. в каждом блоке было предъявлено 232 стимула с 20 отклоняющейся численностью с соотношением 2,0, как больше, так и меньше. Например, из 232 испытаний 16 точек были представлены разного размера и расстояния, но в 10 из этих испытаний было 8 точек, а в 10 из этих испытаний 32 точки, что составляло 20 девиантных стимулов. То же самое применимо к блокам с 32 в качестве базовой численности. Чтобы убедиться, что взрослые и дети проявляют внимание к стимулам, они ставили 3 точки фиксации на протяжении всего испытания, в которых участник должен был перемещать джойстик, чтобы двигаться вперед. Их результаты показали, что взрослые в эксперименте имели значительную активацию IPS при просмотре девиантных числовых стимулов, что соответствовало тому, что было ранее обнаружено в вышеупомянутом абзаце. У четырехлетних детей они обнаружили значительную активацию IPS на стимулы девиантного числа, напоминающую активацию, обнаруженную у взрослых. Были некоторые различия в активациях: взрослые демонстрировали более сильную двустороннюю активацию, тогда как 4-летние дети в основном демонстрировали активацию в своей правой IPS и активировали на 112 вокселов меньше, чем взрослые. Это говорит о том, что в возрасте 4 лет у детей уже есть установленный механизм нейронов в IPS, настроенный на обработку несимвольных числовых значений. Другие исследования углубили этот механизм у детей и обнаружили, что дети также представляют приблизительные числа в логарифмической шкале , что согласуется с утверждениями, сделанными Пьяцца для взрослых.
В исследовании Изарда [11] и его коллег изучались абстрактные представления чисел у младенцев с использованием другой парадигмы, чем предыдущие исследователи, из-за природы и стадии развития младенцев. Для младенцев они исследовали абстрактное число как со слуховыми, так и с визуальными стимулами, используя парадигму времени взгляда. Использовались наборы 4 на 12, 8 на 16 и 4 на 8. Слуховые стимулы состояли из тонов разной частоты с заданным количеством тонов, с некоторыми отклонениями в испытаниях, где тоны были короче, но более многочисленными или более длинными и менее многочисленными, чтобы учесть продолжительность и ее потенциальные затруднения. После того, как слуховые стимулы были представлены в течение 2 минут ознакомления, визуальные стимулы были представлены в виде конгруэнтного или несовместимого набора разноцветных точек с чертами лица. они оставались на экране, пока младенец не отвел взгляд. Они обнаружили, что младенцы дольше смотрели на стимулы, соответствующие слуховым тонам, предполагая, что система для приближения несимволических чисел, даже в разных модальностях, присутствует в младенчестве. Что важно отметить в этих трех конкретных исследованиях несимволической численности на людях, так это то, что она присутствует в младенчестве и развивается на протяжении всей жизни. Оттачивание их способностей к приближению и распознаванию чисел, на что указывает улучшение дробей Вебера с течением времени, и использование левой IPS для обеспечения более широкой базы для обработки вычислений и перечислений, подтверждают утверждения, сделанные для механизма обработки несимволических чисел. в человеческом мозгу.
Отношения между числом и другими когнитивными процессами
Есть свидетельства того, что числовое познание тесно связано с другими аспектами мышления, особенно с пространственным познанием. [12] Одно свидетельство получено в результате исследований синестетов с числовой формой . [13] Такие люди сообщают, что числа мысленно представлены в определенной пространственной структуре; другие воспринимают числа как воспринимаемые объекты, которыми можно визуально манипулировать для облегчения вычислений. Поведенческие исследования еще больше укрепляют связь между числовым и пространственным познанием. Например, участники быстрее реагируют на большие числа, если они отвечают на правой стороне пространства, и быстрее на меньшие числа, когда на левой - так называемая «пространственно-числовая ассоциация кодов ответа» или эффект SNARC . [14] Этот эффект варьируется в зависимости от культуры и контекста, [15] однако, и некоторые исследования даже начали сомневаться в том, отражает ли SNARC внутреннюю ассоциацию числа и пространства, [16] вместо этого ссылаясь на решение стратегических проблем или более общий когнитивный механизм, такой как концептуальная метафора . [17] [18] Более того, нейровизуализационные исследования показывают, что связь между числом и пространством также проявляется в активности мозга. Например, области теменной коры демонстрируют общую активацию как для пространственной, так и для числовой обработки. [19] Эти различные направления исследований предполагают сильную, но гибкую связь между числовым и пространственным познанием.
Модификация обычного десятичного представления была предложена Джоном Колсоном . Смысл дополнения , отсутствующий в обычной десятичной системе, выражается представлением цифр со знаком .
Эвристика в числовом познании
Несколько потребительских психологов также изучали эвристику, которую люди используют в числовом познании. Например, Томас и Морвиц (2009) рассмотрели несколько исследований, показывающих, что три эвристики, которые проявляются во многих повседневных суждениях и решениях - привязка, репрезентативность и доступность - также влияют на числовое познание. Они идентифицируют проявления этих эвристик в числовом познании как: эффект привязки левой цифры, эффект точности и эффект простоты вычислений соответственно. Эффект левой цифры относится к наблюдению, что люди склонны ошибочно оценивать разницу между 4,00 и 2,99 доллара как большую, чем разницу между 4,01 и 3,00 долларами, из-за привязки к крайним левым цифрам. Эффект точности отражает влияние репрезентативности рисунков цифр на оценки величины. Большие величины обычно округляются и поэтому имеют много нулей, тогда как меньшие величины обычно выражаются точными числами; поэтому полагаясь на репрезентативность цифровых шаблонов, люди могут ошибочно считать цену в 391 534 доллара более привлекательной, чем цена в 390 000 долларов. Эффект простоты вычислений показывает, что суждения о величине основаны не только на результатах мысленных вычислений, но также на их легкости или сложности на собственном опыте. Обычно легче сравнивать две разные величины, чем две одинаковые величины; Чрезмерное использование этой эвристики может привести к тому, что люди неправильно оценят разницу как большую для пар с более простыми вычислениями, например, 5,00 минус 4 доллара США, чем для пар со сложными вычислениями, например 4,97 доллара минус 3,96 доллара. [20]
Этнолингвистическая дисперсия
Счетная способность коренных народов изучается для выявления универсальных аспектов числового познания человека. Известные примеры включают людей пираха , у которых нет слов для обозначения конкретных чисел, и людей мундуруку, у которых есть только числовые слова до пяти. Взрослые особи пираха не могут отметить точное количество счетчиков для стопки орехов, содержащей менее десяти штук. Антрополог Наполеон Шаньон несколько десятилетий изучал яномами в полевых условиях. Он пришел к выводу, что им не нужно считать в повседневной жизни. Их охотники отслеживают отдельные стрелы с теми же умственными способностями, которые они используют для распознавания членов своей семьи. Не существует известных культур охотников-собирателей, у которых есть система счета на их языке. Умственные и языковые способности к математике связаны с развитием сельского хозяйства, а вместе с ним и большим количеством неотличимых предметов. [21]
Выход для исследований
Журнал численного познания является открытым доступом, бесплатный к публикации, интернет-журнал только выпускному специально для исследований в области численного познания. Ссылка на журнал
Смотрите также
- Добавление
- Приблизительная система счисления
- Подсчет
- Оценка
- Эффект адаптации к численности
- Порядковая числовая компетенция
- Система параллельной индивидуации
- Проблема крапчатой курицы
- Субитизация
- Вычитание
Заметки
- ^ Agrillo, Кристиан (2012). «Доказательства двух аналогичных числовых систем у людей и гуппи» . PLOS ONE . 7 (2): e31923. Bibcode : 2012PLoSO ... 731923A . DOI : 10.1371 / journal.pone.0031923 . PMC 3280231 . PMID 22355405 .
- ^ Пьяцца, Мануэла; Эгер, Эвелин (2016). «Нейронные основы и функциональная специфика представлений чисел». Нейропсихология . 83 : 257–273. DOI : 10.1016 / j.neuropsychologia.2015.09.025 . PMID 26403660 . S2CID 22957569 .
- ^ Кэмпбелл, Джейми ID; Сюэ, Цилинь (2001). «Когнитивная арифметика в разных культурах» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: Общие . 130 (2): 299–315. DOI : 10.1037 / 0096-3445.130.2.299 . PMID 11409105 .
- ^ Barrouillet, P .; Mignon, M .; Тевено, К. (2008). «Стратегии решения задач на вычитание у детей» . Журнал экспериментальной детской психологии . 99 (4): 233–251. DOI : 10.1016 / j.jecp.2007.12.001 . PMID 18241880 .
- ^ а б Пьяцца, Мануэла; Изар, Вероник; Пинель, Филипп; Бихан, Денис Ле; Дехайн, Станислав (2004). "Кривые настройки для приблизительной численности в человеческой интрапериетальной борозде". Нейрон . 44 (3): 547–555. DOI : 10.1016 / j.neuron.2004.10.014 . PMID 15504333 . S2CID 6288232 .
- ^ Нидер, Андреас; Миллер, Эрл К. (2003). «Кодирование познавательной величины». Нейрон . 37 (1): 149–157. DOI : 10.1016 / s0896-6273 (02) 01144-3 . PMID 12526780 . S2CID 5704850 .
- ^ Нидер, Андреас; Миллер, Эрл К. (2004-05-11). «Теменно-лобная сеть для визуальной числовой информации у обезьяны» . Труды Национальной академии наук . 101 (19): 7457–7462. Bibcode : 2004PNAS..101.7457N . DOI : 10.1073 / pnas.0402239101 . ISSN 0027-8424 . PMC 409940 . PMID 15123797 .
- ^ Бертелетти, Илария; Луканжели, Даниэла; Пьяцца, Мануэла; Дехайн, Станислав; Зорзи, Марко (2010). «Численное оценивание у дошкольников» . Психология развития . 46 (2): 545–551. DOI : 10.1037 / a0017887 . PMID 20210512 . S2CID 8496112 .
- ^ Ханум, Саида; Ханиф, Рубина; Spelke, Elizabeth S .; Бертелетти, Илария; Хайд, Дэниел С. (2016-10-20). «Влияние практики использования небуквенных приблизительных чисел на способности пакистанских детей к символическим числам» . PLOS ONE . 11 (10): e0164436. Bibcode : 2016PLoSO..1164436K . DOI : 10.1371 / journal.pone.0164436 . ISSN 1932-6203 . PMC 5072670 . PMID 27764117 .
- ^ Кантлон, Джессика Ф .; Браннон, Элизабет М .; Картер, Элизабет Дж .; Пелфри, Кевин А. (11 апреля 2006 г.). «Функциональная визуализация числовой обработки у взрослых и детей 4-летнего возраста» . PLOS Биология . 4 (5): e125. DOI : 10.1371 / journal.pbio.0040125 . ISSN 1545-7885 . PMC 1431577 . PMID 16594732 .
- ^ Изар, Вероник; Санн, Корали; Spelke, Elizabeth S .; Стри, Арлетт (2009-06-23). «Новорожденные младенцы воспринимают абстрактные числа» . Труды Национальной академии наук . 106 (25): 10382–10385. Bibcode : 2009PNAS..10610382I . DOI : 10.1073 / pnas.0812142106 . ISSN 0027-8424 . PMC 2700913 . PMID 19520833 .
- ^ Хаббард, Эдвард М .; Пьяцца, Мануэла; Пинель, Филипп; Дехаене, Станислав (июнь 2005 г.). «Взаимодействие числа и пространства в теменной коре». Обзоры природы Неврология . 6 (1–2): 435–448. DOI : 10.1038 / nrn1684 . PMID 15928716 . S2CID 1465072 .
- ^ Гальтон, Фрэнсис (25 марта 1880 г.). «Визуализированные цифры» . Природа . 21 (543): 494–495. Bibcode : 1880Natur..21..494G . DOI : 10.1038 / 021494e0 . S2CID 4074444 .
- ^ Дехайн, Станислав; Боссини, Серж; Жиро, Паскаль (сентябрь 1993 г.). «Мысленное представление о четности и числовой величине». Журнал экспериментальной психологии . 122 (3): 371–396. DOI : 10.1037 / 0096-3445.122.3.371 .
- ^ Фишер, Мартин Х .; Миллс, Ричард А .; Шаки, Самуэль (апрель 2010 г.). «Как приготовить SNARC: размещение чисел в тексте быстро меняет пространственно-числовые ассоциации». Мозг и познание . 72 (3): 333–336. DOI : 10.1016 / j.bandc.2009.10.010 . PMID 19917517 . S2CID 19626981 .
- ^ Нуньес, Рафаэль; Doan, D .; Никулина, А. (август 2011 г.). «Сжатие, нанесение ударов и вокализация: является ли представление чисел в основе своей пространственным?». Познание . 120 (2): 225–35. DOI : 10.1016 / j.cognition.2011.05.001 . PMID 21640338 . S2CID 16362508 .
- ^ Уолш, Винсент (ноябрь 2003 г.). «Теория величины: общие корковые метрики времени, пространства и количества». Тенденции в когнитивных науках . 7 (11): 483–488. DOI : 10.1016 / j.tics.2003.09.002 . PMID 14585444 . S2CID 1761795 .
- ^ Нуньес, Рафаэль (2009). «Числа и арифметика: ни жестко, ни там». Биологическая теория . 4 (1): 68–83. CiteSeerX 10.1.1.610.6016 . DOI : 10.1162 / biot.2009.4.1.68 . S2CID 1707771 .
- ^ Dehaene, Станислас (1992). «Разновидности числовых способностей». Познание . 44 (1–2): 1–42. DOI : 10.1016 / 0010-0277 (92) 90049-N . PMID 1511583 . S2CID 24382907 .
- ^ Томас, Манодж и Вики Морвиц (2009), «Эвристика в числовом познании: последствия для ценообразования», в Справочнике по исследованиям в ценообразовании,
- ^ Пинкер, Стивен (2008). Материал мысли: язык как окно в человеческую природу . Книги пингвинов . ISBN 978-0143114246. Проверено 8 ноября 2012 года .
Рекомендации
- Баттерворт, Б .; Рив, R. (2008), "Словесное Counting и пространственные стратегии в численных задачах: Данные из коренных Австралии" , философская психология , 4 (21): 443-457, DOI : 10,1080 / 09515080802284597 , S2CID 2662436
- Баттерворт, Брайан ; Рив, Роберт; Рейнольдс, Фиона; Ллойд, Делит (2008). «Числовая мысль со словами и без слов: свидетельства детей коренных австралийцев» . Труды Национальной академии наук . 105 (35): 13179–13184. Bibcode : 2008PNAS..10513179B . DOI : 10.1073 / pnas.0806045105 . PMC 2527348 . PMID 18757729 .
- Кэри, С. (2004), "Бутстрапирование и происхождение понятия" , Дедал , 133 : 59-68, DOI : 10,1162 / 001152604772746701 , S2CID 54493789
- Кэри, S. (2009), "Где наш номер понятия происходят из", журнал философии , 106 (4): 220-254, DOI : 10.5840 / jphil2009106418 , PMC 3489488 , PMID 23136450
- Дехейн, С. (1997), Чувство числа: как разум создает математику , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN. 978-0-19-513240-3
- Feigenson, L .; Dehaene, S .; Spelke, Е. (2004), "Основные системы числа", Тенденции когнитивных наук , 8 (7): 307-314, DOI : 10.1016 / j.tics.2004.05.002 , PMID 15242690 , S2CID 17313189
- Гельман, Р .; Галлистель, Г. (1978), Понимание числа ребенком , Cambridge Mass: Harvard University Press
- Лакофф, Г .; Нуньес, Р. Э. (2000), Откуда пришла математика , Нью-Йорк: Основные книги., ISBN 978-0-465-03770-4
- McComb, K .; Packer, C .; Пуси, A. (1994), "ревущие и численная оценка в конкурсах между группами женщин львы, пантеры Лео " , Поведение животных , 47 (2): 379-387, DOI : 10,1006 / anbe.1994.1052 , S2CID 53183852
- Ингельхайм, A. (2005), "Counting на нейронах: нейробиологии численной компетенции", Nature Reviews Neuroscience , 6 (3): 177-190, DOI : 10.1038 / nrn1626 , PMID 15711599 , S2CID 14578049
- Nieder, A .; Фридман, диджей; Миллер, Е. К. (2002), "Представление количества визуальных элементов в приматах префронтальной коры головного мозга" , Science , 297 (5587): 1708-1711, Bibcode : 2002Sci ... 297.1708N , DOI : 10.1126 / science.1072493 , PMID 12215649 , S2CID 20871267
- Nieder, A .; Миллер, Е. К. (2003), "Кодирование когнитивной величины: Сжатый масштабирование числовой информации в предстоятель префронтальной коры головного мозга", Neuron , 37 (1): 149-157, DOI : 10.1016 / s0896-6273 (02) 01144-3 , PMID 12526780 , S2CID 5704850
- Nieder, A .; Миллер, EK (2004), «Теменно-лобная сеть для визуальной числовой информации у обезьяны», Proceedings of the National Academy of Sciences , 101 (19): 7457–7462, Bibcode : 2004PNAS..101.7457N , doi : 10.1073 /pnas.0402239101 , PMC 409940 , PMID 15123797
- Piazza, M .; Изард, В .; Pinel, P .; Le Bihan, D .; Дехайн, С. (2004), «Кривые настройки для приблизительной численности внутри теменной борозды человека», Neuron , 44 (3): 547–555, doi : 10.1016 / j.neuron.2004.10.014 , PMID 15504333 , S2CID 6288232
- Pica, P .; Lemer, C .; Изард, В .; Деан, S. (2004), "Exact приблизительной Арифметика в качестве туземец группы амазонских" , Science , 306 (5695): 499-503, Bibcode : 2004Sci ... 306..499P , DOI : 10.1126 / science.1102085 , PMID 15486303 , S2CID 10653745
- Pinel, P .; Dehaene, S .; Ривьер, Д .; Ле Бьян, Д. (2001), "Модуляция теменной активации семантического расстояния в задаче сравнения чисел", NeuroImage , 14 (5): 1013-1026, CiteSeerX 10.1.1.5.6247 , DOI : 10,1006 / nimg.2001.0913 , PMID 11697933 , S2CID 17633857
- Pinel, P .; Piazza, M .; Le Bihan, D .; Дехайн, С. (2004), «Распределенные и перекрывающиеся церебральные представления числа, размера и яркости во время сравнительных суждений», Neuron , 41 (6): 983–993, doi : 10.1016 / s0896-6273 (04) 00107-2 , PMID 15046729 , S2CID 9372570