В математике , открытые множества являются обобщением из открытых интервалов в реальной линии. В метрическом пространстве, то есть когда расстояние определено, открытые множества - это множества, которые с каждой точкой P содержат все точки, достаточно близкие к P (то есть все точки, расстояние до P которых меньше некоторого значения в зависимости от P ).
В более общем смысле, открытые множества определяются как члены данного набора подмножеств данного набора, набора, который имеет свойство содержать каждое объединение своих членов, каждое конечное пересечение его членов, пустой набор и весь набор. сам. Набор, в котором задан такой набор, называется топологическим пространством , а набор называется топологией . Эти условия очень свободные и дают огромную гибкость в выборе открытых наборов. Например, каждое подмножество может быть открытым ( дискретная топология ), или может быть открытым не один набор, кроме самого пространства и пустого набора ( недискретная топология ).
На практике, однако, открытые множества обычно выбираются, чтобы обеспечить понятие близости, аналогичное метрическим пространствам, без определения меры расстояния. В частности, топология позволяет определять такие свойства, как непрерывность , связность и компактность , которые изначально были определены с помощью расстояния.
Наиболее распространенный случай топологии без какого-либо расстояния - это многообразия , которые представляют собой топологические пространства, которые вблизи каждой точки напоминают открытое множество евклидова пространства , но на которых в целом расстояние не определено. Менее интуитивные топологии используются в других разделах математики; например, топология Зарисского , которая является фундаментальной в алгебраической геометрии и теории схем .
Мотивация
Интуитивно открытый набор предоставляет способ различать две точки . Например, если около одной из двух точек в топологическом пространстве существует открытое множество, не содержащее другую (отличную) точку, эти две точки называются топологически различимыми . Таким образом, можно говорить о том, находятся ли две точки или, в более общем смысле, два подмножества топологического пространства «рядом», без конкретного определения расстояния . Следовательно, топологические пространства можно рассматривать как обобщение пространств, снабженных понятием расстояния, которые называются метрическими пространствами .
В наборе всех действительных чисел есть естественная евклидова метрика; то есть функция, которая измеряет расстояние между двумя действительными числами: d ( x , y ) = | х - у | . Следовательно, имея действительное число x , можно говорить о множестве всех точек, близких к этому действительному числу; то есть в пределах ε от x . По сути, точки в пределах ε от x аппроксимируют x с точностью до степени ε . Обратите внимание, что ε > 0 всегда, но по мере того, как ε становится все меньше и меньше, получаются точки, которые аппроксимируют x с все большей и большей степенью точности. Например, если x = 0 и ε = 1, точки в пределах ε от x являются точками интервала (−1, 1); то есть набор всех действительных чисел от -1 до 1. Однако при ε = 0,5 точки в пределах ε от x - это в точности точки (-0,5, 0,5). Ясно, что эти точки аппроксимируют x с большей точностью, чем при ε = 1.
Предыдущее обсуждение показывает, что для случая x = 0 можно приближать x к все более и более высокой степени точности, определяя ε все меньше и меньше. В частности, множества вида (- ε , ε ) дают нам много информации о точках, близких к x = 0. Таким образом, вместо того, чтобы говорить о конкретной евклидовой метрике, можно использовать множества для описания точек, близких к x . Эта новаторская идея имеет далеко идущие последствия; в частности, определяя разные наборы наборов, содержащих 0 (отличных от наборов (- ε , ε )), можно получить разные результаты относительно расстояния между 0 и другими действительными числами. Например, если мы должны были определить R как только такой набор для «измерения расстояния», все точки близки к 0 , так как существует только одна возможная степень точности можно достичь при аппроксимации 0: будучи членом R . Таким образом, мы обнаруживаем, что в некотором смысле каждое действительное число находится на расстоянии 0 от 0. В этом случае может помочь думать о мере как о двоичном условии: все объекты в R одинаково близки к 0, а любой элемент, который не в R не близко к 0.
В общем, один относится к семейству наборов, содержащих 0, используемых для приближения 0, как базис окрестности ; член этого базиса соседства называется открытым множеством . Фактически, можно обобщить эти понятия на произвольное множество ( X ); а не просто реальные числа. В этом случае, учитывая точку ( x ) этого набора, можно определить набор наборов "вокруг" (то есть содержащих) x , используемых для аппроксимации x . Конечно, эта коллекция должна удовлетворять определенным свойствам (известным как аксиомы ), иначе у нас может не быть четко определенного метода измерения расстояния. Например, каждая точка в X должна приближать x с некоторой степенью точности. Таким образом, X должен быть в этом семействе. Как только мы начинаем определять «меньшие» множества, содержащие x , мы склонны приближать x с большей степенью точности. Имея это в виду, можно определить остальные аксиомы, которым должно удовлетворять семейство множеств относительно x .
Определения
Здесь даны несколько определений в порядке возрастания технических характеристик. Каждый из них является частным случаем следующего.
Евклидово пространство
Подмножество из евклидова п -пространства R п является открытым , если для каждой точки х в, Существует положительное действительное число е ( в зависимости от й ) таким образом, что точка в R п принадлежиткак только его евклидово расстояние от x меньше ε . [1] Аналогично, подмножествоиз R п является открытым , если каждая точкацентр открытого шара, содержащегося в
Метрическое пространство
Подмножество U из метрического пространства ( М , д ) называется открытой , если для любой точки х в U , то существует вещественное число ε > 0 такое , что для любой точкиудовлетворяющих д ( х , у ) < ε , у также принадлежит U . Эквивалентное U является открытым , если каждая точка U имеет окрестность , содержащуюся в U .
Это обобщает пример евклидова пространства, поскольку евклидово пространство с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.
Топологическое пространство
Топологическое пространство представляет собой набор , на котором топология определена, которая состоит из набора подмножеств , которые , как говорят, открыто , и удовлетворяют аксиомы , приведенные ниже.
Точнее, пусть быть набором. Семья подмножеств это топология на, а элементы - открытые множества топологии, если
- а также (оба а также открытые наборы)
- тогда (любое объединение открытых множеств является открытым множеством)
- тогда (любое конечное пересечение открытых множеств является открытым множеством)
Бесконечные пересечения открытых множеств не обязательно должны быть открытыми. Например, пересечение всех интервалов вида где положительное целое число, это множество который не открыт в реальной строке.
Метрическое пространство - это топологическое пространство, топология которого состоит из совокупности всех подмножеств, являющихся объединениями открытых шаров. Однако есть топологические пространства, которые не являются метрическими пространствами.
Специальные типы открытых сетов
Clopen-наборы и неоткрытые и / или незамкнутые наборы
Набор может быть открытым, закрытым, и тем, и другим, или ни одним из них. В частности, открытые и закрытые множества не исключают друг друга, что означает, что в общем случае подмножество топологического пространства может одновременно быть как открытым подмножеством, так и закрытым подмножеством. Такие подмножества известны как закрытые множества . Явно подмножество топологического пространства называется закрытым, если оба и его дополнение являются открытыми подмножествами ; или, что то же самое, если а также
В любом топологическом пространстве пустой набор и набор сам всегда открыт. Эти два множества являются наиболее известными примерами открыто-открытых подмножеств, и они показывают, что открыто-открытые подмножества существуют в каждом топологическом пространстве. Чтобы понять почему открыто, начнем с того, что вспомним, что множества а также по определению всегда являются открытыми подмножествами (из ). Также по определению подмножествоназывается замкнутым, если (и только если) его дополнение в который является набором - открытое подмножество. Поскольку дополнение (в) всего множества является пустым набором (т.е. ), которое является открытым подмножеством, это означает, что является замкнутым подмножеством (по определению «замкнутое подмножество»). Следовательно, независимо от того, какая топология размещена на все пространство одновременно является как открытым подмножеством, так и закрытым подмножеством ; сказал иначе,это всегда открыто - замкнутое подмножество Поскольку дополнение пустого множества равно что является открытым подмножеством, то же рассуждение можно использовать для вывода, что также является закрытым подмножеством
Рассмотрим реальную линию наделенный своей обычной евклидовой топологией , открытые множества которой определяются следующим образом: каждый интервал действительных чисел принадлежит топологии, каждое объединение таких интервалов, например принадлежит топологии, и, как всегда, оба а также принадлежат к топологии.
- Интервал открыт в потому что он принадлежит евклидовой топологии. Если если бы иметь открытое дополнение, это означало бы по определению, что были закрыты. Ноне имеет открытого дополнения; его дополнениекоторое не принадлежит евклидовой топологии, поскольку не является объединением открытых интервалов вида Следовательно, это пример открытого, но не закрытого набора.
- По аналогичному рассуждению интервал является закрытым подмножеством, но не открытым подмножеством.
- Наконец, поскольку ни ни его дополнение принадлежит евклидовой топологии (поскольку ее нельзя записать как объединение интервалов вида ), это значит, что не является ни открытым, ни закрытым.
Если топологическое пространство наделен дискретной топологией (так что по определению каждое подмножество открыто), то каждое подмножество является закрытым подмножеством. Для более сложного примера, напоминающего дискретную топологию, предположим, чтоявляется ультрафильтром на непустом множестве Тогда союз топология на со свойством, что каждое непустое собственное подмножество из является либо открытым подмножеством, либо закрытым подмножеством, но не обоими; то есть, если (где ), то верно ровно одно из следующих двух утверждений: либо (1) или иначе, (2) Другими словами , каждое подмножество открыто или закрыто, но единственные подмножества, которые являются обоими (т.е. закрытыми), являются а также
Обычные открытые наборы
Подмножество топологического пространства называется регулярным открытым множеством, если или, что то же самое, если где (соотв. ) обозначает топологическую границу (соответственно внутреннюю , замыкание ) в Топологическое пространство, для которого существует база, состоящая из регулярных открытых множеств, называется полуправильным пространством . Подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда его дополнение в - регулярное замкнутое множество, где по определению подмножество из называется регулярным замкнутым множеством, если или, что то же самое, если Каждое регулярное открытое множество (соотв. Регулярное замкнутое множество) является открытым подмножеством (соответственно замкнутое подмножество) , хотя в общем случае , [примечание 1] , что , обратные являются не так.
Характеристики
Объединение любого числа открытых множеств, или бесконечно много открытых множеств открыто. [2] пересечение конечного числа открытых множеств открыто. [2]
Дополнение открытого множества ( по отношению к пространству , что топология определяется на) называется замкнутое множество . Набор может быть как открытым, так и закрытым ( закрытый набор ). Пустое множество и полное пространство примеры множеств, которые одновременно являются открытыми и закрытыми. [3]
Использует
Открытые множества имеют фундаментальное значение в топологии . Эта концепция требуется для определения и осмысления топологического пространства и других топологических структур, которые имеют дело с понятиями близости и сходимости для таких пространств, как метрические пространства и равномерные пространства .
Каждое подмножество A топологического пространства X содержит (возможно, пустое) открытое множество; максимальная (упорядоченные по включению) такое открытое множество называется интерьер из A . Он может быть построен, принимая объединение всех открытых множеств , содержащихся в A .
функция между двумя топологическими пространствами а также является непрерывным , если прообраз каждого открытого множества в открыт в Функция называется открытым, если образ каждого открытого множества в открыт в
Открытое множество на реальной прямой обладает тем свойством, что оно является счетным объединением непересекающихся открытых интервалов.
Примечания и предостережения
«Открытый» определяется относительно конкретной топологии.
Открытость набора зависит от рассматриваемой топологии . Сделав выбор в пользу большей краткости вместо большей ясности , мы ссылаемся на множество X, наделенное топологиейкак «топологическое пространство X », а не как «топологическое пространство", несмотря на то, что все топологические данные содержатся в Если в одном наборе есть две топологии, набор U , открытый в первой топологии, может не открыться во второй топологии. Например, если X - любое топологическое пространство, а Y - любое подмножество X , множеству Y может быть присвоена собственная топология (называемая «топологией подпространства»), определяемая следующим образом: «множество U открыто в топологии подпространства на Y, если и только если U является пересечением Y с открытым множеством из исходной топологии на X ". Это потенциально вводит новые открытые множества: если V открыто в исходной топологии на X , ноне открыт в исходной топологии на X , тооткрыто в топологии подпространства на Y .
В качестве конкретного примера этого, если U определяется как множество рациональных чисел в интервалетогда U - открытое подмножество рациональных чисел , но не действительных чисел . Это происходит потому , что , когда окружающее пространство рациональных чисел, для каждой точку х в U , существует такое положительное число таким образом, что все рациональные точки в пределах расстояния а от й также в U . С другой стороны, когда окружающее пространство является действительным, тогда для каждой точки x в U не существует положительного a, такого, что все реальные точки на расстоянии a от x находятся в U (поскольку U не содержит нерациональных чисел).
Обобщения открытых множеств
Через, будет топологическим пространством.
Подмножество топологического пространства называется:
- α-открытый, если, и дополнение такого множества называется α-замкнутым . [4]
- preopen , почти открытый или локально плотный, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- [5]
- Есть подмножества такой, что открыт в является плотное подмножество из а также [5]
- Существует открытый (в ) подмножество такой, что плотное подмножество [5]
Дополнение к предварительно открытому набору называется предварительно закрытым .
- б-открыть если. Дополнение к b-открытому множеству называется b-замкнутым . [4]
- β-открытый или полуоткрытый, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- [4]
- является регулярным замкнутым подмножеством [5]
- Существует предварительно открытое подмножество из такой, что [5]
Дополнение к β-открытому множеству называется β-замкнутым .
- последовательно открыт, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Всякий раз, когда последовательность в сходится к некоторой точке тогда эта последовательность в конечном итоге находится в В явном виде это означает, что если последовательность в и если есть какие-то таково, что в тогда в конечном итоге в (то есть существует какое-то целое число так что если тогда ).
- равна его последовательной внутренней части в который по определению является множеством
Дополнение к последовательно открытому множеству называется последовательно замкнутым . Подмножество последовательно замыкается в если и только если равно его последовательному замыканию , которое по определению является множеством состоящий из всех для которого существует последовательность в что сходится к (в ).
- почти открытый и, как говорят, обладает свойством Бэра, если существует открытое подмножество такой, что это скудное подмножество , гдеобозначает симметричную разность . [6]
- Подмножество считается обладающим свойством Бэра в узком смысле, если для каждого подмножества из Перекресток обладает свойством Бэра относительно . [7]
- полуоткрытый, если. Дополнение вполуоткрытого множества называется полузамкнутым множеством. [8]
- Пол-замыкание (в) подмножества обозначается является пересечением всех полузамкнутых подмножеств которые содержат как подмножество. [8]
- полуоткрыто, если для каждого существует некоторое полуоткрытое подмножество из такой, что [8]
- θ-открытый (соответственно δ-открытый ), если его дополнение вявляется θ-замкнутым (соответственно, δ-замкнутым ) множеством, где по определению подмножествоназывается θ-замкнутым (соответственно, δ-замкнутым ), если он равен множеству всех своих θ-кластерных точек (соответственно, δ-кластерных точек). Точканазывается точкой θ-кластера (соответственно, точкой δ-кластера ) подмножества если для каждого открытого района из в Перекресток не пусто (соотв. не пусто). [8]
Используя тот факт, что
- а также
всякий раз, когда два подмножества удовлетворить можно сделать следующие выводы:
- Каждое α-открытое подмножество является полуоткрытым, полуоткрытым, предварительно открытым и b-открытым.
- Каждое b-открытое множество полуоткрыто (т. Е. Β-открыто).
- Каждый набор предварительного открытия бывает b-открытым и полуоткрытым.
- Каждый полуоткрытый набор бывает b-открытым и полуоткрытым.
Более того, подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда оно предварительно открыто и полузакрыто. [5] Пересечение α-открытого множества и полуоткрытого (соответственно, полуоткрытого, предварительно открытого, b-открытого) множества является полуоткрытым (соответственно, полуоткрытым, предварительно открытым, b-открытым) множеством. [5] Предварительно открытые наборы не обязательно должны быть полуоткрытыми, а полуоткрытые наборы не должны быть предварительно открытыми. [5]
Произвольные объединения предварительно открытых (соответственно α-открытых, b-открытых, полуоткрытых) множеств снова являются предварительно открытыми (соответственно, α-открытыми, b-открытыми, полуоткрытыми). [9] Однако конечные пересечения предварительно открытых множеств не обязательно должны быть предварительно открытыми. [8] Множество всех α-открытых подмножеств пространства формирует топологию на это лучше, чем[4]
Топологическое пространство является Хаусдорф тогда и только тогда , когда каждое компактного подпространства вθ-замкнуто. [8] Пробелбудет полностью отключено , если и только если каждое регулярное замкнутое подмножество preopen или , что эквивалентно, если каждое полуоткрытое подмножество preopen. Более того, пространство полностью отключено тогда и только тогда, когда закрытие каждого предварительно открытого подмножества открыто. [4]
Смотрите также
- Почти открытая карта - карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.
- База (топология) - набор открытых множеств, достаточный для определения топологии.
- Clopen set - подмножество одновременно открытого и закрытого
- Замкнутое множество - дополнение открытого подмножества топологического пространства. Он содержит все «близкие» к нему точки.
- Локальный гомеоморфизм - непрерывное открытое отображение, которое вокруг каждой точки в своей области определения имеет окрестность, на которой оно ограничивается гомоморфизмом.
- Открыть карту
- Подбаза - набор подмножеств, закрытие которых конечными пересечениями образуют основу топологии.
Заметки
- ^ Одно исключение, если ifнаделен дискретной топологией , и в этом случае каждое подмножество является как регулярным открытым подмножеством, так и регулярным замкнутым подмножеством
Рекомендации
- ^ Уэно, Кендзи; и другие. (2005). «Рождение многообразий». Математический дар: взаимодействие топологии, функций, геометрии и алгебры . 3 . Американское математическое общество. п. 38. ISBN 9780821832844.
- ^ а б Тейлор, Джозеф Л. (2011). «Аналитические функции». Комплексные переменные . Салли Серии. Американское математическое общество. п. 29. ISBN 9780821869017.
- ^ Кранц, Стивен Г. (2009). «Основы». Основы топологии с приложениями . CRC Press. С. 3–4. ISBN 9781420089745.
- ^ а б в г д Харт 2004 , стр. 9.
- ^ Б с д е е г ч Hart 2004 , стр. 8-9.
- ^ Окстоби, Джон К. (1980), «4. Свойство Бэра», « Мера и категория» , «Тексты для выпускников по математике», 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.
- ^ Куратовский, Казимеж (1966), Топология. Vol. 1 , Academic Press и Польские научные издательства.
- ^ Б с д е е Hart 2004 , с. 8.
- Перейти ↑ Hart 2004 , pp. 8-9.
Библиография
- Харт, Клаас (2004). Энциклопедия общей топологии . Амстердам Бостон: Эльзевир / Северная Голландия. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277 .
- Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. ISBN 978-0-444-50355-8.
Внешние ссылки
- «Открытый набор» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]