Палиндромное число

Палиндромный номер (также известный как позиция палиндром или числовой палиндром ) представляет собой номер (например, 16461) , который остается тем же самым, когда его цифры меняются местами. Другими словами, он обладает симметрией отражения относительно вертикальной оси. Термин « палиндромный» происходит от слова « палиндром» , которое относится к слову (например, ротор или гоночный автомобиль ), написание которого не меняется при перестановке букв. Первые 30 палиндромных чисел (в десятичной системе ):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (последовательность A002113 в OEIS ).

Палиндромные числа привлекают наибольшее внимание в области развлекательной математики . Типичная задача - это числа, которые обладают определенным свойством и являются палиндромными. Например:

В палиндромные простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (последовательность A002385 в OEIS ).
Палиндромные квадратные числа : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… (последовательность A002779 в OEIS ).

Очевидно , что в любой базе существует бесконечное множество палиндромных чисел, так как в любой системе счисления бесконечной последовательность чисел , написанных (в этой базе) в 101, 1001, 10001, 100001 и т.д. состоит исключительно из палиндромных чисел.

Формальное определение

Хотя палиндромные числа чаще всего рассматриваются в десятичной системе, концепция палиндромичности может применяться к натуральным числам в любой системе счисления . Рассмотрим число n > 0 в базе b ≥ 2, где оно записано в стандартной записи с k +1 цифрами a _i как:

{\ Displaystyle п = \ сумма _ {я = 0} ^ {k} a_ {i} b ^ {i}}

причем, как обычно, 0 ≤ a _i < b для всех i и a _k ≠ 0. Тогда n палиндромно тогда и только тогда, когда a _i = a _{k - i} для всех i . Ноль записывается как 0 в любой системе отсчета и также является палиндромным по определению.

Десятичные палиндромные числа

Все числа в базе 10 (и действительно в любой базе) с одной цифрой являются палиндромными, поэтому существует десять десятичных палиндромных чисел с одной цифрой:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Всего существует 9 палиндромных чисел с двумя цифрами:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Существует 90 палиндромных чисел с тремя цифрами (Использование правила произведения : 9 вариантов выбора для первой цифры, которая также определяет третью цифру, умноженных на 10 вариантов для второй цифры):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,…, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Также существует 90 палиндромных чисел с четырьмя цифрами (опять же, 9 вариантов выбора для первой цифры, умноженные на десять вариантов для второй цифры. Две другие цифры определяются выбором первых двух):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,…, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

Итак, есть 199 палиндромных чисел ниже 10 ⁴ .

Ниже 10 ⁵ находится 1099 палиндромных чисел, а для других показателей степени 10 ⁿ мы имеем: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (последовательность A070199 в OEIS ). Количество палиндромных чисел, обладающих некоторыми другими свойствами, перечислено ниже:

	10 ¹	10 ²	10 ³	10 ⁴	10 ⁵	10 ⁶	10 ⁷	10 ⁸	10 ⁹	10 ¹⁰
n натуральный	10	19	109	199	1099	1999 г.	10999	19999	109999	199999
п даже	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n нечетный	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n квадрат	4		7		14	15	20		31 год
n куб	3		4	5			7			8
n простое	4	5	20		113		781		5953
n без квадратов	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n неквадратный ( μ ( n ) = 0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n квадрат с простым корнем ^[1]	2	3		5
n с четным числом различных простых множителей (μ ( n ) = 1)	2	6	35 год	56	324	583	3383	6093	+	+
n с нечетным числом различных простых множителей (μ ( n ) = - 1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n даже с нечетным числом простых множителей	1	2	9	21 год	100	180	1010	6067	+	+
n даже с нечетным числом различных простых множителей	3	4	21 год	49	268	482	2486	4452	+	+
n нечетное с нечетным числом простых множителей	3	4	23	43 год	251	437	2428	4315	+	+
n нечетное с нечетным числом различных простых множителей	4	5	28 год	56	317	566	3070	5607	+	+
n четное бесквадратное с четным числом (различных) простых множителей	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n нечетных квадратов с четным числом (различных) простых множителей	1	4	24	41 год	226	412	2392	4221	+	+
n нечетное с ровно двумя простыми множителями	1	4	25	39	205	303	1768 г.	2403	+	+
n даже с двумя простыми множителями	2	3	11		64		413		+	+
n даже с ровно 3 простыми множителями	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n даже с ровно 3 различными простыми множителями	0	1	18	44 год	250	390	2001 г.	2814	+	+
n нечетное с ровно 3 простыми множителями	0	1	12	34	173	348	1762 г.	3292	+	+
n число Кармайкла	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n, для которого σ ( n ) палиндромный	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Совершенные силы

Есть много палиндромных совершенных степеней n ^k , где n - натуральное число, а k равно 2, 3 или 4.

Палиндромные квадраты : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (последовательность A002779 в OEIS )
Палиндромные кубы : 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (последовательность A002781 в OEIS )
Палиндромные четвертые силы : 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (последовательность A186080 в OEIS )

Первые девять членов последовательности 1 ² , 11 ² , 111 ² , 1111 ² , ... образуют палиндромы 1, 121, 12321, 1234321, ... (последовательность A002477 в OEIS )

Единственное известное непалиндромное число, куб которого является палиндромом, - 2201, и это предположение, что корень четвертой степени всех четвертых степеней палиндрома является палиндромом с 100000 ... 000001 (10 ⁿ + 1).

Г. Дж. Симмонс предположил, что не существует палиндромов формы n ^k для k > 4 (и n > 1). ^[2]

Другие базы

Палиндромные числа можно рассматривать не в десятичной, а в других системах счисления . Например, двоичные палиндромные числа:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (последовательность A057148 в OEIS )

или в десятичном виде:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (последовательность A006995 в OEIS )

В простых числах Ферма и простые числа Мерсены образуют подмножество двоичных палиндромных простых чисел.

Любое число является палиндромным по всем основаниям с (тривиально, потому что тогда это однозначное число), а также по основанию (потому что тогда ). Даже за исключением случаев, когда число меньше основания, большинство чисел палиндромны в более чем одной базе. Так , например, , . Число, непалиндромный во всех базах , где называются строго непалиндромный номером . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b> n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 11_ {n-1}}$ ${\ displaystyle 1221_ {4} = 151_ {8} = 77_ {14} = 55_ {20} = 33_ {34} = 11_ {104}}$ ${\ displaystyle 1991_ {10} = 7C7_ {16}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle 1 <б <п-1}$

В основе 7 , поскольку 101 ₇ - это дважды идеальный квадрат (5 ² = 34 ₇ ), некоторые из его кратных квадратов являются палиндромными квадратами:

13 ²	знак равно	202
26 ²	знак равно	1111
55 ²	знак равно	4444
101 ²	знак равно	10201
143 ²	знак равно	24442

В основании 18 некоторые степени семи являются палиндромными:

7 ⁰	знак равно	1
7 ¹	знак равно	7
7 ³	знак равно	111
7 ⁴	знак равно	777
7 ⁶	знак равно	12321
7 ⁹	знак равно	1367631

И в основании 24 первые восемь степеней пяти также являются палиндромными:

5 ⁰	знак равно	1
5 ¹	знак равно	5
5 ²	знак равно	11
5 ³	знак равно	55
5 ⁴	знак равно	121
5 ⁵	знак равно	5A5
5 ⁶	знак равно	1331
5 ⁷	знак равно	5FF5
5 ⁸	знак равно	14641
5 ^А	знак равно	15AA51
5 ^С	знак равно	16FLF61

Палиндромное число в основании b , которое составлено из палиндромных последовательностей длины l, расположенных в палиндромном порядке (например, 101 111 010 111 101 ₂ ), является палиндромным по основанию b ^l (например, указанное выше двоичное число является палиндромным по основанию 2 ^3. = 8 (равно 57275 ₈ ))

Квадрат 133 ₁₀ в базе 30 равен 4D ₃₀² = KKK ₃₀ = 3R ₃₆² = DPD ₃₆ . В базе 24 больше палиндромных квадратов из-за 5 ² = 11. А квадраты всех чисел в форме 1666 ... 6667 (с любым количеством шестерок между 1 и 7) являются палиндромными. 167 ² = 1E5E1, 1667 ² = 1E3K3E1, 16667 ² = 1E3H8H3E1.

Lychrel процесс

Непалиндромные числа можно соединить с палиндромными числами с помощью ряда операций. Во-первых, непалиндромное число меняется на противоположное, и результат прибавляется к исходному числу. Если результатом не является палиндромное число, это повторяется до тех пор, пока не будет получено палиндромное число. Такой номер называется «отложенным палиндромом».

Неизвестно, могут ли все непалиндромные числа таким образом сочетаться с палиндромными числами. Хотя не было доказано, что ни одно число является непарным, многие, похоже, таковым не являются. Например, 196 не дает палиндрома даже после 700000000 итераций. Любое число, которое никогда не становится палиндромным таким образом, известно как число Ликрела .

24 января 2017 года номер 1 999 291 987 030 606 810 был опубликован в OEIS как A281509 и объявлен «Крупнейшим известным палиндромом с наиболее задержкой». Последовательность 125 261-шаговых палиндромов с наибольшей задержкой, предшествующих 1999 291 987 030 606 810 и не описанных ранее, была опубликована отдельно как A281508 .

Сумма обратных

Сумма обратных величин палиндромных чисел представляет собой сходящийся ряд, значение которого составляет приблизительно 3,37028 ... (последовательность A118031 в OEIS ).

Числа Шахерезады

Числа Шахерезады - это набор чисел, определенных Бакминстером Фуллером в его книге « Синергетика» . ^[3] Фуллер не дает формального определения этого термина, но из приведенных им примеров можно понять, что это те числа, которые содержат множитель первичного n #, где n ≥13 и является наибольшим простым множителем в номер. Фуллер назвал эти числа числами Шахерезады, потому что они должны иметь множитель 1001. Шахерезада - сказочница « Тысячи и одной ночи» , рассказывающая каждую ночь новую историю, чтобы отложить казнь. Поскольку nдолжно быть не менее 13, первичное число должно быть не менее 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 и 7 × 11 × 13 = 1001. Фуллер также называет степени 1001 числами Шехерезады. Наименьший примитив, содержащий число Шахерезады, - 13 # = 30 030.

Фуллер указал, что некоторые из этих чисел являются палиндромными по группам цифр. Например, 17 # = 510 510 показывает симметрию групп из трех цифр. Фуллер назвал такие числа « Шахерезады возвышенно запоминающимися всеобъемлющими дивидендами» или числами SSRCD. Фуллер отмечает, что 1001 в степени не только дает возвышенно запоминающиеся числа, которые являются палиндромными в трехзначных группах, но также значения групп являются биномиальными коэффициентами . Например,

{\ displaystyle (1001) ^ {6} = 1,006,015,020,015,006,001}

Эта последовательность не выполняется на (1001) ^13, потому что в группу слева в некоторых группах включена цифра переноса . Фуллер предлагает записать эти вторичные эффекты в отдельной строке. Если это будет сделано с использованием дополнительных линий по мере необходимости, симметрия сохраняется на неопределенный срок в любой степени. ^[4] Многие другие числа Шехерезады демонстрируют аналогичные симметрии, выраженные таким образом. ^[5]

Суммы палиндромов

В 2018 году была опубликована статья, демонстрирующая, что каждое положительное целое число можно записать как сумму трех палиндромных чисел в каждой системе счисления с основанием 5 или больше. ^[6]

Смотрите также

Число Лихрела
Палиндромный прайм
Палиндром
Строго непалиндромное число

Примечания

^ (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример - 19 цифр - 900075181570009.
^ Мюррей С. Кламкин (1990), Проблемы прикладной математики: выдержки из обзора SIAM , стр. 520 .
^ Р. Бакминстер Фуллер, с Э. Дж. Эпплуайтом, Синергетика: исследования геометрии мышления , Macmillan, 1982 ISBN 0-02-065320-4 .
^ Фуллер, стр. 773-774
^ Фуллер, стр. 777-780
^ Cilleruelo, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (19 февраля 2016 г.). «Каждое положительное целое число - это сумма трех палиндромов» . Математика вычислений . arXiv : 1602.06208 .( препринт arXiv )

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Палиндромное число» . MathWorld .
Джейсон Дусетт - Палиндромный квест 196 / Самое запаздывающее палиндромное число
196 и другие числа Lychrel
Об общих палиндромных числах на MathPages
Палиндромные числа до 100000 от Ask Dr. Math
П. Де Гест, Палиндромные кубы
Ютака Нишияма , Числовые палиндромы и проблема 196 , IJPAM, Vol.80, No. 3, 375-384, 2012.

[1] (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример - 19 цифр - 900075181570009.

[2] Мюррей С. Кламкин (1990), Проблемы прикладной математики: выдержки из обзора SIAM , стр. 520 .

[3] Р. Бакминстер Фуллер, с Э. Дж. Эпплуайтом, Синергетика: исследования геометрии мышления , Macmillan, 1982 ISBN 0-02-065320-4 .

[4] Фуллер, стр. 773-774

[5] Фуллер, стр. 777-780

[6] Cilleruelo, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (19 февраля 2016 г.). «Каждое положительное целое число - это сумма трех палиндромов» . Математика вычислений . arXiv : 1602.06208 .( препринт arXiv )

[1]