В математике , А парабола является плоской кривой , которая является зеркально-симметричным и приблизительно U- образной . Он соответствует нескольким внешне различным математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.
Одно описание параболы включает точку ( фокус ) и линию ( направляющую ). Основное внимание уделяется не директрисе. Парабола - это геометрическое место точек в этой плоскости, которые равноудалены как от направляющей, так и от фокуса. Другое описание параболы - это коническое сечение , созданное из пересечения правой круговой конической поверхности и плоскости, параллельной другой плоскости, касательной к конической поверхности. [а]
Линия, перпендикулярная направляющей и проходящая через фокус (то есть линия, разделяющая параболу посередине), называется «осью симметрии». Точка, где парабола пересекает ось симметрии, называется « вершиной » и является точкой, где парабола наиболее резко изогнута. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное по оси симметрии, и есть «фокусное расстояние». « Прямая кишка » - это хорда параболы, которая параллельна директрисе и проходит через фокус. Параболы могут открываться вверх, вниз, влево, вправо или в другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и масштабировать, чтобы она точно соответствовала любой другой параболе, то есть все параболы геометрически подобны .
Параболы обладают тем свойством, что если они сделаны из материала, который отражает свет , то свет, который движется параллельно оси симметрии параболы и падает на ее вогнутую сторону, отражается в ее фокус, независимо от того, где на параболе происходит отражение. И наоборот, свет, исходящий от точечного источника в фокусе, отражается в параллельный (« коллимированный ») луч, оставляя параболу параллельной оси симметрии. Те же эффекты происходят со звуком и другими волнами. Это отражающее свойство лежит в основе многих практических применений парабол.
Парабола имеет множество важных применений, от параболической антенны или параболического микрофона до отражателей автомобильных фар и конструкции баллистических ракет . Он часто используется в физике , технике и многих других областях.
История
Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была написана Менахмом в 4 веке до нашей эры. Он открыл способ решить проблему удвоения куба с помощью парабол. (Решение, однако, не отвечает требованиям компаса-и-линейка строительства .) Площади , заключенной параболами и отрезка прямой, так называемому «сегмент параболы», было вычислено Архимедом по методе истощения в 3 век до н.э., в его «Квадратуре параболы» . Название «парабола» принадлежит Аполлонию , открывшему многие свойства конических сечений. Это означает «приложение», относящееся к концепции «приложения площадей», которая, как доказал Аполлоний, связана с этой кривой. [1] Свойство фокус-директрисы параболы и других конических сечений связано с Паппом .
Галилей показал, что траектория снаряда следует параболе, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести.
Идея о том, что параболический отражатель может создавать изображение, была хорошо известна еще до изобретения отражающего телескопа . [2] Проекты были предложены в начале до середины 17 - го века многие математики , в том числе Рене Декарта , Мерсенн , [3] и Джеймс Грегори . [4] Когда Исаак Ньютон построил первый телескоп-рефлектор в 1668 году, он отказался от параболического зеркала из-за сложности изготовления, выбрав сферическое зеркало . Параболические зеркала используются в большинстве современных телескопов-рефлекторов, а также в спутниковых антеннах и радиолокационных приемниках. [5]
Определение как геометрическое место точек
Парабола может быть определена геометрически как набор точек ( геометрическое место точек ) на евклидовой плоскости:
- Парабола - это набор точек, такой, что для любой точки установленного расстояния к фиксированной точке , фокус , равен расстоянию на фиксированную линию , директриса :
Середина перпендикуляра от фокуса на директрису называется вершиной , а прямаяявляется осью симметрии параболы.
В декартовой системе координат
Ось симметрии параллельна оси y
Если ввести декартовы координаты , такие что а директриса имеет уравнение , для точки получаем из уравнение . Решение для дает
Эта парабола имеет U-образную форму ( раскрывается вверх ).
Горизонтальная хорда, проходящая через очаг (см. Рисунок во вводном разделе), называется прямой кишкой ; одна половина - это прямая полу-латусная мышца . Прямая кишка параллельна направляющей. Прямая кишка semi-latus обозначается буквой. Из рисунка получается
Прямая кишка определяется аналогично для двух других конусов - эллипса и гиперболы. Прямая кишка - это линия, проходящая через фокус конического сечения, параллельную направляющей, и заканчивающуюся кривой в обоих направлениях. В любом случае,- радиус соприкасающейся окружности в вершине. Для параболы прямая полу-латусная мышца,, - расстояние фокуса от директрисы. Используя параметр, уравнение параболы можно переписать в виде
В более общем случае, если вершина , фокус , а директриса , получаем уравнение
- Замечания
- В случае парабола имеет отверстие вниз.
- Предположение, что ось параллельна оси y, позволяет рассматривать параболу как график многочлена степени 2, и наоборот: график произвольного многочлена степени 2 является параболой (см. Следующий раздел).
- Если обменять а также , получаем уравнения вида . Эти параболы открываются влево (если) или вправо (если ).
Общий случай
Если фокус , а директриса , то получаем уравнение
(левая часть уравнения использует нормальную форму Гессе прямой для вычисления расстояния).
Для параметрического уравнения параболы общего положения см. § Как аффинный образ единичной параболы .
Неявное уравнение параболы определяется с помощью неприводимого многочлена второй степени:
такой, что или, что то же самое, такое, что квадрат линейного многочлена .
Как график функции
В предыдущем разделе показано, что любую параболу с началом координат как вершиной и осью y как осью симметрии можно рассматривать как график функции
Для параболы открываются вверх, а для открываются на дно (см. рисунок). Из приведенного выше раздела можно получить:
- Фокус находится,
- фокусное расстояние , То полу-Латус прямой кишки является,
- вершина является,
- директрисы имеет уравнение,
- касательной в точке имеет уравнение .
Для парабола - это единичная парабола с уравнением. Его фокус, полу-латусная прямая кишка , а директриса имеет уравнение .
Общая функция степени 2 такова:
- .
Завершение квадратного урожая
которое является уравнением параболы с
- ось (параллельно оси y ),
- фокусное расстояние , полу-латусная прямая кишка ,
- вершина ,
- фокус ,
- директриса ,
- точка параболы, пересекающая ось y, имеет координаты,
- касательной в точке на у оси имеет уравнение.
Подобие единичной параболе
Два объекта на евклидовой плоскости подобны, если один может быть преобразован в другой посредством подобия , то есть произвольной композиции жестких движений ( перемещений и вращений ) и равномерных масштабов .
Парабола с вершиной можно преобразовать переводом к одному с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат может затем преобразовать параболу в ту, у которой ось y является осью симметрии. Следовательно, парабола жестким движением можно преобразовать в параболу уравнением . Такая парабола затем может быть преобразована с помощью равномерного масштабирования в единичную параболу уравнением . Таким образом, любая парабола может быть отображена на единичную параболу подобием. [6]
Синтетический подход, использующий подобные треугольники, также могут быть использованы для установления этого результата. [7]
Общий результат состоит в том, что два конических участка (обязательно одного типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет. [6] Таким образом, только окружности (все с эксцентриситетом 0) обладают этим свойством с параболами (все с эксцентриситетом 1), а общие эллипсы и гиперболы - нет.
Есть и другие простые аффинные преобразования, отображающие параболу на единичную параболу, например . Но это отображение не является подобием, а только показывает, что все параболы аффинно эквивалентны (см. § Как аффинный образ единичной параболы ).
В виде специального конического сечения
Карандаш из конических сечений с х осями, оси симметрии, одна вершины в начале координат (0, 0) и ту же пол-LATUS прямой кишке можно представить уравнением
с участием эксцентриситет .
- Для коника - круг (соприкасающийся круг карандаша),
- для эллипс ,
- для параболы с уравнением
- для гипербола (см. рисунок).
В полярных координатах
Если p > 0 , парабола с уравнением(открытие вправо) имеет полярное представление
- ( ).
Его вершина , и его фокус .
Если сдвинуть начало координат в фокус, то есть , получаем уравнение
Примечание 1: Инверсия этой полярной форме показывает , что парабола является обратным из кардиоида .
Замечание 2: Вторая полярная форма - это частный случай пучка коник с фокусом (см. рисунок):
- ( эксцентриситет).
Коническое сечение и квадратичная форма
Схема, описание и определения
На схеме изображен конус с осью AV . Точка А - его вершина . Наклонное поперечное сечение конуса, показанное розовым цветом, наклонено от оси на тот же угол θ , что и сторона конуса. Согласно определению параболы как конического сечения, граница этого розового поперечного сечения EPD является параболой.
Поперечное сечение, перпендикулярное оси конуса, проходит через вершину P параболы. Это поперечное сечение круглое, но при взгляде под углом кажется эллиптическим , как показано на схеме. Его центр - V, а PK - диаметр. Назовем его радиус r .
Другой перпендикулярный оси круговой разрез конуса дальше от вершины A, чем только что описанный. У него есть хорда DE , которая соединяет точки, где парабола пересекает окружность. Другая хорда BC - серединный перпендикуляр к DE и, следовательно, диаметр окружности. Эти две хорды и ось симметрии параболы PM пересекаются в точке M.
Все отмеченные точки, кроме D и E, компланарны . Они находятся в плоскости симметрии всей фигуры. Сюда входит точка F, которая не упоминается выше. Он определяется и обсуждается ниже, в § Положение фокуса .
Назовем длину DM и EM x , а длину PM y .
Вывод квадратного уравнения
Длина BM и CM :
- (треугольник BPM равнобедренный , потому что ),
- (PMCK - параллелограмм ).
Используя теорему о пересечении хорд на хордах BC и DE , получаем
Подставляя:
Перестановка:
Для любого данного конуса и параболы r и θ являются константами, но x и y являются переменными, которые зависят от произвольной высоты, на которой выполнено горизонтальное поперечное сечение BECD. Последнее уравнение показывает взаимосвязь между этими переменными. Их можно интерпретировать как декартовы координаты точек D и E в системе на розовой плоскости с P в качестве начала координат. Поскольку x в уравнении возведен в квадрат, тот факт, что D и E находятся по разные стороны от оси y, не важен. Если горизонтальное поперечное сечение перемещается вверх или вниз, к вершине конуса или от нее, D и E перемещаются по параболе, всегда сохраняя соотношение между x и y, показанное в уравнении. Таким образом, параболическая кривая представляет собой геометрическое место точек, в которых выполняется уравнение, что делает ее декартовым графиком квадратичной функции в уравнении.
Фокусное расстояние
В предыдущем разделе было доказано, что если парабола имеет вершину в начале координат и если она открывается в положительном направлении y , то ее уравнение имеет вид y =х 2/4 ж, где f - его фокусное расстояние. [b] Сравнение этого с последним уравнением выше показывает, что фокусное расстояние параболы в конусе равно r sin θ .
Положение фокуса
На диаграмме выше точка V является основанием перпендикуляра от вершины параболы к оси конуса. Точка F - основание перпендикуляра из точки V в плоскость параболы. [c] По симметрии F находится на оси симметрии параболы. Угол VPF является дополнительным к θ , а угол PVF является дополнительным к углу VPF, поэтому угол PVF равен θ . Поскольку длина PV равна r , расстояние от точки F до вершины параболы равно r sin θ . Выше показано, что это расстояние равно фокусному расстоянию параболы, то есть расстоянию от вершины до фокуса. Следовательно, фокус и точка F одинаково удалены от вершины по одной и той же линии, что означает, что они являются одной и той же точкой. Следовательно, точка F, определенная выше, является фокусом параболы .
Это обсуждение началось с определения параболы как конического сечения, но теперь оно привело к описанию в виде графика квадратичной функции. Это показывает, что эти два описания эквивалентны. Оба они определяют кривые абсолютно одинаковой формы.
Альтернативное доказательство со сферами Данделина
Альтернативное доказательство может быть выполнено с использованием сфер Данделина . Он работает без расчета и использует только элементарные геометрические соображения (см. Вывод ниже).
Пересечение прямого конуса плоскостью , наклон которой от вертикали совпадает с образующей (она же образующая линия, линия, содержащая вершину и точку на поверхности конуса) конуса - парабола (красная кривая на диаграмме).
Эта образующая - единственная образующая конуса, параллельная плоскости . В противном случае, если есть две образующие, параллельные пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет гиперболой (или вырожденной гиперболой , если две образующие находятся в пересекающейся плоскости). Если образующей, параллельной пересекающейся плоскости, нет, кривая пересечения будет эллипсом или окружностью (или точкой ).
Пусть самолет быть плоскостью, которая содержит вертикальную ось конуса и линии . Наклон плоскости от вертикали то же, что и линия означает, что при просмотре сбоку (то есть с самолета перпендикулярно плоскости ), .
Чтобы доказать свойство директрисы параболы (см. § Определение как геометрическое место точек выше), используется сфера Данделина , который представляет собой шар, касающийся конуса по окружности и самолет в точке . Плоскость, содержащая круг пересекается с плоскостью на линии . Существует зеркальная симметрия в системе , состоящей из плоскости, Сфера Данделина и конус ( плоскость симметрии является).
Поскольку плоскость, содержащая круг перпендикулярно плоскости , а также , линия их пересечения также должен быть перпендикулярен плоскости . Поскольку линия находится в самолете , .
Оказывается, что является фокусом параболы, и- директриса параболы.
- Позволять - произвольная точка кривой пересечения.
- Образующая конуса , содержащий пересекает круг в точке .
- Сегменты линии а также касаются сферы , а значит, имеют одинаковую длину.
- Образующая пересекает круг в точке . Сегменты линии а также касаются сферы , а значит, имеют одинаковую длину.
- Пусть линия быть линией, параллельной и проходя через точку . С, и укажите находится в самолете , линия должен быть в самолете . С, мы знаем это также.
- Пусть точка быть основанием перпендикуляра из точки ровняться , это, это отрезок линии , и поэтому .
- Из теоремы о перехвате и мы знаем это . С, мы знаем это , что означает, что расстояние от в фокус равно расстоянию от к директрисе .
Доказательство отражающей способности
Отражающее свойство гласит, что если парабола может отражать свет, то входящий в нее свет, идущий параллельно оси симметрии, отражается к фокусу. Это получено из геометрической оптики , основанной на предположении, что свет распространяется лучами.
Рассмотрим параболу y = x 2 . Поскольку все параболы подобны, этот простой случай представляет все остальные.
Конструкция и определения
Точка E - произвольная точка параболы. Фокус - F, вершина - A (начало координат), а прямая FA - ось симметрии. Прямая EC параллельна оси симметрии и пересекает ось x в точке D. Точка B является серединой отрезка FC .
Отчисления
Вершина A равноудалена от фокуса F и от директрисы. Поскольку C находится на направляющей, y- координаты F и C равны по модулю и противоположны по знаку. B - середина FC. Его координата x вдвое меньше, чем у D, то есть x / 2 . Наклон линии BE является отношением длин ED и BD , что составляетх 2/х / 2= 2 х . Но 2 x также является наклоном (первой производной) параболы в точке E. Следовательно, прямая BE является касательной к параболе в точке E.
Расстояния EF и EC равны, потому что E находится на параболе, F - фокус, а C - на направляющей. Следовательно, поскольку B является серединой FC , треугольники △ FEB и △ CEB конгруэнтны (три стороны), что означает, что углы, помеченные как α , конгруэнтны. (Угол над E по вертикали противоположен углу ∠BEC.) Это означает, что луч света, который входит в параболу и достигает точки E, идущей параллельно оси симметрии, будет отражаться линией BE, так что он движется вдоль линии EF , как показано красным на схеме (при условии, что линии каким-то образом могут отражать свет). Поскольку BE является касательной к параболе в точке E, то же самое отражение будет происходить от бесконечно малой дуги параболы в точке E. Следовательно, свет, который входит в параболу и достигает точки E, идя параллельно оси симметрии параболы, отражается. параболой к его фокусу.
Этот вывод об отраженном свете применим ко всем точкам параболы, как показано в левой части диаграммы. Это отражающее свойство.
Прочие последствия
Есть и другие теоремы, которые можно вывести просто из приведенного выше аргумента.
Свойство касательной деления пополам
Приведенное выше доказательство и прилагаемая диаграмма показывают, что касательная BE делит угол ∠FEC пополам. Другими словами, касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между линиями, соединяющими точку с фокусом и перпендикулярно направляющей.
Пересечение касательной и перпендикуляра от фокуса
Поскольку треугольники △ FBE и △ CBE конгруэнтны, FB перпендикулярен касательной BE . Поскольку B находится на оси x , которая является касательной к параболе в ее вершине, отсюда следует, что точка пересечения между любой касательной к параболе и перпендикуляром от фокуса к этой касательной лежит на прямой, касательной к параболе. парабола в его вершине. См. Анимированную диаграмму [8] и кривую педали .
Отражение света, падающего на выпуклую сторону
Если свет движется по линии CE , он движется параллельно оси симметрии и ударяет по выпуклой стороне параболы в точке E. Из приведенной выше диаграммы ясно, что этот свет будет отражаться прямо от фокуса вдоль продолжения отрезок FE .
Альтернативные доказательства
Приведенные выше доказательства свойств отражения и касательной пополам используют линию исчисления. Здесь представлено геометрическое доказательство.
На этой диаграмме F - фокус параболы, а T и U лежат на ее направляющей. P - произвольная точка параболы. PT перпендикулярна директрисе, а прямая MP делит пополам угол bFPT. Q - еще одна точка параболы, где QU перпендикулярна директрисе. Мы знаем, что FP = PT и FQ = QU . Ясно, что QT > QU , поэтому QT > FQ . Все точки на биссектрисе MP равноудалены от F и T, но Q ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится слева от MP , то есть с той же стороны, что и фокус. То же самое было бы, если бы Q располагалось где-нибудь еще на параболе (кроме точки P), поэтому вся парабола, кроме точки P, находится на стороне фокуса MP . Следовательно, MP является касательной к параболе в точке P. Поскольку он делит угол ∠FPT пополам, это доказывает свойство касательной бисекции.
Логика последнего абзаца может быть применена для модификации приведенного выше доказательства отражающего свойства. Это эффективно доказывает, что прямая BE касательная к параболе в точке E, если углы α равны. Отражающее свойство следует, как показано ранее.
Конструкция штифта и струны
Определение параболы по ее фокусу и направляющей может быть использовано для ее рисования с помощью булавок и ниток: [9]
- Выберите фокус и директриса параболы.
- Возьмите треугольник из заданного квадрата и приготовьте нить длиной (см. диаграмму).
- Прикрепите один конец веревки к точке треугольника, а другой - в фокус .
- Расположите треугольник так, чтобы второй край прямого угла мог свободно скользить по направляющей.
- Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к треугольнику.
- При перемещении треугольника по направляющей перо рисует дугу параболы, так как (см. определение параболы).
Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой на линии бесконечности , которая является касательной в точке . 5-, 4- и 3-точечные вырождения теоремы Паскаля - это свойства коники, имеющей дело хотя бы с одной касательной. Если рассматривать эту касательную как бесконечно удаленную линию, а точку контакта - как бесконечно удаленную точку оси y , можно получить три утверждения для параболы.
Следующие свойства параболы имеют дело только с терминами соединять , пересекать , параллельно , которые являются инвариантами подобия . Итак, достаточно доказать любое свойство единичной параболы уравнением.
4-х балльная собственность
Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением .
- Позволять быть четырьмя точками параболы , а также пересечение секущей линии с линией и разреши быть пересечением секущей линии с линией (см. картинку). Тогда секущая линия параллельно линии .
- (Линии а также параллельны оси параболы.)
Доказательство: простой расчет единичной параболы..
Применение: свойство параболы с четырьмя точками может быть использовано для построения точки., пока а также дано.
Замечание: 4-точечное свойство параболы является аффинной версией 5-точечного вырождения теоремы Паскаля.
3-точки - свойство 1-касательной
Позволять - три точки параболы с уравнением а также пересечение секущей линии с линией а также пересечение секущей линии с линией (см. картинку). Тогда касательная в точке параллельно линии . (Линии а также параллельны оси параболы.)
Доказательство: можно провести для единичной параболы.. Краткий расчет показывает: линия имеет наклон который представляет собой наклон касательной в точке .
Применение: свойство 3-точек-1-касательной параболы можно использовать для построения касательной в точке, пока дано.
Замечание: свойство 3-точек-1-касательности параболы является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля.
2-точки - свойство 2-касательных
Позволять - две точки параболы с уравнением , а также пересечение касательной в точке с линией , а также пересечение касательной в точке с линией (см. картинку). Тогда секущая параллельно линии . (Линии а также параллельны оси параболы.)
Доказательство: прямой расчет единичной параболы..
Применение: Свойство 2-точек – 2-касательных можно использовать для построения касательной параболы в точке, если и касательная в дано.
Замечание 1. Свойство параболы 2 точки – 2 касания является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля.
Замечание 2: Свойство 2-точек и 2-касательных не следует путать со следующим свойством параболы, которое также имеет дело с 2 точками и 2 касательными, но не связано с теоремой Паскаля.
Направление оси
Приведенные выше утверждения предполагают знание направления оси параболы, чтобы построить точки . Следующее свойство определяет точки только двумя заданными точками и их касательными, и в результате прямая параллельно оси параболы.
Позволять
- быть двумя точками параболы , а также быть их касательными;
- быть пересечением касательных ,
- быть пересечением параллельной прямой к через с параллельной линией к через (см. картинку).
Тогда строка параллельна оси параболы и имеет уравнение
Доказательство: может быть выполнено (как и свойства выше) для параболы единицы измерения..
Применение: это свойство можно использовать для определения направления оси параболы, если заданы две точки и их касательные. Альтернативный способ - определить середины двух параллельных хорд, см. Раздел о параллельных хордах .
Замечание: это свойство является аффинной версией теоремы о двух перспективных треугольниках невырожденной коники. [10]
Поколение Штайнера
Парабола
Штейнер установил следующую процедуру построения невырожденной коники (см. Конику Штейнера ):
- Учитывая два карандаша линий в двух точках (все строки, содержащие а также соответственно) и проективное, но не перспективное отображение из на точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.
Эту процедуру можно использовать для простого построения точек на параболе. :
- Рассмотрим карандаш в вершине и набор линий которые параллельны оси y .
- Позволять быть точкой на параболе, и , .
- Линейный сегмент делится на n равноотстоящих сегментов, и это деление проецируется (в направлении) на отрезок (см. рисунок). Эта проекция порождает проективное отображение из карандаша на карандаш .
- Пересечение линии а i -я параллельная оси y - точка на параболе.
Доказательство: простой расчет.
Замечание: Генерация Штейнера доступна также для эллипсов и гипербол .
Двойная парабола
Двойной параболический состоит из множества касательных обыкновенной параболы.
Генерация коники Штейнера может быть применена к генерации двойственной коники, изменяя значения точек и линий:
- Пусть даны два набора точек на двух прямых , и проективное, но не перспективное отображение между этими наборами точек соединительные линии соответствующих точек образуют невырожденную двойственную конику.
Чтобы создать элементы двойной параболы, нужно начать с
- три очка не на линии,
- разделяет линейные секции а также каждый в на равном расстоянии друг от друга и складывает числа, как показано на рисунке.
- Тогда строки являются касательными к параболе, следовательно, элементы двойственной параболы.
- Парабола - это кривая Безье степени 2 с контрольными точками.
Доказательство является следствием де Casteljau алгоритм для кривой Безье степени 2.
Вписанные углы и трехточечная форма
Парабола с уравнением однозначно определяется тремя точками с разными координатами x . Обычная процедура определения коэффициентов- вставить координаты точки в уравнение. В результате получается линейная система из трех уравнений, которую можно решить, например, методом исключения Гаусса или правилом Крамера . Альтернативный способ использует теорему о вписанном угле для парабол.
В дальнейшем угол между двумя линиями будет измеряться разницей наклона прямой относительно направляющей параболы. То есть для параболы уравнения угол между двумя строками уравнений измеряется
Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей, имеется теорема о вписанном угле для парабол : [11] [12]
- Четыре очка с разными координатами x (см. рисунок) находятся на параболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы а также имеют такую же меру, как определено выше. Это,
(Доказательство: простой расчет: если точки находятся на параболе, можно перевести координаты, чтобы получить уравнение , то есть если точки находятся на параболе.)
Как следствие, уравнение (в ) параболы, определяемой 3 точками с разными координатами x (если две координаты x равны, не существует параболы с направляющей, параллельной оси x , которая проходит через точки)
Умножая на знаменатели, зависящие от получается более стандартная форма
Полюс-полярное отношение
In a suitable coordinate system any parabola can be described by an equation . The equation of the tangent at a point is
One obtains the function
on the set of points of the parabola onto the set of tangents.
Obviously, this function can be extended onto the set of all points of to a bijection between the points of and the lines with equations . The inverse mapping is
- line → point .
This relation is called the pole–polar relation of the parabola, where the point is the pole, and the corresponding line its polar.
By calculation, one checks the following properties of the pole–polar relation of the parabola:
- For a point (pole) on the parabola, the polar is the tangent at this point (see picture: ).
- For a pole outside the parabola the intersection points of its polar with the parabola are the touching points of the two tangents passing (see picture: ).
- For a point within the parabola the polar has no point with the parabola in common (see picture: and ).
- The intersection point of two polar lines (for example, ) is the pole of the connecting line of their poles (in example: ).
- Focus and directrix of the parabola are a pole–polar pair.
Remark: Pole–polar relations also exist for ellipses and hyperbolas.
Касательные свойства
Let the line of symmetry intersect the parabola at point Q, and denote the focus as point F and its distance from point Q as f. Let the perpendicular to the line of symmetry, through the focus, intersect the parabola at a point T. Then (1) the distance from F to T is 2f, and (2) a tangent to the parabola at point T intersects the line of symmetry at a 45° angle.[13]:p.26
Orthoptic property
If two tangents to a parabola are perpendicular to each other, then they intersect on the directrix. Conversely, two tangents that intersect on the directrix are perpendicular.
Lambert's theorem
Let three tangents to a parabola form a triangle. Then Lambert's theorem states that the focus of the parabola lies on the circumcircle of the triangle.[14][8]:Corollary 20
Tsukerman's converse to Lambert's theorem states that, given three lines that bound a triangle, if two of the lines are tangent to a parabola whose focus lies on the circumcircle of the triangle, then the third line is also tangent to the parabola.[15]
Focal length calculated from parameters of a chord
Suppose a chord crosses a parabola perpendicular to its axis of symmetry. Let the length of the chord between the points where it intersects the parabola be c and the distance from the vertex of the parabola to the chord, measured along the axis of symmetry, be d. The focal length, f, of the parabola is given by
- Proof
Suppose a system of Cartesian coordinates is used such that the vertex of the parabola is at the origin, and the axis of symmetry is the y axis. The parabola opens upward. It is shown elsewhere in this article that the equation of the parabola is 4fy = x2, where f is the focal length. At the positive x end of the chord, x = c/2 and y = d. Since this point is on the parabola, these coordinates must satisfy the equation above. Therefore, by substitution, . From this, .
Area enclosed between a parabola and a chord
The area enclosed between a parabola and a chord (see diagram) is two-thirds of the area of a parallelogram that surrounds it. One side of the parallelogram is the chord, and the opposite side is a tangent to the parabola.[16][17] The slope of the other parallel sides is irrelevant to the area. Often, as here, they are drawn parallel with the parabola's axis of symmetry, but this is arbitrary.
A theorem equivalent to this one, but different in details, was derived by Archimedes in the 3rd century BCE. He used the areas of triangles, rather than that of the parallelogram.[d] See The Quadrature of the Parabola.
If the chord has length b and is perpendicular to the parabola's axis of symmetry, and if the perpendicular distance from the parabola's vertex to the chord is h, the parallelogram is a rectangle, with sides of b and h. The area A of the parabolic segment enclosed by the parabola and the chord is therefore
This formula can be compared with the area of a triangle: 1/2bh.
In general, the enclosed area can be calculated as follows. First, locate the point on the parabola where its slope equals that of the chord. This can be done with calculus, or by using a line that is parallel to the axis of symmetry of the parabola and passes through the midpoint of the chord. The required point is where this line intersects the parabola.[e] Then, using the formula given in Distance from a point to a line, calculate the perpendicular distance from this point to the chord. Multiply this by the length of the chord to get the area of the parallelogram, then by 2/3 to get the required enclosed area.
Corollary concerning midpoints and endpoints of chords
A corollary of the above discussion is that if a parabola has several parallel chords, their midpoints all lie on a line parallel to the axis of symmetry. If tangents to the parabola are drawn through the endpoints of any of these chords, the two tangents intersect on this same line parallel to the axis of symmetry (see Axis-direction of a parabola).[f]
Arc length
If a point X is located on a parabola with focal length f, and if p is the perpendicular distance from X to the axis of symmetry of the parabola, then the lengths of arcs of the parabola that terminate at X can be calculated from f and p as follows, assuming they are all expressed in the same units.[g]
This quantity s is the length of the arc between X and the vertex of the parabola.
The length of the arc between X and the symmetrically opposite point on the other side of the parabola is 2s.
The perpendicular distance p can be given a positive or negative sign to indicate on which side of the axis of symmetry X is situated. Reversing the sign of p reverses the signs of h and s without changing their absolute values. If these quantities are signed, the length of the arc between any two points on the parabola is always shown by the difference between their values of s. The calculation can be simplified by using the properties of logarithms:
This can be useful, for example, in calculating the size of the material needed to make a parabolic reflector or parabolic trough.
This calculation can be used for a parabola in any orientation. It is not restricted to the situation where the axis of symmetry is parallel to the y axis.
Геометрическая конструкция для определения площади сектора
S is the focus, and V is the principal vertex of the parabola VG. Draw VX perpendicular to SV.
Take any point B on VG and drop a perpendicular BQ from B to VX. Draw perpendicular ST intersecting BQ, extended if necessary, at T. At B draw the perpendicular BJ, intersecting VX at J.
For the parabola, the segment VBV, the area enclosed by the chord VB and the arc VB, is equal to ∆VBQ / 3, also .
The area of the parabolic sector SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3.
Since triangles TSB and QBJ are similar,
Therefore, the area of the parabolic sector and can be found from the length of VJ, as found above.
A circle through S, V and B also passes through J.
Conversely, if a point, B on the parabola VG is to be found so that the area of the sector SVB is equal to a specified value, determine the point J on VX and construct a circle through S, V and J. Since SJ is the diameter, the center of the circle is at its midpoint, and it lies on the perpendicular bisector of SV, a distance of one half VJ from SV. The required point B is where this circle intersects the parabola.
If a body traces the path of the parabola due to an inverse square force directed towards S, the area SVB increases at a constant rate as point B moves forward. It follows that J moves at constant speed along VX as B moves along the parabola.
If the speed of the body at the vertex where it is moving perpendicularly to SV is v, then the speed of J is equal to 3v/4.
The construction can be extended simply to include the case where neither radius coincides with the axis SV as follows. Let A be a fixed point on VG between V and B, and point H be the intersection on VX with the perpendicular to SA at A. From the above, the area of the parabolic sector .
Conversely, if it is required to find the point B for a particular area SAB, find point J from HJ and point B as before. By Book 1, Proposition 16, Corollary 6 of Newton's Principia, the speed of a body moving along a parabola with a force directed towards the focus is inversely proportional to the square root of the radius. If the speed at A is v, then at the vertex V it is , and point J moves at a constant speed of .
The above construction was devised by Isaac Newton and can be found in Book 1 of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica as Proposition 30.
Фокусное расстояние и радиус кривизны в вершине
The focal length of a parabola is half of its radius of curvature at its vertex.
- Proof
Image is inverted. AB is x axis. C is origin. O is center. A is (x, y). OA = OC = R. PA = x. CP = y. OP = (R − y). Other points and lines are irrelevant for this purpose.
The radius of curvature at the vertex is twice the focal length. The measurements shown on the above diagram are in units of the latus rectum, which is four times the focal length.
Consider a point (x, y) on a circle of radius R and with center at the point (0, R). The circle passes through the origin. If the point is near the origin, the Pythagorean theorem shows that
But if (x, y) is extremely close to the origin, since the x axis is a tangent to the circle, y is very small compared with x, so y2 is negligible compared with the other terms. Therefore, extremely close to the origin
- (1)
Compare this with the parabola
- (2)
which has its vertex at the origin, opens upward, and has focal length f (see preceding sections of this article).
Equations (1) and (2) are equivalent if R = 2f. Therefore, this is the condition for the circle and parabola to coincide at and extremely close to the origin. The radius of curvature at the origin, which is the vertex of the parabola, is twice the focal length.
- Corollary
A concave mirror that is a small segment of a sphere behaves approximately like a parabolic mirror, focusing parallel light to a point midway between the centre and the surface of the sphere.
Как аффинный образ единичной параболы
Another definition of a parabola uses affine transformations:
- Any parabola is the affine image of the unit parabola with equation .
- parametric representation
An affine transformation of the Euclidean plane has the form , where is a regular matrix (determinant is not 0), and is an arbitrary vector. If are the column vectors of the matrix , the unit parabola is mapped onto the parabola
where
- is a point of the parabola,
- is a tangent vector at point ,
- is parallel to the axis of the parabola (axis of symmetry through the vertex).
- vertex
In general, the two vectors are not perpendicular, and is not the vertex, unless the affine transformation is a similarity.
The tangent vector at the point is . At the vertex the tangent vector is orthogonal to . Hence the parameter of the vertex is the solution of the equation
which is
and the vertex is
- focal length and focus
The focal length can be determined by a suitable parameter transformation (which does not change the geometric shape of the parabola). The focal length is
Hence the focus of the parabola is
- implicit representation
Solving the parametric representation for by Cramer's rule and using , one gets the implicit representation
- .
- parabola in space
The definition of a parabola in this section gives a parametric representation of an arbitrary parabola, even in space, if one allows to be vectors in space.
Как квадратичная кривая Безье
A quadratic Bézier curve is a curve defined by three points , and , called its control points:
This curve is an arc of a parabola (see § As the affine image of the unit parabola).
Численное интегрирование
In one method of numerical integration one replaces the graph of a function by arcs of parabolas and integrates the parabola arcs. A parabola is determined by three points. The formula for one arc is
The method is called Simpson's rule.
Как плоское сечение квадрики
The following quadrics contain parabolas as plane sections:
- elliptical cone,
- parabolic cylinder,
- elliptical paraboloid,
- hyperbolic paraboloid,
- hyperboloid of one sheet,
- hyperboloid of two sheets.
Elliptic cone
Parabolic cylinder
Elliptic paraboloid
Hyperbolic paraboloid
Hyperboloid of one sheet
Hyperboloid of two sheets
Как трисектрикс
A parabola can be used as a trisectrix, that is it allows the exact trisection of an arbitrary angle with straightedge and compass. This is not in contradiction to the impossibility of an angle trisection with compass-and-straightedge constructions alone, as the use of parabolas is not allowed in the classic rules for compass-and-straightedge constructions.
To trisect , place its leg on the x axis such that the vertex is in the coordinate system's origin. The coordinate system also contains the parabola . The unit circle with radius 1 around the origin intersects the angle's other leg , and from this point of intersection draw the perpendicular onto the y axis. The parallel to y axis through the midpoint of that perpendicular and the tangent on the unit circle in intersect in . The circle around with radius intersects the parabola at . The perpendicular from onto the x axis intersects the unit circle at , and is exactly one third of .
The correctness of this construction can be seen by showing that the x coordinate of is . Solving the equation system given by the circle around and the parabola leads to the cubic equation . The triple-angle formula then shows that is indeed a solution of that cubic equation.
This trisection goes back to René Descartes, who described it in his book La Géométrie (1637).[18]
Обобщения
If one replaces the real numbers by an arbitrary field, many geometric properties of the parabola are still valid:
- A line intersects in at most two points.
- At any point the line is the tangent.
Essentially new phenomena arise, if the field has characteristic 2 (that is, ): the tangents are all parallel.
In algebraic geometry, the parabola is generalized by the rational normal curves, which have coordinates (x, x2, x3, …, xn); the standard parabola is the case n = 2, and the case n = 3 is known as the twisted cubic. A further generalization is given by the Veronese variety, when there is more than one input variable.
In the theory of quadratic forms, the parabola is the graph of the quadratic form x2 (or other scalings), while the elliptic paraboloid is the graph of the positive-definite quadratic form x2 + y2 (or scalings), and the hyperbolic paraboloid is the graph of the indefinite quadratic form x2 − y2. Generalizations to more variables yield further such objects.
The curves y = xp for other values of p are traditionally referred to as the higher parabolas and were originally treated implicitly, in the form xp = kyq for p and q both positive integers, in which form they are seen to be algebraic curves. These correspond to the explicit formula y = xp/q for a positive fractional power of x. Negative fractional powers correspond to the implicit equation xpyq = k and are traditionally referred to as higher hyperbolas. Analytically, x can also be raised to an irrational power (for positive values of x); the analytic properties are analogous to when x is raised to rational powers, but the resulting curve is no longer algebraic and cannot be analyzed by algebraic geometry.
В физическом мире
In nature, approximations of parabolas and paraboloids are found in many diverse situations. The best-known instance of the parabola in the history of physics is the trajectory of a particle or body in motion under the influence of a uniform gravitational field without air resistance (for instance, a ball flying through the air, neglecting air friction).
The parabolic trajectory of projectiles was discovered experimentally in the early 17th century by Galileo, who performed experiments with balls rolling on inclined planes. He also later proved this mathematically in his book Dialogue Concerning Two New Sciences.[19][h] For objects extended in space, such as a diver jumping from a diving board, the object itself follows a complex motion as it rotates, but the center of mass of the object nevertheless moves along a parabola. As in all cases in the physical world, the trajectory is always an approximation of a parabola. The presence of air resistance, for example, always distorts the shape, although at low speeds, the shape is a good approximation of a parabola. At higher speeds, such as in ballistics, the shape is highly distorted and doesn't resemble a parabola.
Another hypothetical situation in which parabolas might arise, according to the theories of physics described in the 17th and 18th centuries by Sir Isaac Newton, is in two-body orbits, for example, the path of a small planetoid or other object under the influence of the gravitation of the Sun. Parabolic orbits do not occur in nature; simple orbits most commonly resemble hyperbolas or ellipses. The parabolic orbit is the degenerate intermediate case between those two types of ideal orbit. An object following a parabolic orbit would travel at the exact escape velocity of the object it orbits; objects in elliptical or hyperbolic orbits travel at less or greater than escape velocity, respectively. Long-period comets travel close to the Sun's escape velocity while they are moving through the inner Solar system, so their paths are nearly parabolic.
Approximations of parabolas are also found in the shape of the main cables on a simple suspension bridge. The curve of the chains of a suspension bridge is always an intermediate curve between a parabola and a catenary, but in practice the curve is generally nearer to a parabola due to the weight of the load (i.e. the road) being much larger than the cables themselves, and in calculations the second-degree polynomial formula of a parabola is used.[20][21] Under the influence of a uniform load (such as a horizontal suspended deck), the otherwise catenary-shaped cable is deformed toward a parabola (see Catenary#Suspension bridge curve). Unlike an inelastic chain, a freely hanging spring of zero unstressed length takes the shape of a parabola. Suspension-bridge cables are, ideally, purely in tension, without having to carry other forces, for example, bending. Similarly, the structures of parabolic arches are purely in compression.
Paraboloids arise in several physical situations as well. The best-known instance is the parabolic reflector, which is a mirror or similar reflective device that concentrates light or other forms of electromagnetic radiation to a common focal point, or conversely, collimates light from a point source at the focus into a parallel beam. The principle of the parabolic reflector may have been discovered in the 3rd century BC by the geometer Archimedes, who, according to a dubious legend,[22] constructed parabolic mirrors to defend Syracuse against the Roman fleet, by concentrating the sun's rays to set fire to the decks of the Roman ships. The principle was applied to telescopes in the 17th century. Today, paraboloid reflectors can be commonly observed throughout much of the world in microwave and satellite-dish receiving and transmitting antennas.
In parabolic microphones, a parabolic reflector is used to focus sound onto a microphone, giving it highly directional performance.
Paraboloids are also observed in the surface of a liquid confined to a container and rotated around the central axis. In this case, the centrifugal force causes the liquid to climb the walls of the container, forming a parabolic surface. This is the principle behind the liquid-mirror telescope.
Aircraft used to create a weightless state for purposes of experimentation, such as NASA's "Vomit Comet", follow a vertically parabolic trajectory for brief periods in order to trace the course of an object in free fall, which produces the same effect as zero gravity for most purposes.
Gallery
A bouncing ball captured with a stroboscopic flash at 25 images per second. The ball becomes significantly non-spherical after each bounce, especially after the first. That, along with spin and air resistance, causes the curve swept out to deviate slightly from the expected perfect parabola.
Parabolic trajectories of water in a fountain.
The path (in red) of Comet Kohoutek as it passed through the inner Solar system, showing its nearly parabolic shape. The blue orbit is the Earth's.
The supporting cables of suspension bridges follow a curve that is intermediate between a parabola and a catenary.
The Rainbow Bridge across the Niagara River, connecting Canada (left) to the United States (right). The parabolic arch is in compression and carries the weight of the road.
Parabolic arches used in architecture
Parabolic shape formed by a liquid surface under rotation. Two liquids of different densities completely fill a narrow space between two sheets of transparent plastic. The gap between the sheets is closed at the bottom, sides and top. The whole assembly is rotating around a vertical axis passing through the centre. (See Rotating furnace)
Solar cooker with parabolic reflector
Parabolic antenna
Parabolic microphone with optically transparent plastic reflector used at an American college football game.
Array of parabolic troughs to collect solar energy
Edison's searchlight, mounted on a cart. The light had a parabolic reflector.
Physicist Stephen Hawking in an aircraft flying a parabolic trajectory to simulate zero gravity
Смотрите также
- Degenerate conic
- Parabolic dome
- Parabolic partial differential equation
- Quadratic equation
- Quadratic function
- Universal parabolic constant
Сноски
- ^ The tangential plane just touches the conical surface along a line, which passes through the apex of the cone.
- ^ As stated above in the lead, the focal length of a parabola is the distance between its vertex and focus.
- ^ The point V is the centre of the smaller circular cross-section of the cone. The point F is in the (pink) plane of the parabola, and the line VF is perpendicular to the plane of the parabola.
- ^ Archimedes proved that the area of the enclosed parabolic segment was 4/3 as large as that of a triangle that he inscribed within the enclosed segment. It can easily be shown that the parallelogram has twice the area of the triangle, so Archimedes' proof also proves the theorem with the parallelogram.
- ^ This method can be easily proved correct by calculus. It was also known and used by Archimedes, although he lived nearly 2000 years before calculus was invented.
- ^ A proof of this sentence can be inferred from the proof of the orthoptic property, above. It is shown there that the tangents to the parabola y = x2 at (p, p2) and (q, q2) intersect at a point whose x coordinate is the mean of p and q. Thus if there is a chord between these two points, the intersection point of the tangents has the same x coordinate as the midpoint of the chord.
- ^ In this calculation, the square root q must be positive. The quantity ln a is the natural logarithm of a.
- ^ However, this parabolic shape, as Newton recognized, is only an approximation of the actual elliptical shape of the trajectory and is obtained by assuming that the gravitational force is constant (not pointing toward the center of the Earth) in the area of interest. Often, this difference is negligible and leads to a simpler formula for tracking motion.
Рекомендации
- ^ "Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America". Retrieved 30 September 2016.
- ^ Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (2 ed.). Springer. p. 3. ISBN 3-540-40106-7. Extract of page 3.
- ^ Stargazer, p. 115.
- ^ Stargazer, pp. 123, 132.
- ^ Fitzpatrick, Richard (July 14, 2007). "Spherical Mirrors". Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Retrieved October 5, 2011.
- ^ a b Kumpel, P. G. (1975), "Do similar figures always have the same shape?", The Mathematics Teacher, 68 (8): 626–628, doi:10.5951/MT.68.8.0626, ISSN 0025-5769.
- ^ Shriki, Atara; David, Hamatal (2011), "Similarity of Parabolas – A Geometrical Perspective", Learning and Teaching Mathematics, 11: 29–34.
- ^ a b Tsukerman, Emmanuel (2013). "On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas" (PDF). Forum Geometricorum. 13: 197–208.
- ^ Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, p. 334.
- ^ Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski-planes, p. 36.
- ^ E. Hartmann, Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 72.
- ^ W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973).
- ^ Downs, J. W. (2003). Practical Conic Sections. Dover Publishing.[ISBN missing]
- ^ Sondow, Jonathan (2013). "The parbelos, a parabolic analog of the arbelos". American Mathematical Monthly. 120 (10): 929–935. arXiv:1210.2279. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID 33402874.
- ^ Tsukerman, Emmanuel (2014). "Solution of Sondow's problem: a synthetic proof of the tangency property of the parbelos". American Mathematical Monthly. 121 (5): 438–443. arXiv:1210.5580. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.05.438. S2CID 21141837.
- ^ "Sovrn Container". Mathwarehouse.com. Retrieved 2016-09-30.
- ^ "Parabola". Mysite.du.edu. Retrieved 2016-09-30.
- ^ Yates, Robert C. (1941). "The Trisection Problem". National Mathematics Magazine. 15 (4): 191–202. doi:10.2307/3028133. JSTOR 3028133.
- ^ Dialogue Concerning Two New Sciences (1638) (The Motion of Projectiles: Theorem 1).
- ^ Troyano, Leonardo Fernández (2003). Bridge engineering: a global perspective. Thomas Telford. p. 536. ISBN 0-7277-3215-3.
- ^ Drewry, Charles Stewart (1832). A memoir of suspension bridges. Oxford University. p. 159.
- ^ Middleton, W. E. Knowles (December 1961). "Archimedes, Kircher, Buffon, and the Burning-Mirrors". Isis. Published by: The University of Chicago Press on behalf of The History of Science Society. 52 (4): 533–543. doi:10.1086/349498. JSTOR 228646. S2CID 145385010.
дальнейшее чтение
- Lockwood, E. H. (1961). A Book of Curves. Cambridge University Press.
Внешние ссылки
- "Parabola", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Parabola". MathWorld.
- Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
- Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
- Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
- Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
- Parabolic Mirror at cut-the-knot
- Three Parabola Tangents at cut-the-knot
- Focal Properties of Parabola at cut-the-knot
- Parabola As Envelope II at cut-the-knot
- The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.
- Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659