В физике , наблюдаемый является физической величиной , которую можно измерить. Примеры включают позицию и импульс . В системах, управляемых классической механикой , это действительная «функция» на множестве всех возможных состояний системы. В квантовой физике это оператор или калибровка , где свойство квантового состояния может быть определено с помощью некоторой последовательности операций . Например, эти операции могут включать в себя воздействие на систему различных электромагнитных полей и, в конечном итоге, считывание значения.
Физически значимые наблюдаемые должны также удовлетворять законам преобразования, которые связывают наблюдения, выполненные разными наблюдателями в разных системах отсчета . Эти законы преобразования являются автоморфизмами пространства состояний, то есть биективными преобразованиями, которые сохраняют определенные математические свойства рассматриваемого пространства.
Квантовая механика
В квантовой физике наблюдаемые проявляются как линейные операторы в гильбертовом пространстве, представляющем пространство состояний квантовых состояний. Собственные значения наблюдаемых - это действительные числа, которые соответствуют возможным значениям, которые динамическая переменная, представленная наблюдаемым, может быть измерена как имеющая. То есть наблюдаемые в квантовой механике присваивают действительные числа результатам конкретных измерений , соответствующие собственному значению оператора относительно измеренного квантового состояния системы . Как следствие, только определенные измерения могут определить значение наблюдаемой для некоторого состояния квантовой системы. В классической механике можно произвести любое измерение, чтобы определить значение наблюдаемой.
Связь между состоянием квантовой системы и значением наблюдаемой требует некоторой линейной алгебры для ее описания. В математической формулировке квантовой механики , состояния задаются ненулевыми векторами в пространстве Гильберта V . Считается, что два вектора v и w задают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда для какого-то ненулевого . Наблюдаемые задаются самосопряжёнными операторами на V . Однако, как указано ниже, не каждый самосопряженный оператор соответствует физически значимой наблюдаемой [ необходима цитата ] . В случае системы частиц пространство V состоит из функций, называемых волновыми функциями или векторами состояния .
В случае законов преобразования в квантовой механике, требуемые автоморфизмы являются унитарными (или антиунитарными ) линейными преобразованиями пространства Гильберта V . В рамках теории относительности Галилея или специальной теории относительности математика систем отсчета особенно проста, что значительно ограничивает набор физически значимых наблюдаемых.
В квантовой механике измерение наблюдаемых проявляет некоторые, казалось бы, неинтуитивные свойства. В частности, если система находится в состоянии, описываемом вектором в гильбертовом пространстве , процесс измерения влияет на состояние недетерминированным, но статистически предсказуемым образом. В частности, после применения измерения описание состояния одним вектором может быть уничтожено и заменено статистическим ансамблем . Необратим характер операций измерения в квантовой физике иногда называют измерительной задачей и описывается математически квантовыми операциями . По структуре квантовых операций это описание математически эквивалентно описанию, предлагаемому интерпретацией относительного состояния, когда исходная система рассматривается как подсистема более крупной системы, а состояние исходной системы задается частичным следом состояния системы. система большего размера.
В квантовой механике динамические переменные такие как положение, поступательный (линейный) момент , орбитальный угловой момент , спин и полный угловой момент , каждый связан с эрмитовым оператором который действует на состояние квантовой системы. Собственные значения операторасоответствуют возможным значениям, которые можно наблюдать как имеющую динамическую переменную. Например, предположимявляется собственным набором ( собственным вектором ) наблюдаемой, с собственным значением , и существует в d-мерном гильбертовом пространстве . потом
Это собственное уравнение говорит о том, что если измерение наблюдаемого производится пока интересующая система находится в состоянии , то наблюдаемое значение этого конкретного измерения должно возвращать собственное значение с уверенностью. Однако, если интересующая система находится в общем состоянии, то собственное значение возвращается с вероятностью , по правилу Борна .
Приведенное выше определение в некоторой степени зависит от нашего соглашения о выборе действительных чисел для представления реальных физических величин . Действительно, то, что динамические переменные «реальны», а не «нереальны» в метафизическом смысле, не означает, что они должны соответствовать действительным числам в математическом смысле. [ необходима цитата ]
Чтобы быть более точным, динамическая переменная / наблюдаемая является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве.
Операторы в конечномерных и бесконечномерных гильбертовых пространствах
Наблюдаемые могут быть представлены эрмитовой матрицей, если гильбертово пространство конечномерно. В бесконечномерном гильбертовом пространстве наблюдаемое представлено симметричным оператором , который не может быть определен везде . Причина такого изменения заключается в том, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве наблюдаемый оператор может стать неограниченным , что означает, что он больше не имеет наибольшего собственного значения. В конечномерном гильбертовом пространстве дело обстоит иначе: оператор может иметь не больше собственных значений, чем размерность состояния, в котором он действует, и благодаря свойству хорошей упорядоченности любой конечный набор действительных чисел имеет наибольший элемент. Так , например, положение точечной частицы , двигающейся вдоль линия может принимать любое действительное число в качестве значения, а множество действительных чисел является несчетным бесконечным . Поскольку собственное значение наблюдаемой представляет собой возможную физическую величину, которую может принимать соответствующая динамическая переменная, мы должны заключить, что не существует наибольшего собственного значения для наблюдаемой позиции в этом несчетно бесконечномерном гильбертовом пространстве.
Несовместимость наблюдаемых в квантовой механике
Ключевое различие между классическими величинами и квантово-механическими наблюдаемыми состоит в том, что последние не могут быть измерены одновременно, свойство, называемое дополнительностью . Математически это выражается некоммутативностью соответствующих операторов, так что коммутатор
Это неравенство выражает зависимость результатов измерений от порядка, в котором измерения наблюдаемых а также выполняются. Наблюдаемые, соответствующие некоммутативным операторам, называются несовместимыми наблюдаемыми . Несовместимые наблюдаемые не могут иметь полный набор общих собственных функций. Обратите внимание, что могут быть несколько одновременных собственных векторов а также , но их недостаточно, чтобы составить полную основу. [1] [2]
Смотрите также
- Мера (физика)
- Наблюдаемая Вселенная
- Наблюдатель (квантовая физика)
- Таблица операторов QM
- Ненаблюдаемый
дальнейшее чтение
- Ауян, Солнечный Ю. (1995). Как возможна квантовая теория поля? . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195093452.
- Баллентин, Лесли Э. (2014). Квантовая механика: современная разработка (Ред. Ред.). ISBN World Scientific Publishing Co. 9789814578608.
- фон Нейман, Джон (1996). Математические основы квантовой механики . Перевод Роберта Т. Бейера (12. печат., 1. издание в мягкой обложке. Ред.). Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Нажмите. ISBN 978-0691028934.
- Варадараджан, VS (2007). Геометрия квантовой теории (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387493862.
- Вейль, Герман (2009). «Приложение C: Квантовая физика и причинность». Философия математики и естествознания . Исправленное и дополненное английское издание на основе перевода Олафа Хельмера. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 253–265. ISBN 9780691141206.
- Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Франк Лалоэ (4 декабря 2019 г.). Квантовая механика, Том 1: Основные концепции, инструменты и приложения . Вайли. ISBN 978-3-527-34553-3.
- Дэвид Дж. Гриффитс (2017). Введение в квантовую механику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-17986-8.
- ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в квантовую механику . Издательство Кембриджского университета. п. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.
- ^ Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (04.12.2019). Квантовая механика, Том 1: Основные концепции, инструменты и приложения . Вайли. п. 232. ISBN. 978-3-527-34553-3.