В четырехмерной геометрии , A призматических равномерный 4-многогранник является равномерным 4-многогранником с бесконтактным Кокстером Диаграмма группой симметрии. [ необходима цитата ] Эти фигуры аналогичны набору призм и однородных многогранников антипризмы , но добавляют третью категорию, называемую дуопризмами , построенными как произведение двух правильных многоугольников.
Призматические равномерные 4-многогранники состоят из двух бесконечных семейств:
- Многогранные призмы : произведения отрезка прямой и равномерный многогранник. Это семейство бесконечно, потому что оно включает призмы, построенные на трехмерных призмах, и антипризмы .
- Дуопризмы : произведение двух правильных многоугольников.
Выпуклые многогранные призмы [ править ]
Наиболее очевидное семейство призматических 4-многогранников - это многогранные призмы, то есть произведения многогранника с отрезком прямой . Ячейки такого 4-многогранника представляют собой два одинаковых однородных многогранника, лежащих в параллельных гиперплоскостях ( базовые ячейки) и соединяющий их слой призм ( боковые ячейки). Это семейство включает призмы для 75 непризматических однородных многогранников (из них 18 выпуклых; одна из них, куб-призма, указана выше как тессеракт ). [ необходима цитата ]
Есть 18 выпуклых многогранных призм, созданных из 5 Платоновых и 13 Архимедовых тел, а также для бесконечных семейств трехмерных призм и антипризм . [ необходимая цитата ] Число симметрии многогранной призмы в два раза больше, чем у базового многогранника.
Тетраэдрические призмы: A 3 × A 1 [ править ]
| # | Джонсон Имя (аббревиатура в стиле Bowers) | Картина | Диаграмма Кокстера и символы Шлефли | Ячейки по типу | Количество элементов | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Клетки | Лица | Края | Вершины | |||||||
| 48 | Тетраэдрическая призма (тепе) |  |     {3,3} × {} | 2 3.3.3 | 4 3.4.4 | 6 | 8 {3} 6 {4} | 16 | 8 | |
| 49 | Усеченная четырехгранная призма (туттип) |  | т {3,3} × {} | 2 3.6.6 | 4 3.4.4 | 4 4.4.6 | 10 | 8 {3} 18 {4} 8 {6} | 48 | 24 |
| [51] | Выпрямленная тетраэдрическая призма (такая же, как восьмигранная призма ) (ope) | г {3,3} × {} | 2 3.3.3.3 | 4 3.4.4 | 6 | 16 {3} 12 {4} | 30 | 12 | ||
| [50] | Скошенная тетраэдрическая призма ( такая же, как кубооктаэдрическая призма ) (колпачок) | rr {3,3} × {} | 2 3.4.3.4 | 8 3.4.4 | 6 4.4.4 | 16 | 16 {3} 36 {4} | 60 | 24 | |
| [54] | Кантоусеченная тетраэдрическая призма (То же, что и усеченная восьмигранная призма ) (вершина) | tr {3,3} × {} | 2 4.6.6 | 8 3.4.4 | 6 4.4.4 | 16 | 48 {4} 16 {6} | 96 | 48 | |
| [59] | Плоская тетраэдрическая призма (такая же, как икосаэдрическая призма ) (ipe) |  sr {3,3} × {} | 2 3.3.3.3.3 | 20 3.4.4 | 22 | 40 {3} 30 {4} | 72 | 24 | ||
Октаэдрические призмы: BC 3 × A 1 [ править ]
| # | Джонсон Имя (аббревиатура в стиле Bowers) | Картина | Диаграмма Кокстера и символы Шлефли | Ячейки по типу | Количество элементов | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Клетки | Лица | Края | Вершины | ||||||||
| [10] | Кубическая призма (То же, что и тессеракт ) (То же, что 4-4 дуопризма ) (тес) |  {4,3} × {} | 2 4.4.4 | 6 4.4.4 | 8 | 24 {4} | 32 | 16 | |||
| 50 | Кубооктаэдрическая призма ( такая же, как канеллированная тетраэдрическая призма ) (колпачок) | г {4,3} × {} | 2 3.4.3.4 | 8 3.4.4 | 6 4.4.4 | 16 | 16 {3} 36 {4} | 60 | 24 | ||
| 51 | Октаэдрическая призма (То же, что и выпрямленная тетраэдрическая призма ) (То же, что и треугольная антипризматическая призма ) (ope) | {3,4} × {} | 2 3.3.3.3 | 8 3.4.4 | 10 | 16 {3} 12 {4} | 30 | 12 | |||
| 52 | Ромбокубооктаэдрическая призма (сирскоп) | rr {4,3} × {} | 2 3.4.4.4 | 8 3.4.4 | 18 4.4.4 | 28 год | 16 {3} 84 {4} | 120 | 96 | ||
| 53 | Усеченная кубическая призма (крестики-нолики) | т {4,3} × {} | 2 3.8.8 | 8 3.4.4 | 6 4.4.8 | 16 | 16 {3} 36 {4} 12 {8} | 96 | 48 | ||
| 54 | Усеченная восьмигранная призма (То же, что и усеченная тетраэдрическая призма ) (вершина) | т {3,4} × {} | 2 4.6.6 | 6 4.4.4 | 8 4.4.6 | 16 | 48 {4} 16 {6} | 96 | 48 | ||
| 55 | Усеченная кубооктаэдрическая призма (гироскоп) | tr {4,3} × {} | 2 4.6.8 | 12 4.4.4 | 8 4.4.6 | 6 4.4.8 | 28 год | 96 {4} 16 {6} 12 {8} | 192 | 96 | |
| 56 | Курносая кубическая призма (sniccup) | sr {4,3} × {} | 2 3.3.3.3.4 | 32 3.4.4 | 6 4.4.4 | 40 | 64 {3} 72 {4} | 144 | 48 | ||
Икосаэдрические призмы: H 3 × A 1 [ править ]
| # | Джонсон Имя (аббревиатура в стиле Bowers) | Картина | Диаграмма Кокстера и символы Шлефли | Ячейки по типу | Количество элементов | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Клетки | Лица | Края | Вершины | ||||||||
| 57 | Додекаэдрическая призма (допинг) |  {5,3} × {} | 2 5.5.5 | 12 4.4.5 | 14 | 30 {4} 24 {5} | 80 | 40 | |||
| 58 | Икозододекаэдрическая призма (iddip) | г {5,3} × {} | 2 3.5.3.5 | 20 3.4.4 | 12 4.4.5 | 34 | 40 {3} 60 {4} 24 {5} | 150 | 60 | ||
| 59 | Икосаэдрическая призма ( такая же, как курносая тетраэдрическая призма ) (ipe) | {3,5} × {} | 2 3.3.3.3.3 | 20 3.4.4 | 22 | 40 {3} 30 {4} | 72 | 24 | |||
| 60 | Усеченная додекаэдрическая призма (тиддип) | т {5,3} × {} | 2 3.10.10 | 20 3.4.4 | 12 4.4.5 | 34 | 40 {3} 90 {4} 24 {10} | 240 | 120 | ||
| 61 | Ромбикосододекаэдрическая призма (sriddip) | rr {5,3} × {} | 2 3.4.5.4 | 20 3.4.4 | 30 4.4.4 | 12 4.4.5 | 64 | 40 {3} 180 {4} 24 {5} | 300 | 120 | |
| 62 | Усеченная икосаэдрическая призма (тип) | т {3,5} × {} | 2 5.6.6 | 12 4.4.5 | 20 4.4.6 | 34 | 90 {4} 24 {5} 40 {6} | 240 | 120 | ||
| 63 | Усеченная икосододекаэдрическая призма (griddip) | tr {5,3} × {} | 2 4.6.4.10 | 30 4.4.4 | 20 4.4.6 | 12 4.4.10 | 64 | 240 {4} 40 {6} 24 {5} | 480 | 240 | |
| 64 | Плоскостная додекаэдрическая призма (сниддип) | sr {5,3} × {} | 2 3.3.3.3.5 | 80 3.4.4 | 12 4.4.5 | 94 | 240 {4} 40 {6} 24 {10} | 360 | 120 | ||
Дуопризмы: [p] × [q] [ править ]
3-3 | 3-4 | 3-5 | 3-6 | 3-7 | 3-8 |
4-3 | 4-4 | 4-5 | 4-6 | 4-7 | 4-8 |
5-3 | 5-4 | 5-5 | 5-6 | 5-7 | 5-8 |
6-3 | 6-4 | 6-5 | 6-6 | 6-7 | 6-8 |
7-3 | 7-4 | 7-5 | 7-6 | 7-7 | 7-8 |
8-3 | 8-4 | 8-5 | 8-6 | 8-7 | 8-8 |
Второй - бесконечное семейство однородных дуопризм , произведений двух правильных многоугольников .
Их диаграмма Кокстера имеет вид
Это семейство частично совпадает с первым: когда один из двух «факторных» многоугольников является квадратом, продукт эквивалентен гиперпризме, основание которой представляет собой трехмерную призму. Число симметрии дуопризмы, множителями которой являются p -угольник и q -угольник (« p, q -дупризма»), равно 4 pq, если p ≠ q ; если оба фактора являются p -угольниками, число симметрии равно 8 p 2 . Тессеракт также можно считать 4,4-дуопризмой.
Элементами p, q -дупризмы ( p ≥ 3, q ≥ 3) являются:
- Ячейки: p q -угольные призмы, q p -угольные призмы
- Грани: pq квадратов, p q -угольников, q p -угольников.
- Края: 2 шт.
- Вершины: pq
Не существует единого четырехмерного аналога бесконечному семейству трехмерных антипризм, за исключением большой дуоантипризмы .
Бесконечный набор pq duoprism -- p q -угольные призмы, q p -угольные призмы:
- 3-3 дуопризма -
- 6 треугольных призм - 3-4 дуопризма -- 3 куба, 4 треугольные призмы
- 4-4 дуопризма -- 8 кубиков (как тессеракт )
- 3-5 дуопризма -- 3 пятиугольные призмы, 5 треугольных призм
- 4-5 дуопризма -- 4 пятиугольные призмы, 5 кубиков
- 5-5 дуопризма -- 10 пятиугольных призм
- 3-6 дуопризма -- 3 шестиугольные призмы, 6 треугольных призм
- 4-6 дуопризма -- 4 шестигранные призмы, 6 кубиков
- 5-6 дуопризма -- 5 шестиугольных призм, 6 пятиугольных призм
- 6-6 дуопризма -- 12 шестиугольных призм
- ...
Многоугольные призматические призмы [ править ]
Бесконечный набор однородных призматических призм перекрывается с 4-p дуопризмами: (p≥3) - - p кубики и 4 p -угольные призмы - (все такие же, как 4-p дуопризма )
- Призматическая треугольная призма -- 3 куба и 4 треугольные призмы - (то же, что и 3-4 дуопризмы )
- Квадратная призматическая призма -- 4 кубика и 4 кубика - (то же, что и 4-4 дуопризма, и то же, что и тессеракт )
- Пятиугольная призматическая призма -- 5 кубиков и 4 пятиугольные призмы - (то же, что и 4-5 дуопризмы )
- Гексагональная призматическая призма -- 6 кубиков и 4 гексагональных призмы - (то же, что и 4-6 дуопризмы )
- Призматическая семиугольная призма -- 7 кубов и 4 семиугольных призмы - (то же, что и 4-7 дуопризмы )
- Восьмиугольная призматическая призма -- 8 кубов и 4 восьмиугольные призмы - (то же, что и 4-8 дуопризмы )
- ...
Единая антипризматическая призма [ править ]
Бесконечные наборы однородных антипризматических призм или антидуопризм построены из двух параллельных однородных антипризм : (p≥3) -- 2 p -угольные антипризмы, соединенные 2 p -угольными призмами и 2p треугольными призмами.
| Имя | с {2,2} × {} | с {2,3} × {} | с {2,4} × {} | с {2,5} × {} | с {2,6} × {} | с {2,7} × {} | с {2,8} × {} | s {2, p} × {} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Диаграмма Кокстера |  |  |  |  |  |   |  | |
| Изображение | ||||||||
| Фигура вершины | ||||||||
| Клетки | 2 с {2,2} (2) {2} × {} = {4} 4 {3} × {} | 2 с {2,3} 2 {3} × {} 6 {3} × {} | 2 с {2,4} 2 {4} × {} 8 {3} × {} | 2 с {2,5} 2 {5} × {} 10 {3} × {} | 2 с {2,6} 2 {6} × {} 12 {3} × {} | 2 с {2,7} 2 {7} × {} 14 {3} × {} | 2 с {2,8} 2 {8} × {} 16 {3} × {} | 2 с {2, p} 2 {p} × {} 2 p {3} × {} |
| Сеть |
Р-угольная призма antiprismatic имеет 4p треугольник, 4p квадрат и 4 п-угольник лица. Он имеет 10p ребер и 4p вершины.
Ссылки [ править ]
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Документ 22) HSM Кокстер, регулярные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- JH Conway и MJT Guy : четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г.
- Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры)» .
| Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
| Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
| Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
| Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
| Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
| Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
| Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
| Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
| Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
| Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
| Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений | ||||||||||||