В математике , то теорема Радона-Никодима является результатом в теории меры , выражающее зависимость между двумя показателями , определенными на том же измеримом пространстве . Мера является функцией множества , которая присваивает последовательную величину до измеримых подмножеств измеримого пространства. Примеры меры включают площадь и объем, где подмножества представляют собой наборы точек; или вероятность события, которая представляет собой подмножество возможных результатов в более широком вероятностном пространстве .
Один из способов получить новую меру из уже заданной - присвоить плотность каждой точке пространства, а затем интегрировать по измеряемому подмножеству интересующего. Это можно выразить как
где ν - новая мера, определяемая для любого измеримого подмножества A, а функция f - плотность в данной точке. Интеграл относится к существующей мере μ , которая часто может быть канонической мерой Лебега на Вещественной прямой R или n-мерным евклидовым пространством R n (соответствующим нашим стандартным понятиям длины, площади и объема). Например, если F представлена плотность массы и μ является мерой Лебега в трехмерном пространстве R 3 , то ν ( ) была бы равна суммарной массы в пространственной области А .
Теорема Радона – Никодима по существу утверждает, что при определенных условиях любая мера ν может быть выражена таким образом относительно другой меры μ на том же пространстве. Тогда функция f называется производной Радона – Никодима и обозначается через . [1] Важное применение в теории вероятностей , что приводит к функции плотности вероятности в виде случайной величины .
Теорема названа в честь Иоганна Радона , который доказал теорему для частного случая, когда основным пространством является R n в 1913 году, и Отто Никодима, который доказал общий случай в 1930 году. [2] В 1936 году Ганс Фрейденталь обобщил теорему Радона – Никодима. теорема, доказывающая спектральную теорему Фрейденталя , результат теории пространства Рисса ; здесь как частный случай содержится теорема Радона – Никодима. [3]
Банахово пространство Y называется имеет свойство Радона-Никодима , если обобщение Радона-Никодима теорема верна, с соответствующими изменениями , для функций со значениями в Y . Все гильбертовы пространства обладают свойством Радона – Никодима.
Формальное описание
Теорема Радона – Никодима
Теорема Радона – Никодима включает измеримое пространство на котором определены две σ-конечные меры , а также . В нем говорится, что если (т.е. является абсолютно непрерывна относительно), то существует - измеримая функция , такое, что для любого измеримого множества ,
Производная Радона – Никодима
Функция е , удовлетворяющая выше равенства является однозначно определяется до в ц - нулевого множества , то есть, если г есть еще одна функция , которая удовлетворяет тем же свойством, то е = г μ - почти везде . Функция f обычно записывается и называется производной Радона – Никодима . Выбор обозначения и названия функции отражает тот факт , что функция является аналогом производной в исчислении в том смысле , что она описывает скорость изменения плотности одной меры относительно другой (кстати якобиан используется в многомерной интеграции).
Распространение на подписанные или комплексные меры
Аналогичная теорема может быть доказана для подписанных и комплексных мер , а именно: что если μ является неотрицательным σ-конечной мерой, и ν является конечнозначным знаком или комплексная мера такая , что ν « μ , т.е. ν является абсолютно непрерывна относительно μ , то есть μ - интегрируема в реальном масштабе или комплексная функция г на X , что для любого измеримого множества A ,
Примеры
В следующих примерах множество X является действительным интервалом [0,1], аявляется Борель сигма-алгебра на X .
- длина мера на X .сопоставляет каждое подмножество Y из X , в два раза больше длинами Y . Потом,.
- длина мера на X .присваивает каждое подмножество Y из X , число точек из множества {0,1, ..., 0,9}, которые содержатся в Y . Потом, не является абсолютно непрерывным относительно поскольку он присваивает ненулевую меру точкам нулевой длины. Действительно, производной нет: не существует конечной функции, которая при интегрировании, например, из к , дает для всех .
- , где - мера длины на X и является мерой Дирака на 0 (он присваивает меру 1 любому множеству, содержащему 0, и меру 0 любому другому набору). Потом, абсолютно непрерывна относительно , а также - производная равна 0 при и 1 в . [4]
Характеристики
- Пусть ν , μ и λ - σ-конечные меры на одном и том же пространстве с мерой. Если ν « λ и μ « λ ( ν и μ являются абсолютно непрерывна относительно Л ), то
- Если ν ≪ μ ≪ λ , то
- В частности, если μ ≪ ν и ν ≪ μ , то
- Если μ ≪ λ и g - μ -интегрируемая функция, то
- Если ν - конечная знаковая или комплексная мера, то
Приложения
Теория вероятности
Теорема очень важна для расширения идей теории вероятностей от вероятностных масс и плотностей вероятностей, определенных над действительными числами, до вероятностных мер, определенных над произвольными множествами. Он сообщает, можно ли и как перейти от одной вероятностной меры к другой. В частности, функция плотности вероятности из случайной величины является производной Радона-Никодим индуцированной меры относительно некоторой базовой меры ( как правило, меры Лебега для непрерывных случайных величин ).
Например, его можно использовать для доказательства существования условного ожидания для вероятностных мер. Последнее само по себе является ключевым понятием в теории вероятностей , поскольку условная вероятность - это лишь ее частный случай.
Финансовая математика
Среди других областей финансовая математика широко использует теорему, в частности, с помощью теоремы Гирсанова . Такие изменения вероятностной меры являются краеугольными камнем рационального ценообразования на производные и используются для преобразования фактических вероятностей в тех из нейтральных вероятностей риски .
Информационные расхождения
Если μ и ν - меры над X и μ ≪ ν
- Кульбак-Либлер дивергенции от ц к v , определяется как
- При α > 0, α ≠ 1 расходимость Реньи порядка α от μ к ν определяется как
Предположение об σ-конечности
Теорема Радона – Никодима предполагает, что мера μ, относительно которой вычисляется скорость изменения ν, является σ-конечной. Вот пример, когда μ не σ-конечно и теорема Радона – Никодима не выполняется.
Рассмотрим борелевскую σ-алгебру на вещественной прямой . Пусть подсчет мера , М , из борелевских быть определена как число элементов А , если конечно и ∞ в противном случае. Можно проверить, что μ действительно мера. Оно не является σ -конечным, поскольку не каждое борелевское множество является не более чем счетным объединением конечных множеств. Пусть ν - обычная мера Лебега на этой борелевской алгебре. Тогда, ν абсолютно непрерывна относительно ц , так как для набора один имеет μ ( ) = 0 , только если является пустым множеством , а затем ν ( ) также равен нулю.
Предположим, что выполняется теорема Радона – Никодима, т. Е. Для некоторой измеримой функции f выполняется
для всех борелевских множеств. Принимая A за одноэлементный набор , A = { a } , и используя указанное выше равенство, находим
для всех действительных чисел a . Отсюда следует, что функция f и, следовательно, мера Лебега ν равны нулю; противоречие.
Доказательство
В этом разделе дается теоретико-мерное доказательство теоремы. Существует также функционально-аналитическое доказательство с использованием методов гильбертова пространства, которое впервые было дано фон Нейманом .
Для конечных мер μ и ν идея состоит в том, чтобы рассмотреть функции f с f dμ ≤ dν . Затем супремум всех таких функций вместе с теоремой о монотонной сходимости дает производную Радона – Никодима. Тот факт, что оставшаяся часть μ сингулярна относительно ν, следует из технического факта о конечных мерах. Как только результат установлен для конечных мер, продолжение до σ- конечных, знаковых и сложных мер может быть выполнено естественным образом. Подробности приведены ниже.
Для конечных мер
Построение расширеннозначного кандидата Сначала предположим, что μ и ν - конечнозначные неотрицательные меры. Пусть F - множество таких измеримых функций f : X → [0, ∞] , измеримых по расширенному значению , что:
F ≠ ∅ , так как содержит хотя бы нулевую функцию. Пусть теперь f 1 , f 2 ∈ F и A - произвольное измеримое множество, и определим:
Тогда есть
и , следовательно, тах { е 1 , е 2 } ∈ F .
Теперь пусть { f n } - последовательность функций из F такая, что
Заменив f n максимумом из первых n функций, можно предположить, что последовательность { f n } возрастает. Пусть g - функция с расширенными значениями, определенная как
По Лебегу теоремы сходимости монотонной , один имеет
для каждого А Е Е , и , следовательно, г ∈ F . Кроме того , по построению г ,
Доказательство равенства Теперь, поскольку g ∈ F ,
определяет неотрицательную меру на Σ . Для доказательства равенства покажем, что ν 0 = 0 .
Предположим, что ν 0 ≠ 0 ; тогда, поскольку μ конечно, существует ε > 0 такое, что ν 0 ( X )> ε μ ( X ) . Чтобы вывести противоречие из ν 0 ≠ 0 , мы ищем положительное множество P ∈ Σ для меры со знаком ν 0 - ε μ (т. Е. Измеримое множество P , все измеримые подмножества которого имеют неотрицательную ν 0 - ε μ меру ), где также P имеет положительную μ -меру. Концептуально, мы ищем множество P , где ν 0 ≥ & epsi ; ц в каждой части P . Удобный подход - использовать разложение Хана ( P , N ) для меры со знаком ν 0 - ε μ .
Заметим, что для любого A ∈ Σ выполняется ν 0 ( A ∩ P ) ≥ ε μ ( A ∩ P ) , а значит,
где 1 Р является функцией индикатора из P . Также обратите внимание, что μ ( P )> 0, что и нужно; ибо если μ ( P ) = 0 , то (поскольку ν абсолютно непрерывно по отношению к μ ) ν 0 ( P ) ≤ ν ( P ) = 0 , поэтому ν 0 ( P ) = 0 и
противоречие с тем, что ν 0 ( X )> εμ ( X ) .
Тогда, поскольку также
g + ε 1 P ∈ F и удовлетворяет
Это невозможно ; Таким образом, первоначальное предположение , что v , 0 ≠ 0 должно быть ложным. Следовательно, ν 0 = 0 , что и нужно.
Ограничение конечными значениями Теперь, поскольку g является μ -интегрируемым, множество { x ∈ X : g ( x ) = ∞} является μ - нулевым . Следовательно, если f определяется как
тогда f имеет желаемые свойства.
Единственность Что касается единственности, пусть f , g : X → [0, ∞) - измеримые функции, удовлетворяющие
для каждого измеримого множества A . Затем, г - е является μ - интегрируема и
В частности, для A = { x ∈ X : f ( x )> g ( x )} или { x ∈ X : f ( x ) < g ( x )} . Следует, что
а значит, ( g - f ) + = 0 μ -почти всюду; то же самое верно для ( g - f ) - , и, следовательно, f = g μ -почти везде, как и требовалось.
Для σ -конечных положительных мер
Если μ и ν являются σ -конечной, то X может быть записана в виде объединения последовательности { B п } п из непересекающихся множеств в Е , каждый из которых имеет конечную меру при обоих ц и v , . Для каждого n в конечном случае существует Σ -измеримая функция f n : B n → [0, ∞) такая, что
для каждого Σ -измеримого подмножества A в B n . Сумма из этих функций тогда является требуемой функцией, такой что .
Что касается единственности, поскольку каждая из f n является μ -почти всюду уникальной, то же самое и f .
Для подписанных и сложных мер
Если ν является σ -конечной мерой со знаком, то ее можно разложить по Хану – Жордану как ν = ν + - ν -, где одна из мер конечна. Применяя предыдущий результат к этим двум мерам, мы получаем две функции g , h : X → [0, ∞) , удовлетворяющие теореме Радона – Никодима для ν + и ν - соответственно, по крайней мере одна из которых является μ -интегрируемой ( т. е. его интеграл по μ конечен). Тогда ясно, что f = g - h удовлетворяет требуемым свойствам, включая единственность, поскольку и g, и h единственны с точностью до μ -почти везде равенства.
Если ν - комплексная мера , ее можно разложить как ν = ν 1 + iν 2 , где ν 1 и ν 2 - конечнозначные меры со знаком . Применяя приведенное выше рассуждение, получаем две функции g , h : X → [0, ∞) , удовлетворяющие требуемым свойствам для ν 1 и ν 2 соответственно. Ясно, что искомая функция f = g + ih .
Теорема Лебега о разложении
Теорема Лебега о разложении показывает, что условия теоремы Радона – Никодима могут быть найдены даже в ситуации, которая кажется более общей. Рассмотрим σ-конечную положительную меру на мерном пространстве и σ-конечная мера со знаком на , не предполагая абсолютной преемственности. Тогда существуют уникальные подписанные меры а также на такой, что , , а также . Тогда теорема Радона – Никодима может быть применена к паре.
Смотрите также
- Теорема Гирсанова
- Набор Радон – Никодим
Заметки
- ^ Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 419–427. ISBN 0-471-00710-2.
- ^ Никодим, О. (1930). "Sur une généralisation des intégrales де MJ Radon" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 15 : 131–179. DOI : 10,4064 / фм-15-1-131-179 . JFM 56.0922.02 . Проверено 30 января 2018 .
- ^ Заанен, Адриан К. (1996). Введение в теорию операторов в пространствах Рисса . Springer . ISBN 3-540-61989-5.
- ^ «Вычисление производной Радона-Никодима» . Обмен стеками . 7 апреля 2018.
Рекомендации
- Ланг, Серж (1969). Анализ II: Реальный анализ . Эддисон-Уэсли. Содержит доказательство того, что векторные меры принимают значения в банаховом пространстве.
- Royden, HL ; Фитцпатрик, PM (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Пирсон.Содержит наглядное доказательство в случае, если мера ν не σ-конечна.
- Шилов Г.Е .; Гуревич, БЛ (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Ричард А. Сильверман, пер. Dover Publications . ISBN 0-486-63519-8.
- Stein, Elias M .; Шакарчи, Рами (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства . Принстонские лекции по анализу. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11386-9. Содержит доказательство обобщения.
- Тешл, Джеральд . «Темы реального и функционального анализа» . (конспект лекций).
Эта статья включает материал из теоремы Радона – Никодима о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .