Теория представлений
Теория представлений — это раздел математики , который изучает абстрактные алгебраические структуры , представляя их элементы как линейные преобразования векторных пространств , и изучает модули над этими абстрактными алгебраическими структурами. [1] [2] По сути, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы матрицами и их алгебраическими операциями (например, сложение матриц , умножение матриц). Теория матриц и линейных операторов хорошо изучена, поэтому представление более абстрактных объектов в терминах знакомых объектов линейной алгебры помогает подобрать свойства и иногда упростить вычисления в более абстрактных теориях. [ нужна ссылка ]
К алгебраическим объектам, поддающимся такому описанию, относятся группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Наиболее известной из них (и исторически первой) является теория представления групп , в которой элементы группы представлены обратимыми матрицами таким образом, что групповая операция является матричным умножением. [3] [4]
Теория представлений — полезный метод, потому что он сводит проблемы абстрактной алгебры к задачам линейной алгебры — предмета, который хорошо изучен. [5] Кроме того, векторное пространство, на котором представлена группа (например), может быть бесконечномерным, и, допуская, например, что это гильбертово пространство , методы анализа могут быть применены к теории групп. [6] [7] Теория представлений также важна в физике , потому что, например, она описывает, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему. [8]
Теория представлений широко распространена во всех областях математики по двум причинам. Во-первых, применение теории представлений разнообразно: [9] Помимо влияния на алгебру, теория представлений:
Во-вторых, существуют различные подходы к теории представлений. Одни и те же объекты можно изучать методами алгебраической геометрии , теории модулей , аналитической теории чисел , дифференциальной геометрии , теории операторов , алгебраической комбинаторики и топологии . [13]
Успех теории представлений привел к многочисленным обобщениям. Один из самых общих находится в теории категорий . [14] Алгебраические объекты, к которым применяется теория представлений, можно рассматривать как частные виды категорий, а представления — как функторы из категории объектов в категорию векторных пространств . [4] Это описание указывает на два очевидных обобщения: во-первых, алгебраические объекты могут быть заменены более общими категориями; во-вторых, целевая категория векторных пространств может быть заменена другими хорошо понятными категориями.
