В квантовой механике и квантовой теории поля , поле Шредингера , названный в честь Эрвина Шредингера , является квантовое поле , которое подчиняется уравнению Шредингера . [1] В то время как любая ситуация описывается полем Шредингера также может быть описана с помощью многих тел уравнения Шредингера для одинаковых частиц, теория поля является более подходящей для ситуаций , когда число частиц меняются.
Поле Шредингера также является классическим пределом квантового поля Шредингера, классической волны, которая удовлетворяет уравнению Шредингера. В отличие от квантово-механической волновой функции, если между частицами есть взаимодействия, уравнение будет нелинейным . Эти нелинейные уравнения описывают классический волновой предел системы взаимодействующих одинаковых частиц.
Интеграл по путям поля Шредингера также известен как интеграл по путям когерентных состояний, потому что само поле является оператором уничтожения, собственные состояния которого можно рассматривать как когерентные состояния гармонических колебаний мод поля.
Поля Шредингера полезны для описания конденсации Бозе – Эйнштейна , уравнения сверхпроводимости Боголюбова – де Жена , сверхтекучести и теории многих тел в целом. Они также являются полезным альтернативным формализмом для нерелятивистской квантовой механики.
Поле Шредингера - это нерелятивистский предел поля Клейна – Гордона .
Шредингера поле является квантовым полем которого Quanta подчиняется уравнение Шредингера . В классическом пределе его можно понимать как квантованное волновое уравнение конденсата Бозе-Эйнштейна или сверхтекучей жидкости .
Свободное поле
Поле Шредингера имеет лагранжиан свободного поля
Когда комплекснозначное поле в интеграле по путям или, что то же самое, оператор с каноническими коммутационными соотношениями, он описывает набор идентичных нерелятивистских бозонов. Когдаполе со значениями Грассмана или, что то же самое, оператор с каноническими антикоммутационными соотношениями, поле описывает идентичные фермионы.
Внешний потенциал
Если частицы взаимодействуют с внешним потенциалом , взаимодействие вносит локальный вклад в действие:
Если обычному уравнению Шредингера для V известны собственные энергетические состояния с энергиями , то поле в действии можно повернуть в диагональный базис разложением по модам:
Действие становится:
который является интегралом по траекториям по положению и импульсу для набора независимых гармонических осцилляторов.
Чтобы увидеть эквивалентность, обратите внимание, что действие, разложенное на действительную и мнимую части, выглядит следующим образом:
после интеграции по частям. Интеграция более дает действие
который, изменяя масштаб , - действие гармонического осциллятора с частотой .
Парный потенциал
Когда частицы взаимодействуют с парным потенциалом , взаимодействие является нелокальным вкладом в действие:
Парный потенциал - это нерелятивистский предел релятивистского поля, связанного с электродинамикой. Без учета распространяющихся степеней свободы взаимодействие между нерелятивистскими электронами является кулоновским отталкиванием. В измерениях 2 + 1 это:
В сочетании с внешним потенциалом для моделирования классических положений ядер поле Шредингера с этим парным потенциалом описывает почти всю физику конденсированного состояния. Исключение составляют такие эффекты, как сверхтекучесть, где важна квантово-механическая интерференция ядер, и электроны внутренней оболочки, где движение электронов может быть релятивистским.
Нелинейное уравнение Шредингера.
Частный случай взаимодействия дельта-функции широко изучается и известно как нелинейное уравнение Шредингера . Поскольку взаимодействия всегда происходят, когда две частицы занимают одну и ту же точку, действие для нелинейного уравнения Шредингера является локальным:
Сила взаимодействия требует перенормировки в размерностях больше 2, а в двух измерениях имеет логарифмическую расходимость. В любых измерениях и даже при степенном расхождении теория определена хорошо. Если частицы являются фермионами, взаимодействие исчезает.
Многотельные потенциалы
Потенциалы могут включать вклад многих тел. Тогда взаимодействующий лагранжиан:
Эти типы потенциалов важны для некоторых эффективных описаний плотноупакованных атомов. Взаимодействия более высокого порядка становятся все менее и менее важными.
Канонический формализм
Каноническая связь импульса с полем является
Канонические коммутационные соотношения подобны независимому гармоническому осциллятору в каждой точке:
Гамильтониан поля равен
а уравнение поля для любого взаимодействия является нелинейной и нелокальной версией уравнения Шредингера. Для парных взаимодействий:
Теория возмущений
Расширение диаграмм Фейнмана называется теорией возмущений многих тел . Распространителем является
Вершиной взаимодействия является преобразование Фурье парного потенциала. Во всех взаимодействиях количество входящих и исходящих линий равно.
Идентичные частицы
Уравнение Шредингера многих тел для идентичных частиц описывает эволюцию во времени волновой функции многих тел ψ ( x 1 , x 2 ... x N ), которая представляет собой амплитуду вероятности для N частиц иметь перечисленные положения. Уравнение Шредингера для ψ:
с гамильтонианом
Поскольку частицы неразличимы, волновая функция имеет некоторую симметрию относительно положений переключения. Либо
- ,
- .
Поскольку частицы неразличимы, потенциал V должен оставаться неизменным при перестановках. Если
тогда должно быть так, что . Если
тогда и так далее.
В формализме уравнения Шредингера ограничения на потенциал являются специальными, и предел классической волны труднодостижим. Он также имеет ограниченную полезность, если система открыта для окружающей среды, потому что частицы могут когерентно входить и уходить.
Нерелятивистское пространство Фока
Поле Шредингера определяется путем расширения гильбертова пространства состояний, чтобы включить конфигурации с произвольным числом частиц. Практически полной базой для этого набора состояний является сборник:
помечены общим количеством частиц и их положением. Произвольное состояние с частицами в разделенных положениях описывается суперпозицией состояний этой формы.
В этом формализме имейте в виду, что любые два состояния, позиции которых можно переставлять друг в друга, на самом деле одинаковы, поэтому области интеграции должны избегать двойного счета. Также имейте в виду, что состояния с более чем одной частицей в одной точке еще не определены. Количество - это амплитуда отсутствия частиц, а ее абсолютный квадрат - это вероятность того, что система находится в вакууме.
Чтобы воспроизвести описание Шредингера, внутренний продукт на основе состояний должен быть
и так далее. Поскольку обсуждение бозонов и фермионов формально почти идентично, хотя физические свойства различны, отсюда частицы будут бозонами.
В этом гильбертовом пространстве есть естественные операторы. Один оператор позвонил, - оператор, вводящий дополнительную частицу в точке x. Он определяется для каждого базового состояния:
с небольшой двусмысленностью, когда частица уже находится в точке x.
Другой оператор удаляет частицу в точке x и называется . Этот оператор является сопряженным с оператором. Так как не имеет матричных элементов, которые связаны с состояниями без частицы в x, должен давать ноль при воздействии на такое состояние.
Базис положения - неудобный способ понять совпадающие частицы, потому что состояния с частицей, локализованной в одной точке, имеют бесконечную энергию, поэтому интуиция затруднена. Чтобы увидеть, что происходит, когда две частицы находятся в одной и той же точке, математически проще всего превратить пространство в дискретную решетку или преобразовать Фурье поле в конечном объеме.
Оператор
создает суперпозицию состояний одной частицы в состоянии плоской волны с импульсом k, другими словами, создает новую частицу с импульсом k. Оператор
аннигилирует частицу с импульсом k.
Если потенциальная энергия взаимодействия бесконечно удаленных частиц обращается в нуль, преобразованные операторы Фурье в бесконечном объеме создают невзаимодействующие состояния. Состояния бесконечно разбросаны, и вероятность того, что частицы находятся поблизости, равна нулю.
Матричные элементы для операторов между несовпадающими точками восстанавливают матричные элементы преобразования Фурье между всеми режимами:
где дельта-функция - это либо дельта-функция Дирака, либо дельта Кронекера , в зависимости от того, является ли объем бесконечным или конечным.
Коммутационные соотношения теперь полностью определяют операторы, и когда пространственный объем конечен, нет концептуальных препятствий для понимания совпадающих импульсов, поскольку импульсы дискретны. В дискретном импульсном базисе базисные состояния следующие:
где n - количество частиц в каждом импульсе. Для фермионов и анионов число частиц при любом импульсе всегда равно нулю или единице. Операторы имеют гармонический осциллятор, как матричные элементы между состояниями, независимо от взаимодействия:
Чтобы оператор
подсчитывает общее количество частиц.
Теперь легко увидеть, что матричные элементы а также имеют также коммутационные соотношения гармонических осцилляторов.
Так что действительно нет проблем с совпадающими частицами в позиционном пространстве.
Оператор который удаляет и заменяет частицу, действует как датчик, определяющий, присутствует ли частица в точке x. Оператордействует, чтобы умножить состояние на градиент волновой функции многих тел. Оператор
действует, чтобы воспроизвести правую часть уравнения Шредингера при воздействии на любое базисное состояние, так что
выполняется как операторное уравнение. Поскольку это верно для произвольного состояния, это верно и без.
Чтобы добавить взаимодействия, добавьте нелинейные члены в уравнения поля. Форма поля автоматически гарантирует, что потенциалы подчиняются ограничениям симметрии.
Полевой гамильтониан
Гамильтониан поля, воспроизводящий уравнения движения, имеет вид
Уравнения движения Гейзенберга для этого оператора воспроизводят уравнение движения для поля.
Чтобы найти классический полевой лагранжиан, примените преобразование Лежандра к классическому пределу гамильтониана.
Хотя это классически верно, квантово-механическое преобразование не является полностью концептуально простым, поскольку интеграл по путям вычисляется по собственным значениям операторов ψ, которые не являются эрмитовыми и чьи собственные значения не ортогональны. Поэтому интеграл по путям по состояниям поля кажется наивным, чтобы переоценить. Это не так, потому что член производной по времени в L включает перекрытие между различными состояниями поля.
Отношение к месторождению Клейн-Гордон
Нерелятивистский предел как любого поля Клейна-Гордона - это два поля Шредингера, представляющие частицу и античастицу. Для ясности в этом выводе сохранены все единицы и константы. Из операторов уничтожения импульсного пространства релятивистского поля, определяется
- ,
такой, что . Определение двух «нерелятивистских» полей а также ,
- ,
которые исключают быстро осциллирующую фазу из-за массы покоя плюс след релятивистской меры, плотность лагранжиана становится
где члены пропорциональны представлены эллипсами и исчезают в нерелятивистском пределе. Когда четырехступенчатый градиент расширяется, полное расхождение игнорируется и члены пропорциональнытакже исчезают в нерелятивистском пределе. После интеграции по частям,
Окончательный лагранжиан принимает вид [2]
- .