Часть серии по |
Квантовая механика |
---|
В квантовой механике потенциал дельты является потенциальной ямой математически описывается дельта - функция Дирака - это обобщенная функция . Качественно он соответствует потенциалу, который везде равен нулю, кроме одной точки, где он принимает бесконечное значение. Это можно использовать для моделирования ситуаций, когда частица может свободно перемещаться в двух областях пространства с барьером между двумя областями. Например, электрон может почти свободно перемещаться в проводящем материале, но если две проводящие поверхности расположены близко друг к другу, граница раздела между ними действует как барьер для электрона, который можно аппроксимировать дельта-потенциалом.
Потенциал дельты также является предельным случаем из конечного потенциала скважины , которое получается , если один поддерживает продукт ширины скважины и потенциальные постоянная при уменьшении ширины колодца и увеличения потенциала.
В этой статье для простоты рассматривается только одномерная потенциальная яма, но анализ можно расширить до других измерений.
Единый дельта-потенциал [ править ]
Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции ψ ( x ) частицы в одном измерении в потенциале V ( x ) имеет вид
где ħ - приведенная постоянная Планка, а E - энергия частицы.
Дельта-потенциал - это потенциал
где δ ( x ) - дельта-функция Дирака .
Это называется дельта-потенциальной ямой, если λ отрицательно, и дельта-потенциальным барьером, если λ положительно. Для простоты определено, что дельта возникает в начале координат; сдвиг аргумента дельта-функции не меняет никаких результатов обработки.
Решение уравнения Шредингера [ править ]
Потенциал разделяет пространство на две части ( x <0 и x > 0). В каждой из этих частей потенциальная энергия равна нулю, и уравнение Шредингера сводится к
это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами , решение которых являются линейными комбинациями из электронной IKX и е - IKX , где волновое число K связан с энергией по
В общем, из-за наличия дельта-потенциала в начале координат коэффициенты решения не обязательно должны быть одинаковыми в обоих полупространствах:
где в случае положительных энергий (действительное k ) e ikx представляет волну, бегущую вправо, а e - ikx - волну, бегущую влево.
Связь между коэффициентами получается, предполагая, что волновая функция непрерывна в начале координат,
Второе соотношение можно найти, изучая производную волновой функции. Обычно мы могли бы также наложить дифференцируемость в начале координат, но это невозможно из-за дельта-потенциала. Однако, если мы проинтегрируем уравнение Шредингера вокруг x = 0 на интервале [- ε , + ε ]:
В пределе ε → 0 правая часть этого уравнения обращается в нуль; левая часть становится
потому что
Подставляя определение ψ в это выражение, получаем
Таким образом, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты
Связанное состояние (E <0) [ править ]
В любом одномерном притягивающем потенциале будет связанное состояние . Чтобы найти его энергию, заметим, что для E <0, k = i √ 2 m | E | / ħ = iκ является мнимым, и волновые функции, которые колебались при положительных энергиях в приведенном выше вычислении, теперь являются экспоненциально возрастающими или убывающими функциями x (см. выше). Требование, чтобы волновые функции не расходились на бесконечности, исключает половину членов: A r = B l = 0. Тогда волновая функция равна
Из граничных условий и условий нормировки следует, что
откуда следует, что λ должно быть отрицательным, т.е. связанное состояние существует только для ямы, а не для барьера. Преобразование Фурье этой волновой функции является функцией Лоренца .
Тогда энергия связанного состояния равна
Рассеяние (E> 0) [ править ]
Для положительных энергий частица может свободно перемещаться либо в полупространстве: x <0, либо x > 0. Она может рассеиваться на потенциале дельта-функции.
Квантовый случай можно изучить в следующей ситуации: частица, падающая на барьер с левой стороны ( A r ) . Он может отражаться ( A l ) или передаваться ( B r ) . Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания при падении слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения A r = 1 (падающая частица), A l = r (отражение), B l = 0 (нет входящей частицы справа) и B r = t (передача), и решим относительно rи t, хотя у нас нет никаких уравнений относительно t . Результат
Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. В результате существует ненулевая вероятность
для отражения частицы. Это не зависит от знака λ , то есть барьер имеет такую же вероятность отражения частицы, как и яма. Это существенное отличие от классической механики, где вероятность отражения будет равна 1 для барьера (частица просто отскакивает) и 0 для ямы (частица проходит через яму без помех).
Таким образом, вероятность передачи равна
- .
Замечания и заявление [ править ]
Представленный выше расчет на первый взгляд может показаться нереальным и малополезным. Однако она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем.
Один из таких примеров касается границ раздела двух проводящих материалов. В объеме материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой m . Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой можно затем смоделировать с помощью локального дельта-потенциала, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.
Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер возникает из-за наличия воздуха между концом СТМ и нижележащим объектом. Прочность барьера связана с тем, что разделение тем сильнее, чем дальше друг от друга они находятся. Для более общей модели этой ситуации см. Конечный потенциальный барьер (QM) . Дельта-функция потенциального барьера является предельным случаем рассматриваемой здесь модели для очень высоких и узких барьеров.
Вышеупомянутая модель одномерна, а пространство вокруг нас трехмерно. Таким образом, фактически следует решать уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только в одном направлении координат и трансляционно инвариантны в других направлениях. Тогда уравнение Шредингера может быть сведено к рассматриваемому здесь случаю с помощью анзаца для волновой функции данного типа .
В качестве альтернативы можно обобщить дельта-функцию, чтобы она существовала на поверхности некоторой области D (см. Лапласиан индикатора ). [1]
Дельта - функция модель фактически является одномерной версия атома водорода в соответствии с размерным масштабированием метода , разработанного группой Дадли Р. Herschbach [2] функциональная модель дельты становится особенно полезна при двухъямных моделях функции Дирака Delta , которая представляет собой одномерную версию иона молекулы водорода , как показано в следующем разделе.
Двойной дельта-потенциал [ править ]
Двухъямная дельта-функция Дирака моделирует двухатомную молекулу водорода с помощью соответствующего уравнения Шредингера:
где сейчас потенциал:
где - «межъядерное» расстояние с пиками дельта-функции Дирака (отрицательными), расположенными в точке x = ± R / 2 (показано на диаграмме коричневым цветом). Принимая во внимание связь этой модели с ее трехмерным молекулярным аналогом, мы используем атомные единицы и набор . Вот формально регулируемый параметр. Для случая с одной скважиной мы можем вывести " анзац " для решения:
Согласование волновой функции на пиках дельта-функции Дирака дает определитель:
Таким образом, оказывается, что он подчиняется псевдоквадратичному уравнению:
который имеет два решения . Для случая равных зарядов (симметричный гомоядерный случай) λ = 1, и псевдоквадратичный сводится к:
Случай «+» соответствует волновой функции, симметричной относительно средней точки (показанной красным на диаграмме), где A = B и называется gerade . Соответственно, случай «-» - это волновая функция, которая антисимметрична относительно средней точки, где A = - B называется ungerade (показана зеленым на диаграмме). Они представляют собой приближение двух низших дискретных энергетических состояний трехмерного объекта и полезны при его анализе. Аналитические решения для собственных значений энергии для случая симметричных зарядов даются следующим образом: [3]
где W является стандартной функцией Ламберта Вт . Обратите внимание, что самая низкая энергия соответствует симметричному решению . В случае неравных зарядов и в этом отношении трехмерной молекулярной проблемы решения даются путем обобщения W-функции Ламберта (см. Раздел об обобщении W-функции Ламберта и ссылки здесь).
Один из самых интересных случаев - это когда qR ≤ 1, что приводит к . Таким образом, имеется нетривиальное решение связанного состояния с E = 0. Для этих конкретных параметров проявляется много интересных свойств, одним из которых является необычный эффект, заключающийся в том, что коэффициент передачи равен единице при нулевой энергии.[4]
См. Также [ править ]
- Бесплатная частица
- Частица в коробке
- Конечная потенциальная яма
- W функция Ламберта
- Частица в кольце
- Частица в сферически-симметричном потенциале
- Квантовый гармонический осциллятор
- Атом водорода или водородоподобный атом
- Кольцевой волновод
- Частица в одномерной решетке (периодический потенциал)
- Молекулярный ион водорода
- Метод Голштино – Селедки
- Лапласиан индикатора
- Список квантово-механических систем с аналитическими решениями
Ссылки [ править ]
- ^ Ланге, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и лапласиан индикатора», Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 1–49, arXiv : 1302.0864 , Bibcode : 2012JHEP ... 11 ..032L , DOI : 10.1007 / JHEP11 (2012) 032
- ^ DR Herschbach , JS Avery, and O. Goscinski (eds.), Dimensional Scaling in Chemical Physics , Springer, (1992). [1]
- ^ TC Scott, JF Babb, A. Dalgarno и John D. Morgan III, "Расчет обменных сил: общие результаты и конкретные модели", J. Chem. Phys. , 99, pp. 2841-2854, (1993). [2]
- ^ W. ван Дейк и KA Kiers, "Время задержки в простых одномерных системах", Am. J. Phys. 60, стр. 520-527, (1992). [3]
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. С. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
- Для трехмерного случая ищите «потенциал дельта-оболочки»; далее см. К. Готфрид (1966), Квантовая механика Том I: Основы , глава III, раздел 15.
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с потенциалом дельты на Викискладе?