Изгиб
В математике кривая (также называемая изогнутой линией в старых текстах) — это объект, похожий на линию , но не обязательно прямой .
Интуитивно кривую можно представить как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в «Началах» Евклида : «[Изогнутая] линия [а] есть […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без ширины и глубины, и есть не что иное, как течение или течение точки, которая [...] оставит после своего воображаемого движения некоторый остаток в длину, лишенный какой-либо ширины». [1]
Это определение кривой было формализовано в современной математике следующим образом: кривая — это образ интервала в топологическом пространстве с помощью непрерывной функции . В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая — параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми , чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых в математике; заметными исключениями являются кривые уровня (которые представляют собой союзыкривых и изолированных точек) и алгебраических кривых (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .
Тем не менее класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые не выглядят так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривых заполнения пространства и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто считается дифференцируемой , и тогда кривая называется дифференцируемой кривой .
Плоская алгебраическая кривая — это множество нулей многочлена от двух неопределённых . В более общем смысле алгебраическая кривая - это нулевое множество конечного множества многочленов, которое удовлетворяет дополнительному условию быть алгебраическим многообразием размерности один. Если коэффициенты полиномов принадлежат некоторому полю k , говорят, что кривая определена над k . В общем случае реальной алгебраической кривой , где k — поле действительных чисел , алгебраическая кривая — это конечное объединение топологических кривых. Когдарассматриваются комплексные нули, имеется комплексная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью , и часто называется римановой поверхностью . Алгебраические кривые, определенные в других областях, хотя и не являются кривыми в обычном смысле, широко изучались. В частности, в современной криптографии широко используются алгебраические кривые над конечным полем .
Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математического изучения. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. [2] Кривые или, по крайней мере, их графические представления легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.
