Таблица ньютоновских рядов

В математике , ньютоновская серия , названная в честь Исаака Ньютона , представляет собой сумма по последовательности записывается в виде${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {s \ choose n} a_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} {\ frac {(-s) _ {n}} {n!}} a_ {n}}$

куда

${\ displaystyle {s \ choose n}}$

- биномиальный коэффициент и - возрастающий факториал . Ньютоновские ряды часто появляются в отношениях формы, наблюдаемой в умбральном исчислении .${\ displaystyle (s) _ {n}}$

Список [ править ]

Обобщенная биномиальная теорема дает

${\displaystyle (1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .}$

Доказательство этого тождества может быть получено, если показать, что оно удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle (1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.}$

Функция дигаммы :

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.}$

В числе Стирлинга второго рода определяется конечной сумма

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.}$

Эта формула является частным случаем к - я прямой разности в мономиальном х ^п , измеренных при  х  = 0:

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Связанное с этим тождество составляет основу интеграла Нёрлунда – Райса :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{n-k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n),s\notin \{0,\ldots ,n\}}$

где - гамма-функция, а - бета-функция .${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle B(x,y)}$

В тригонометрических функциях имеют Теневое тождество:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}}$

и

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}}$

Темная природа этих тождеств становится немного яснее, если записать их в терминах падающего факториала . Первые несколько членов серии грехов:${\displaystyle (s)_{n}}$

${\displaystyle s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots }$

который можно распознать как сходный с рядом Тейлора для sin  x , где ( s ) _n стоит на месте  x ⁿ .

В аналитической теории чисел интересно подвести итог

${\displaystyle \!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},}$

где B - числа Бернулли . Используя производящую функцию, ее борелевскую сумму можно вычислить как

${\displaystyle \sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.}$

Общее соотношение дает ряд Ньютона

${\displaystyle \sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),}$^{[ необходима цитата ]}

где это дзета - функция Гурвица и многочлен Бернулли . Ряд не сходится, тождество формально выполнено.${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle B_{k}(x)}$

Другая идентичность - это то, для чего сходится . Это следует из общего вида ряда Ньютона для равноотстоящих узлов (когда он существует, т.е. сходится)${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},}$${\displaystyle x>a}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}$

См. Также [ править ]

• Биномиальное преобразование
• Список факториальных и биномиальных тем
• Интеграл Норлунда – Райса
• Теорема Карлсона

Ссылки [ править ]

• Филипп Флажолет и Роберт Седжвик, « Преобразования Меллина и асимптотики: конечные разности и интегралы Райса ^{[ постоянная мертвая связь ]} », Теоретическая информатика 144 (1995) стр 101–124.