Уравнение Уиллера – ДеВитта [1] - это уравнение поля, приписываемое Джону Арчибальду Уиллеру и Брайсу ДеВитту, которое пытается математически объединить идеи квантовой механики и общей теории относительности , шаг к теории квантовой гравитации . В этом подходе время играет роль, отличную от той, которую оно играет в нерелятивистской квантовой механике, что приводит к так называемой « проблеме времени ». [2] Более конкретно, уравнение описывает квантовую версию гамильтоновой связи с использованием метрических переменных. Его коммутационные отношения сограничения диффеоморфизма порождают «группу» Бергмана – Комара (которая является группой диффеоморфизмов на оболочке ).
Квантовая гравитация
Все определенные и понятые описания струнной / М-теории имеют дело с фиксированными асимптотическими условиями на фоновом пространстве-времени. На бесконечности «правильный» [ необходимо пояснение ] выбор временной координаты «t» определяется (поскольку пространство-время асимптотично некоторому фиксированному пространству-времени) в каждом описании, поэтому существует предпочтительное определение гамильтониана ( с ненулевыми собственными значениями) для развития состояний системы вперед во времени. Это избавляет от необходимости динамически генерировать измерение времени с помощью уравнения Уиллера – ДеВитта. Таким образом, уравнение пока не играет роли в теории струн.
Может существовать способ в стиле Уиллера – ДеВитта для описания динамики объема квантовой теории гравитации. Некоторые эксперты [ кто? ] полагают, что это уравнение все еще имеет потенциал для понимания квантовой гравитации; однако спустя десятилетия после того, как уравнение было опубликовано, совершенно другие подходы, такие как теория струн, принесли физикам ясные результаты о квантовой гравитации. [ необходима цитата ]
Мотивация и предыстория
В канонической гравитации пространство-время расслаивается на пространственноподобные подмногообразия. Трехметрика (т. Е. Метрика на гиперповерхности) есть и дано
В этом уравнении латинские индексы проходят над значениями 1, 2, 3, а греческие индексы - над значениями 1, 2, 3, 4. Трехметрическая система. - поле, и обозначим его сопряженные импульсы как . Гамильтониан - это ограничение (характерное для большинства релятивистских систем)
где а также - метрика Уиллера – ДеВитта.
Квантование «снимает шляпу» с импульсными и полевыми переменными; то есть функции чисел в классическом случае становятся операторами, которые изменяют функцию состояния в квантовом случае. Таким образом, мы получаем оператор
Работая в "пространстве позиций", эти операторы
Оператор можно применить к общему волновому функционалу метрики где:
что даст набор ограничений среди коэффициентов . Это означает, что амплитуды длягравитоны в определенных положениях связаны с амплитудами для разного количества гравитонов в разных положениях. Или можно было бы использовать двухпольный формализм, рассматривая как независимое поле, так что волновая функция .
Математический формализм
Уравнение Уиллера – ДеВитта [1] является функционально-дифференциальным уравнением. В общем случае это плохо определено, но очень важно в теоретической физике , особенно в квантовой гравитации . Это функционально-дифференциальное уравнение в пространстве трехмерных пространственных метрик. Уравнение Уиллера – ДеВитта имеет вид оператора, действующего на волновой функционал; в космологии функционал сводится к функции. В отличие от общего случая, уравнение Уиллера – ДеВитта хорошо определено в минисуперпространствах, подобных конфигурационному пространству космологических теорий. Примером такой волновой функции является состояние Хартла – Хокинга . Брайс ДеВитт впервые опубликовал это уравнение в 1967 году под названием «уравнение Эйнштейна – Шредингера»; Позднее оно было переименовано в «уравнение Уиллера – ДеВитта». [3]
Гамильтонова связь
Проще говоря, уравнение Уиллера – ДеВитта говорит
где является гамильтонова ограничение в квантуется ОТО иобозначает волновую функцию Вселенной . В отличие от обычной квантовой теории поля или квантовой механики, гамильтониан является ограничением первого класса для физических состояний. У нас также есть независимое ограничение для каждой точки пространства.
Хотя символы а также может показаться знакомым, их интерпретация в уравнении Уиллера – ДеВитта существенно отличается от нерелятивистской квантовой механики. больше не является пространственной волновой функцией в традиционном смысле комплекснозначной функции, которая определена на трехмерной пространственно-подобной поверхности и нормирована на единицу. Напротив, это функционал конфигураций полей во всем пространстве-времени. Эта волновая функция содержит всю информацию о геометрии и содержании вещества Вселенной.по-прежнему является оператором, действующим в гильбертовом пространстве волновых функций, но это не то же самое гильбертово пространство, как в нерелятивистском случае, и гамильтониан больше не определяет эволюцию системы, поэтому уравнение Шредингера больше не применяется. Это свойство известно как безвременье. Возрождение времени требует инструментов декогеренции и операторов часов [ необходима цитата ] (или использования скалярного поля ).
Ограничение импульса
Нам также необходимо дополнить гамильтонову связь ограничениями на импульс
связанной с инвариантностью пространственного диффеоморфизма.
В приближении минисуперпространства у нас есть только одна гамильтонова связь (вместо бесконечного их множества).
Фактически, принцип общей ковариантности в общей теории относительности подразумевает, что глобальной эволюции как таковой не существует; времяэто просто метка, которую мы присваиваем одной из координатных осей. Таким образом, то, что мы понимаем под эволюцией любой физической системы во времени, является просто калибровочным преобразованием , аналогичным преобразованию QED, индуцированному локальным калибровочным преобразованием U (1). где играет роль местного времени. Роль гамильтониана состоит в том, чтобы просто ограничить пространство «кинематических» состояний Вселенной пространством «физических» состояний - тех, которые следуют по калибровочным орбитам. По этой причине мы называем это «гамильтоновой связью». При квантовании физические состояния становятся волновыми функциями, лежащими в ядре гамильтонова оператора.
В общем, гамильтониан [ требуется пояснение ] исчезает для теории с общей ковариантностью или масштабной инвариантностью по времени.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ а б ДеВитт, BS (1967). «Квантовая теория гравитации. I. Каноническая теория». Phys. Ред. 160 (5): 1113–1148. Bibcode : 1967PhRv..160.1113D . DOI : 10.1103 / PhysRev.160.1113 .
- ^ Блог, The Physics arXiv (23 октября 2013 г.). «Квантовый эксперимент показывает, как время« выходит »из запутанности» . medium.com .
- ^ Ровелли, Карло (23 января 2001 г.). «Заметки для краткой истории квантовой гравитации» . Представлено на 9-й встрече Марселя Гроссмана в Риме, июль 2000 г. arXiv : gr-qc / 0006061 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )CS1 maint: location ( ссылка )
- Герберт В. Хамбер и Рут М. Уильямс (2011). «Дискретное уравнение Уиллера-ДеВитта». Physical Review D . 84 (10): 104033. arXiv : 1109.2530 . Bibcode : 2011PhRvD..84j4033H . DOI : 10.1103 / PhysRevD.84.104033 . S2CID 4812404 .
- Герберт В. Хамбер, Рэйко Торими и Рут М. Уильямс (2012). «Уравнение Уиллера-ДеВитта в 2 + 1 измерениях». Physical Review D . 86 (8): 084010. arXiv : 1207.3759 . Bibcode : 2012PhRvD..86h4010H . DOI : 10.1103 / PhysRevD.86.084010 . S2CID 119229306 .