В калибровочной теории , А петля Вильсона ( по имени Kenneth G. Wilson ) представляет собой датчик-инвариантного наблюдаемый получается из голономии в связи с калибровочным вокруг заданного контура. В классической теории набор всех луп Вильсона содержит достаточно информации, чтобы восстановить калибровочную связность, вплоть до калибровочного преобразования . [1]
Обзор
В квантовой теории поля определение наблюдаемых петель Вильсона как истинных операторов в пространствах Фока является математически тонкой проблемой и требует регуляризации , обычно путем оснащения каждой петли оснащением . Действие операторов петли Вильсона интерпретируется как создание элементарного возбуждения квантового поля, локализованного на петле. Таким образом, фарадеевские «магнитные трубки» становятся элементарными возбуждениями квантового электромагнитного поля.
Петли Вильсона были введены в 1974 г. в попытке непертурбативной формулировки квантовой хромодинамики (КХД) или, по крайней мере, в качестве удобного набора переменных для работы с сильно взаимодействующим режимом КХД. [2] Проблема удержания , для решения которой были разработаны петли Вильсона, остается нерешенной по сей день.
Тот факт, что сильно связанные квантовые калибровочные теории поля имеют элементарные непертурбативные возбуждения, которые представляют собой петли, побудил Александра Полякова сформулировать первые теории струн , которые описывали распространение элементарной квантовой петли в пространстве-времени.
Петли Вильсона сыграли важную роль в формулировке петлевой квантовой гравитации , но там их вытеснили спиновые сети (а позже и спиновые пены ), определенное обобщение петель Вильсона.
В физике элементарных частиц и теории струн петли Вильсона часто называют линиями Вильсона , особенно петли Вильсона вокруг несжимаемых петель компактного многообразия.
Уравнение
Петля Вильсон переменная величина определяется следом траектории упорядоченной экспоненты в виде калибровочного поля по закрытой линии С перевозят:
Здесь, замкнутая кривая в пространстве, - оператор упорядочивания путей . При калибровочном преобразовании
- ,
где соответствует начальной (и конечной) точке цикла (только начальная и конечная точки линии вносят вклад, тогда как промежуточные калибровочные преобразования компенсируют друг друга). Например, для датчиков SU (2); - произвольная действительная функция , а также - три матрицы Паули; как обычно, подразумевается сумма по повторяющимся индексам.
Инвариантность следа относительно циклических перестановок гарантирует, чтоинвариантен относительно калибровочных преобразований . Заметим, что отслеживаемая величина является элементом калибровочной группы Ли, а след действительно является характером этого элемента по отношению к одному из бесконечного числа неприводимых представлений , из чего следует, что операторыне обязательно ограничиваться «классом следа» (таким образом, с чисто дискретным спектром), но может быть, как правило, эрмитовым (или математически: самосопряженным). Именно потому, что мы, наконец, смотрим на трассу, не имеет значения, какая точка цикла выбрана в качестве начальной. Все они имеют одинаковую ценность.
На самом деле, если A рассматривается как соединение над основным G-расслоением , приведенное выше уравнение действительно следует «читать» как параллельный перенос тождества по петле, который даст элемент группы Ли G.
Обратите внимание, что экспонента с последовательным порядком является удобной сокращенной записью, распространенной в физике, которая скрывает изрядное количество математических операций. Математик назвал бы упорядоченную экспоненту связи «голономией связи» и охарактеризовал бы ее дифференциальным уравнением параллельного переноса, которому она удовлетворяет.
При T = 0, где T соответствует температуре, переменная петли Вильсона характеризует ограничение или деконфайнмент калибровочно-инвариантной теории квантового поля, а именно в зависимости от того, увеличивается ли переменная с площадью или, альтернативно, с длиной окружности петли ( «районный закон» или, альтернативно, «окружной закон», также известный как «закон периметра»).
В КХД при конечных температурах тепловое математическое ожидание линии Вильсона различает ограниченную «адронную» фазу и деконфайндерное состояние поля, например кварк-глюонную плазму .
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Giles, R. (1981). «Восстановление калибровочных потенциалов по петлям Вильсона». Physical Review D . 24 (8): 2160. Bibcode : 1981PhRvD..24.2160G . DOI : 10.1103 / PhysRevD.24.2160 .
- ^ Уилсон, К. (1974). «Конфайнмент кварков». Physical Review D . 10 (8): 2445. Bibcode : 1974PhRvD..10.2445W . DOI : 10.1103 / PhysRevD.10.2445 .
Внешние ссылки
- Бекман, Дэвид; Готтесман, Даниэль; Китаев, Алексей; Прескилл, Джон (2002-03-05). «Измеримость операторов петли Вильсона» . Physical Review D . 65 (6): 065022. arXiv : hep-th / 0110205 . DOI : 10.1103 / PhysRevD.65.065022 . ISSN 0556-2821 .