Полугруппа с инволюцией

В математике , особенно в абстрактной алгебре , полугруппа с инволюцией или * -полугруппа - это полугруппа, снабженная инволютивным антиавтоморфизмом , который, грубо говоря, приближает ее к группе, потому что эта инволюция, рассматриваемая как унарный оператор, демонстрирует некоторые фундаментальные свойства операции взятия инверсии в группе: уникальность, двойное применение, «самоуменьшающееся», и тот же закон взаимодействия с бинарной операцией, что и в случае групповой инверсии. Поэтому неудивительно, что любая группа является полугруппой с инволюцией. Однако есть важные естественные примеры полугрупп с инволюцией, не являющихся группами.

Пример из линейной алгебры является мультипликативным моноидом из вещественных квадратных матриц порядка  п ( так называемые полный линейный моноид ). Карту , которая посылает матрицу к ее транспонированной является инволюцию , потому что транспонированная корректно определено для любой матрицы и подчиняется закону ( АВ ) ^Т = В ^{Т Т} , который имеет ту же форму взаимодействия с умножением , как с обратными имеет в своем общая линейная группа (которая является подгруппой полного линейного моноида). Однако для произвольной матрицыAA ^T не равен единице (а именно диагональной матрице ). Другой пример, исходя из формального языка теории, является свободная полугруппа порождена непустого множества ( алфавит ), со строкой конкатенации в качестве бинарной операции и инволюции , являющейся карта , которая меняет на линейный порядок букв в строке. Третий пример из базовой теории множеств - это множество всех бинарных отношений между множеством и самим собой, при этом инволюция является обратным отношением , а умножение задается обычнымсостав отношений .

Полугруппы с инволюцией были явно названы в статье Виктора Вагнера 1953 года в результате его попытки связать теорию полугрупп с теорией полугруд . ^[1]

Формальное определение

Пусть S - полугруппа, бинарная операция которой записана мультипликативно. Инволюция в S - это унарная операция * на S (или преобразование *: S → S , x ↦ x *), удовлетворяющая следующим условиям:

1. Для всех x в S ( x *) * = x .
2. Для всех x , y в S имеем ( xy ) * = y * x *.

Полугруппа S с инволюцией * называется полугруппой с инволюцией.

Полугруппы, удовлетворяющие только первой из этих аксиом, принадлежат к большему классу U-полугрупп .

В некоторых приложениях вторая из этих аксиом была названа антидистрибутивной . ^[2] Что касается естественной философии этой аксиомы, HSM Coxeter заметил, что она «становится ясной, когда мы думаем о [x] и [y] как об операциях надевания носков и обуви, соответственно». ^[3]

Примеры

1. Если S - коммутативная полугруппа, то тождественное отображение S - инволюция.
2. Если S - группа, то отображение инверсии *: S → S, определенное как x * = x ^−1, является инволюцией. Более того, на абелевой группе и это отображение, и отображение из предыдущего примера являются инволюциями, удовлетворяющими аксиомам полугруппы с инволюцией. ^[4]
3. Если S - инверсная полугруппа, то отображение инверсии - это инволюция, которая оставляет идемпотенты инвариантными . Как отмечалось в предыдущем примере, инверсионная карта не обязательно является единственной картой с этим свойством в инверсной полугруппе. Вполне могут быть другие инволюции, которые оставляют все идемпотенты инвариантными; например, тождественное отображение на коммутативной регулярной, а значит, и обратной полугруппе, в частности, на абелевой группе. Регулярная полугруппа является инверсной полугруппой тогда и только тогда , когда она допускает инволюцию , при которых каждом идемпотентном является инвариант. ^[5]
4. В основе любой C * -алгебры лежит * -полугруппа. Важный примером является алгеброй М _п ( С ) из п матрицы с размерностью п матриц над С , с сопряженным транспонированным как инволюция.
5. Если X - множество, то множество всех бинарных отношений на X является * -полугруппой с *, заданным обратным отношением , и умножением, заданным обычной композицией отношений . Это пример * -полугруппы, которая не является регулярной полугруппой.
6. Если X является набором, то набор всех конечных последовательностей (или строк ) членов X образует свободный моноид при операции конкатенации последовательностей с обращением последовательности как инволюцией.
7. Прямоугольная полоса на декартово произведение множества A с самим собой, то есть с элементами из A × A , с продуктом полугрупповой определяется как ( в , б ) ( гр , д ) = ( с , г ), причем инволюции является изменение порядка элементов пары ( a , b ) * = ( b , a ). Эта полугруппа также является регулярной полугруппой , как и все бэнды. ^[6]

Основные понятия и свойства

Элемент x полугруппы с инволюцией иногда называют эрмитовым (по аналогии с эрмитовой матрицей ), если он остается инвариантным инволюцией, то есть x * = x . Элементы формы xx * или x * x всегда эрмитовы, как и все степени эрмитового элемента. Как отмечалось в разделе примеров, полугруппа S является обратной полугруппой тогда и только тогда, когда S является регулярной полугруппой и допускает инволюцию, такую ​​что каждый идемпотент эрмитов. ^[7]

Некоторые базовые понятия могут быть определены на * -полугруппах способом, который аналогичен понятиям, вытекающим из регулярного элемента в полугруппе . Частично изометрический является элементом сек таким образом, что SS * сек = с ; множество частичных изометрий полугруппы S обычно обозначается сокращенно PI ( S ). ^[8] проекция является элемент идемпотентных е , который также эрмитов, а это означает , что й = е и е * = е . Каждая проекция является частичной изометрией, и для каждой частичной изометрии s, s * s и ss * - проекции. Если e и f - проекции, то e = ef тогда и только тогда, когда e = fe . ^[9]

Частичные изометрии могут быть частично упорядочены по s ≤ t, определяемой как удержание, когда s = ss * t и ss * = ss * tt *. ^[9] Эквивалентно s ≤ t тогда и только тогда, когда s = et и e = ett * для некоторой проекции e . ^[9] В * -полугруппе PI ( S ) является упорядоченным группоидом с частичным произведением, задаваемым s⋅ t = st, если s * s = tt *. ^[10]

Примеры

В терминах примеров для этих понятий в * -полугруппе бинарных отношений на множестве частичные изометрии - это отношения, которые являются дифункциональными . Проекции в этой * -полугруппе являются отношениями частичной эквивалентности . ^[11]

В частичных изометриях в C * -алгебра точно те , которые определены в данном разделе. В случае M _n ( C ) можно сказать больше. Если Е и F являются проекции, то Е ≤ F тогда и только тогда , когда им Е ⊆ им F . Для любых двух проекций, если E ∩ F = V , то единственная проекция J с изображением V и ядром, ортогональным дополнением к V, является пересечением E и F. Поскольку проекторы образуют встречную полурешетку , частичные изометрии на M _n ( C ) образуют обратную полугруппу с произведением${\ Displaystyle A (A ^ {*} A \ клин BB ^ {*}) B}$. ^[12]

Другой простой пример этих понятий представлен в следующем разделе.

Понятия регулярности

Есть два связанных, но не идентичных понятия регулярности в * -полугруппах. Они были введены почти одновременно Nordahl & Scheiblich (1978) и, соответственно, Drazin (1979). ^[13]

Обычные * -полугруппы (Нордаль и Шейблих)

Как упоминалось в предыдущих примерах , инверсные полугруппы являются подклассом * -полугрупп. Также из учебника известно, что инверсную полугруппу можно охарактеризовать как регулярную полугруппу, в которой любые два идемпотента коммутируют. В 1963 г. Борис М. Шейн показал, что следующие две аксиомы обеспечивают аналогичную характеристику инверсных полугрупп как подмногообразия * -полугрупп:

• х = хх * х
• ( хх *) ( х * х ) = ( х * х ) ( хх *)

Первый из них выглядит как определение обычного элемента, но на самом деле в терминах инволюции. Точно так же вторая аксиома, по-видимому, описывает коммутацию двух идемпотентов. Однако известно, что регулярные полугруппы не образуют разнообразия, поскольку их класс не содержит свободных объектов (результат, установленный Д. Б. Макалистером в 1968 г.). Эта линия рассуждений побудила Нордаля и Шейблиха начать в 1977 г. изучение (разнообразия) * -полугрупп, удовлетворяющих только первым из этих двух аксиом; из-за сходства по форме со свойством, определяющим регулярные полугруппы, они назвали это разнообразие регулярными * -полугруппами.

Несложным вычислением установить, что регулярная * -полугруппа также является регулярной полугруппой, поскольку x * оказывается инверсией x . Прямоугольная лента из примера 7 является регулярной * -полугруппой, не являющейся обратной полугруппой. ^[6] Также легко проверить, что в регулярной * -полугруппе произведение любых двух проекций является идемпотентом. ^[14] В вышеупомянутом примере прямоугольной ленты проекции являются элементами формы ( x , x ) и [как и все элементы ленты] идемпотентны. Однако две разные проекции в этой полосе не обязательно коммутируют, и их произведение не обязательно является проекцией, поскольку ( a , a) ( б , б ) = ( а , б ).

Полугруппы, удовлетворяющие только x ** = x = xx * x (но не обязательно антидистрибутивности * по умножению), также изучались под названием I-полугруппы .

P-системы

Проблема определения того, когда регулярная полугруппа является регулярной * -полугруппой (в смысле Нордала и Шейблиха), была рассмотрена М. Ямада (1982). Он определил P-систему F (S) как подмножество идемпотентов S, обычно обозначаемых E (S). Используя обычное обозначение V ( a ) для обратных к a , F (S) должно удовлетворять следующим аксиомам:

1. Для любого а из S существует единственное а ° в V ( а ) такое, что аа ° и а ° а лежат в F (S).
2. Для любого a в S и b в F (S), a ° ba принадлежит F (S), где ° - четко определенная операция из предыдущей аксиомы
3. Для любых a , b из F (S) ab принадлежит E (S); примечание: не обязательно в F (S)

Регулярная полугруппа S является * -регулярной полугруппой, как определено Нордалом и Шейблихом, тогда и только тогда, когда она имеет p-систему F (S). В этом случае F (S) - это множество проекций S относительно операции °, определенной F (S). В обратной полугруппе вся полурешетка идемпотентов является p-системой. Кроме того, если регулярная полугруппа S имеет мультипликативно замкнутую p-систему (т. Е. Подполугруппу), то S является обратной полугруппой. Таким образом, p-систему можно рассматривать как обобщение полурешетки идемпотентов обратной полугруппы.

* -регулярные полугруппы (Дразин)

Полугруппа S с инволюцией * называется * полугруппа - регулярной (в смысле Дрэйзина) , если для каждого х в S , х * является Н -эквивалентна некоторыми обратными х , где Н представляет собой Грин отношение Н . Это определяющее свойство можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Другой вариант - сказать, что каждый L -класс содержит проекцию. Аксиоматическое определение - это условие, что для каждого x в S существует элемент x ′ такой, что x ′ xx ′ =x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′) * = xx ′ , ( x ′ x ) * = x ′ x . Майкл П. Дразин первым доказал, что для данного x элемент x ′, удовлетворяющий этим аксиомам, единственен. Он называется инверсией Мура – ​​Пенроуза к x . Это согласуется с классическим определением обратной матрицы Мура – ​​Пенроуза квадратной матрицы.

Одним из мотивов изучения этих полугрупп является то, что они позволяют обобщить свойства обратного Мура – ​​Пенроуза из ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ и ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ к более общим наборам.

В мультипликативной полугруппе квадратных матриц порядка n M _n ( C ) отображение, которое сопоставляет матрицу A ее эрмитово сопряженному A *, является инволюцией. Полугруппа M _n ( C ) является * -регулярной полугруппой с этой инволюцией. Мур-Пенроуз инверсия А в этом * -регулярном полугруппы является классической Мура-Пенроуз инверсией A .

Свободная полугруппа с инволюцией

Как и все многообразия, категория полугрупп с инволюцией допускает свободные объекты . Построение свободной полугруппы (или моноида) с инволюцией основано на построении свободной полугруппы (и, соответственно, свободного моноида). Более того, конструкция свободной группы легко выводится, уточняя конструкцию свободного моноида с инволюцией. ^[15]

В генераторах свободной полугруппы с инволюцией являются элементами объединения двух ( equinumerous ) непересекающихся множеств в взаимно однозначном соответствии :${\ Displaystyle Y = X \ sqcup X ^ {\ dagger}}$. (Здесь обозначение${\ Displaystyle \ sqcup \,}$подчеркнул, что объединение на самом деле является дизъюнктным объединением .) В случае, когда два множества конечны, их объединение Y иногда называют алфавитом с инволюцией ^[16] или симметричным алфавитом . ^[17] Пусть${\ displaystyle \ theta: X \ rightarrow X ^ {\ dagger}}$ быть биекцией; ${\ displaystyle \ theta}$естественно продолжается до биекции${\ displaystyle {} \ dagger: Y \ to Y}$ по существу, взяв несвязное объединение ${\ displaystyle \ theta}$(как множество) с обратным ему , или в кусочной записи: ^[18]

${\ displaystyle y ^ {\ dagger} = {\ begin {case} \ theta (y) & {\ text {if}} y \ in X \\\ theta ^ {- 1} (y) & {\ text { if}} y \ in X ^ {\ dagger} \ end {case}}}$

Теперь построим ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$как свободная полугруппа на${\ displaystyle Y \,}$ обычным способом с бинарной (полугрупповой) операцией над ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$будучи конкатенации :

${\ displaystyle w = w_ {1} w_ {2} \ cdots w_ {k} \ in Y ^ {+}}$ для некоторых писем ${\ displaystyle w_ {i} \ in Y.}$

Биекция ${\ displaystyle \ dagger}$ на ${\ displaystyle Y}$ затем расширяется как биекция ${\ displaystyle {} ^ {\ dagger}: Y ^ {+} \ rightarrow Y ^ {+}}$ определяется как инверсия строк элементов ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$состоящие из более чем одной буквы: ^{[16] [18]}

${\ displaystyle w ^ {\ dagger} = w_ {k} ^ {\ dagger} w_ {k-1} ^ {\ dagger} \ cdots w_ {2} ^ {\ dagger} w_ {1} ^ {\ dagger} .}$

Это отображение является инволюцией на полугруппе${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$. Таким образом, полугруппа${\ displaystyle (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+}}$ с картой ${\ displaystyle {} ^ {\ dagger} \,}$полугруппа с инволюции, называется свободной полугруппы с инволюцией на X . ^[19] (Нерелевантность конкретной идентичности${\ displaystyle X ^ {\ dagger}}$ и биекции ${\ displaystyle \ theta}$этот выбор терминологии объясняется ниже в терминах универсального свойства конструкции.) Обратите внимание, что в отличие от примера 6 , инволюция каждой буквы является отдельным элементом в алфавите с инволюцией, и, следовательно, то же наблюдение распространяется на свободную полугруппа с инволюцией.

Если в приведенной выше конструкции вместо ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$мы используем бесплатный моноид ${\ Displaystyle Y ^ {*} = Y ^ {+} \ чашка \ {\ varepsilon \}}$, которая представляет собой свободную полугруппу, расширенную пустым словом ${\ Displaystyle \ varepsilon \,}$(который является единичным элементом из моноида ${\ displaystyle Y ^ {*} \,}$), и соответствующим образом продолжить инволюцию с помощью ${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {\ dagger} = \ varepsilon}$, получаем свободный моноид с инволюцией . ^[18]

Вышеупомянутая конструкция - фактически единственный способ расширить данную карту. ${\ displaystyle \ theta \,}$ из ${\ Displaystyle X \,}$ к ${\ displaystyle X ^ {\ dagger} \,}$, к инволюции на ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$ (и аналогично ${\ displaystyle Y ^ {*} \,}$). Квалификатор «свободный» для этих конструкций оправдан в обычном смысле того, что они являются универсальными конструкциями . В случае свободной полугруппы с инволюцией для произвольной полугруппы с инволюцией${\ Displaystyle S \,}$ и карта ${\ displaystyle \ Phi: X \ rightarrow S}$, то гомоморфизм полугрупп ${\ displaystyle {\ overline {\ Phi}} :( X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+} \ rightarrow S}$ существует такое, что ${\ Displaystyle \ Phi = \ iota \ circ {\ overline {\ Phi}}}$, куда ${\ displaystyle \ iota: X \ rightarrow (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+}}$- карта включения, а композиция функций взята в порядке диаграммы . ^[19] Построение${\ displaystyle (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+}}$как полугруппа с инволюцией единственна с точностью до изоморфизма . Аналогичное рассуждение справедливо для свободного моноида с инволюцией в терминах гомоморфизмов моноидов и единственности с точностью до изоморфизма конструкции${\ displaystyle (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {*}}$ как моноид с инволюцией.

Построение свободной группы не очень далеко от конструкции свободного моноида с инволюцией. Дополнительный ингредиент, необходимый для определения понятия сокращенного слова и правила перезаписи для создания таких слов, просто удаляя любые смежные пары букв формы${\ Displaystyle хх ^ {\ кинжал}}$ или ${\ Displaystyle х ^ {\ кинжал} х}$. Можно показать, что порядок перезаписи (удаления) таких пар не имеет значения, т.е. любой порядок удалений дает тот же результат. ^[15] ( В противном случае говоря, эти правила определяют сливающиеся системы переписывания.) Эквивалентное свободная группа строятся из свободного моноида с инволюцией, принимая фактор последнего по конгруэнции ${\ displaystyle \ {(yy ^ {\ dagger}, \ varepsilon): y \ in Y \}}$, которую иногда называют конгруэнцией Дика - в определенном смысле она обобщает язык Дейка на несколько видов «скобок». Однако упрощение в конгруэнции Дика имеет место независимо от порядка. Например, если ")" является обратным символу "(", то${\ Displaystyle () =) (= \ varepsilon}$; односторонняя конгруэнтность, которая появляется в собственно языке Дейка${\ displaystyle \ {(xx ^ {\ dagger}, \ varepsilon): x \ in X \}}$, который соответствует только ${\ Displaystyle () = \ varepsilon}$называется (возможно, сбивающим с толку) конгруэнцией Шамира . Фактор свободного моноида с инволюцией по конгруэнции Шамира - это не группа, а моноид; тем не менее , она была названа свободной половина группы своего первым discoverer- Эли Шамиром -Хотя совсем недавно она была названа инволютивным моноид , порожденным X . ^{[17] [20]} (Этот последний выбор терминологии, однако, противоречит использованию «инволютивного» для обозначения любой полугруппы с инволюцией - практика, также встречающаяся в литературе. ^{[21] [22]} )

Baer * -полугруппы

* -Полугруппой Бэра называется * -полугруппа с (двусторонним) нулем, в которой правый аннулятор каждого элемента совпадает с правым идеалом некоторой проекции; это свойство формально выражается как: для всех x ∈ S существует проекция e такая, что

{ y ∈ S | xy = 0} = eS . ^[22]

На самом деле проекция e однозначно определяется x . ^[22]

В последнее время * -полугруппы Бэра стали называть также полугруппами Фулиса в честь Дэвида Джеймса Фулиса, который их глубоко изучал. ^{[23] [24]}

Примеры и приложения

Множество всех бинарных отношений на множестве (из примера 5 ) является * -полугруппой Бэра. ^[25]

Baer * -полугруппы встречаются и в квантовой механике , ^[22] , в частности , в качестве мультипликативных полугрупп Бэра * -кольца .

Если H - гильбертово пространство , то мультипликативная полугруппа всех ограниченных операторов в H является бэровской * -полугруппой. Инволюция в этом случае отображает оператор в сопряженный . ^[25]

Baer * -полугруппа позволяют координатизации из ортомодулярных решеток . ^[23]

См. Также

• Категория кинжала (также известная как категория с инволюцией) - обобщает понятие
• *-алгебра
• Специальные классы полугрупп

Примечания

Ссылки

• Марк В. Лоусон (1998). «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий». Мировой научный ISBN 981-02-3316-7 
• DJ Foulis (1958). Инволюционные полугруппы , докторская диссертация, Тулейнский университет, Новый Орлеан, Луизиана. Публикации DJ Foulis (доступ 5 мая 2009 г.)
• WD Манн, Специальные инволюции , в AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove, Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 года, посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0521576695 . Это недавняя обзорная статья о полугруппе с (специальной) инволюцией. 
• Дразин М. П. Регулярные полугруппы с инволюцией // Тр. Symp. о регулярных полугруппах (DeKalb, 1979), 29–46.
• Нордаль, Т.Э., и Г.Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Форум полугрупп , 16 (1978), 369–377.
• Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
• С. Црвенкович, Игорь Долинка, " Многообразия инволюционных полугрупп и инволюционных полуколец: обзор ", Вестник Общества математиков Баня-Луки, т. 9 (2002), 7–47.
• Эта статья включает материал из Free полугруппы с инволюцией на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .