В математике , антигомоморфизм представляет собой тип функции , определенный на множествах с умножением, реверсирует порядок умножения . Антиавтоморфизм является биективен антигомоморфизмом, т.е. антиизоморфизм , из набора к себе. Из биективности следует, что у антиавтоморфизмов есть обратные, и что обратное к антиавтоморфизму также является антиавтоморфизмом.
Определение
Неформально антигомоморфизм - это карта, меняющая порядок умножения. Формально антигомоморфизм между структурами а также является гомоморфизмом , где равно как набор, но имеет обратное умножение к определенному на . Обозначая (обычно некоммутативное ) умножение на от , умножение на , обозначаемый , определяется . Объектназывается противоположным объектом для(соответственно противоположная группа , противоположная алгебра , противоположная категория и т. д.).
Это определение эквивалентно определению гомоморфизма (обращение операции до или после применения карты эквивалентно). Формально отправка к и действуя как тождество на картах, является функтором (на самом деле, инволюцией ).
Примеры
В теории групп антигомоморфизм - это отображение между двумя группами, которое меняет порядок умножения на противоположный. Итак, если φ : X → Y - групповой антигомоморфизм,
- ф ( ху ) = ф ( у ) ф ( х )
для всех х , у в X .
Отображение, которое переводит x в x −1, является примером группового антиавтоморфизма. Другой важный примером является транспонированной операцией в линейной алгебре , которая принимает векторы - строки для векторов - столбцов . Любое векторно-матричное уравнение может быть преобразовано в эквивалентное уравнение, в котором порядок факторов обратный.
В случае матриц примером антиавтоморфизма является транспонированная карта. Поскольку инверсия и транспонирование дают антиавтоморфизмы, их композиция является автоморфизмом. Эту инволюцию часто называют контрагредиентным отображением, и она дает пример внешнего автоморфизма общей линейной группы GL ( n , F ) , где F - поле, кроме случаев, когда | F | = 2 и n = 1 или 2 , или | F | = 3 и n = 1 (т. Е. Для групп GL (1, 2) , GL (2, 2) и GL (1, 3) ).
В теории колец антигомоморфизм - это отображение между двумя кольцами, которое сохраняет сложение, но меняет порядок умножения на противоположный. Итак, φ : X → Y - кольцевой антигомоморфизм тогда и только тогда, когда:
- φ (1) = 1
- ф ( х + у ) = ф ( х ) + ф ( у )
- ф ( ху ) = ф ( у ) ф ( х )
для всех х , у в X . [1]
Для алгебр над полем K , φ должен быть К - линейное отображение базового векторного пространства . Если основное поле имеет инволюцию, можно вместо этого попросить φ быть сопряженно-линейным , как в сопряженном транспонировании, как показано ниже.
Инволюции
Часто антиавтоморфизмы являются инволюциями , т. Е. Квадрат антиавтоморфизма является тождественным отображением ; их также называютинволютивный антиавтоморфизм s. Например, в любой группе отображение, которое отправляетxсвоемуобратному x −1,является инволютивным антиавтоморфизмом.
Кольцо с инволютивным антиавтоморфизмом называется * -кольцом , и они составляют важный класс примеров .
Характеристики
Если цель Y коммутативна, то антигомоморфизм - это то же самое, что гомоморфизм, а антиавтоморфизм - то же самое, что автоморфизм .
Состав двух antihomomorphisms всегда есть гомоморфизм, так как изменить порядок заказа дважды пресервы. Композиция антигомоморфизма с гомоморфизмом дает другой антигомоморфизм.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Джейкобсон, Натан (1943). Теория колец . Математические обзоры и монографии. 2 . Американское математическое общество . п. 16 . ISBN 0821815024.