В математике , то распределительное свойство из бинарных операций обобщает дистрибутивный закон от элементарной алгебры , которая утверждает , что один всегда
Например, есть
- 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 3) .
Один говорит, что умножение распределяет над сложением .
Это основное свойство чисел предполагается в определении большинства алгебраических структур, которые имеют две операции, называемые сложением и умножением, такие как комплексные числа , многочлены , матрицы , кольца и поля . Он также встречается в булевой алгебре и математической логике , где каждый из логического и (обозначается ∧ ) и логическое или (обозначается ∨ ) распределяет над другим.
Определение
Для множества S и двух бинарных операторов ∗ и + на S операция ∗:
является левым дистрибутивна над (или относительно) + , если, с учетом каких - либо элементов х , у и г из S ,
это дистрибутивно справа выше + , если для любых элементов х , у и г из S ,
- а также
является дистрибутивной над + , если это левый и правый дистрибутивный. [1]
Когда ∗ коммутативен , три приведенных выше условия логически эквивалентны .
Имея в виду
В примерах в этом разделе используются операторы обычного сложения () и умножение ().
Если операция обозначена не коммутативна, существует различие между левой и правой дистрибутивностью:
- (лево-распределительный)
- (право-распределительный)
В любом случае распределительное свойство можно описать словами:
Для того, чтобы умножить сумму (или разность ) на коэффициент, каждое слагаемое (или уменьшаемого и вычитаемого ) умножается на этот коэффициент и полученные продукты добавляются (или вычитаются).
Если операция вне скобок (в данном случае умножение) коммутативна, то леводистрибутивность подразумевает правую дистрибутивность и наоборот, и говорят просто о дистрибутивности .
Одним из примеров операции, которая является "только" право-распределительной, является деление, которое не является коммутативным:
В этом случае леводистрибутивность не применяется:
Законы распределения входят в число аксиом для колец (например, кольца целых чисел ) и полей (например, поля рациональных чисел ). Здесь умножение является распределительным по сравнению с сложением, но сложение не является распределительным по сравнению с умножением. Примерами структур с двумя операциями, каждая из которых является дистрибутивной по отношению к другой, являются булевы алгебры, такие как алгебра множеств или алгебра переключений .
Умножение сумм можно выразить словами следующим образом: когда сумма умножается на сумму, умножьте каждое слагаемое суммы на каждое слагаемое другой суммы (отслеживая знаки), затем сложите все полученные результаты.
Примеры
Вещественные числа
В следующих примерах использование закона распределения на множестве действительных чисел проиллюстрировано. Когда умножение упоминается в элементарной математике, это обычно относится к этому виду умножения. С точки зрения алгебры действительные числа образуют поле , которое обеспечивает выполнение закона распределения.
- Первый пример (умножение в уме и письме)
- Во время ментальной арифметики распределенность часто используется неосознанно:
- Второй пример (с переменными)
- Третий пример (с двумя суммами)
- Четвертый пример
- Здесь закон распределения применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Рассмотреть возможность
Матрицы
Закон распределения справедлив для умножения матриц . Точнее,
для всех -матрицы а также -матрицы , также как и
для всех -матрицы а также -матрицы . Поскольку свойство коммутативности не выполняется для матричного умножения, второй закон не следует из первого закона. В данном случае это два разных закона.
Другие примеры
- Умножение из порядковых номеров , в отличие от этого , только левый дистрибутивный, не дистрибутивно справа.
- Перекрестное произведение является левой и правой дистрибутивности над векторным сложением , хотя и не коммутативной.
- Объединение множеств дистрибутивна над пересечением , и пересечение дистрибутивна над профсоюзом.
- Логическая дизъюнкция («или») распределительна по сравнению с логической конъюнктурой («и»), и наоборот.
- Для действительных чисел (и для любого полностью упорядоченного набора ) максимальная операция распределяется по минимальной операции, и наоборот: max ( a , min ( b , c )) = min (max ( a , b ), max ( a , c )) и min ( a , max ( b , c )) = max (min ( a , b ), min ( a , c )) .
- Для целых чисел , то наибольший общий делитель дистрибутивна над наименьшее общее кратное , и наоборот: НОД ( , LCM ( Ь , гр )) = LCM (НОД ( , б ), НОД ( , гр )) и LCM ( a , gcd ( b , c )) = gcd (lcm ( a , b ), lcm ( a , c )) .
- Для действительных чисел сложение распределяется по максимальной операции, а также по минимальной операции: a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ) и a + min ( b , c ) = min ( a + б , а + в ) .
- Для биномиального умножения распределение иногда называют методом FOIL [2] (первые термины ac , внешнее объявление , внутреннее bc и последнее bd ), например: ( a + b ) · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd .
- Во всех полукольцах , включая комплексные числа , кватернионы , многочлены и матрицы , умножение распределяется по сложению:.
- Во всех алгебрах над полем , включая октонионы и другие неассоциативные алгебры , умножение распределяется по сложению.
Логика высказываний
Правило замены
В стандартной логике высказываний с функциональной истинностью распределение [3] [4] в логических доказательствах использует два действительных правила замены для расширения отдельных вхождений определенных логических связок в пределах некоторой формулы в отдельные приложения этих связок в подформулах данной формулы. Правила
а также
где "", также пишется ≡ , является металогическим символом, представляющим" может быть заменено в доказательстве на "или" логически эквивалентно ".
Функциональные связки истины
Дистрибутивность - это свойство некоторых логических связок истинностно-функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что дистрибутивность является свойством определенных связок. Ниже приведены функциональные тавтологии истинности .
- Распределение соединения по соединению
- Распределение соединения по дизъюнкции
- Распределение дизъюнкции по конъюнкции
- Распределение дизъюнкции по дизъюнкции
- Распространение импликации
- Распределение импликации по эквивалентности
- :
- Распределение импликации по союзу
- Распределение дизъюнкции по эквивалентности
- Двойное распределение
Распределимость и округление
В приближенной арифметике, такой как арифметика с плавающей запятой , свойство распределения умножения (и деления) над сложением может не работать из-за ограничений арифметической точности . Например, тождество 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 3 = (1 + 1 + 1) / 3не работает вдесятичной арифметике, независимо от количествазначащих цифр. Такие методы, какбанковское округление,могут помочь в некоторых случаях, поскольку могут повысить используемую точность, но в конечном итоге некоторые ошибки в расчетах неизбежны.
В кольцах и других конструкциях
Дистрибутивность чаще всего встречается в кольцах и распределительных решетках .
В кольце есть две бинарные операции, обычно обозначаемые + и ∗, и одно из требований кольца состоит в том, что ∗ должно распределяться по +.
Решетка другой вид алгебраической структуры с двумя бинарными операциями, ∧ и ∨. Если одна из этих операций распределяет по другой (скажем, ∧ распределяет по), то верно и обратное (∨ распределяет по), и решетка называется дистрибутивной. См. Также Дистрибутивность (теория порядка) .
Булева алгебра может интерпретироваться либо как особый вид кольца (а булево кольцо ) или специального вид распределительной решетки (а булева решетка ). Каждая интерпретация отвечает за разные законы распределения в булевой алгебре.
Несоблюдение одного из двух законов распределения приводит к появлению почти колец и ближних полей вместо колец и телесных колец соответственно. Операции обычно конфигурируются так, чтобы распределитель ближнего или ближнего поля располагался справа, но не слева.
Кольца и дистрибутивные решетки - это особые виды оснасток , которые являются обобщениями колец, обладающих дистрибутивным свойством. Например, натуральные числа образуют буровую установку.
Обобщения
В нескольких областях математики рассматриваются обобщенные законы распределенности. Это может включать в себя ослабление вышеуказанных условий или распространение на бесконечные операции. Особенно в теории порядка можно найти множество важных вариантов распределительности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон распределения ; другие определяются в присутствии только одной бинарной операции, такие как соответствующие определения и их отношения, приведены в статье о распределении (теория порядка) . Это также включает понятие полностью распределительной решетки .
При наличии отношения порядка можно также ослабить указанные выше равенства, заменив = на ≤ или ≥. Естественно, только в некоторых ситуациях это приведет к осмысленным концепциям. Применение этого принципа - понятие субдистрибутивности, как описано в статье об интервальной арифметике .
В теории категорий , если ( S , μ , η ) и ( S ', ц ', п ') являются монады на категории С , в дистрибутивный закон S . S ′ → S ′. S представляет собой естественное преобразование λ : S . S ′ → S ′. S такое, что ( S ′, λ ) является нестрогим отображением монад S → S и ( S , λ ) является колакс-отображением монад S ′ → S ′ . Это как раз те данные, которые необходимы для определения структуры монады на S ′. S : отображение умножения - это S ′ μ . μ ′ S 2 . S ' λS и блок карта η ' S . η . См .: закон распределения между монадами .
Обобщенный дистрибутивный закон также был предложен в области теории информации .
Антидистрибутивность
Вездесущее тождество, которое связывает обратное с бинарной операцией в любой группе , а именно ( xy ) −1 = y −1 x −1 , которое считается аксиомой в более общем контексте полугруппы с инволюцией , иногда называют антидистрибутивное свойство (инверсия как унарная операция ). [5]
В контексте почти-кольца , которое устраняет коммутативность аддитивно записанной группы и предполагает только одностороннюю дистрибутивность, можно говорить о (двусторонних) распределительных элементах, но также и об антидистрибутивных элементах . Последние меняют порядок (некоммутативного) сложения; предполагая левое приближение (то есть такое, которое все элементы распределяют при умножении на левое), тогда антираспределительный элемент a меняет порядок сложения при умножении вправо: ( x + y ) a = ya + xa . [6]
При изучении логики высказываний и булевой алгебры термин антидистрибутивный закон иногда используется для обозначения взаимообмена между конъюнкцией и дизъюнкцией, когда над ними действуют факторы импликации: [7]
- ( a ∨ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∧ ( b ⇒ c )
- ( a ∧ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∨ ( b ⇒ c )
Эти две тавтологии являются прямым следствием двойственности законов Де Моргана .
Заметки
- ^ Дистрибутивность двоичных операций из Mathonline
- ^ Ким Стюард (2011) Умножение многочленов из виртуальной математической лаборатории в Западном Техасском университете A&M
- ^ Эллиотт Мендельсон (1964) Введение в математическую логику , стр.21, D. Van Nostrand Company
- ↑ Альфред Тарский (1941) Введение в логику , стр. 52, Oxford University Press
- ^ Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике . Springer. п. 4 . ISBN 978-3-211-82971-4.
- ^ Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Неаррингс: некоторые разработки, связанные с полугруппами и группами . Kluwer Academic Publishers. стр. 62 и 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.
- ^ Эрик CR Hehner (1993). Практическая теория программирования . Springer Science & Business Media. п. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5.
Внешние ссылки
- Демонстрация закона распределения для целочисленной арифметики (от разрубленного узла )