В математике , в спектральной последовательности Адамса является спектральной последовательностью введена J. Frank Adams ( 1958 ) , который вычисляет стабильные гомотопические группы из топологических пространств . Как и все спектральные последовательности, это вычислительный инструмент; он связывает теорию гомологий с тем, что сейчас называется стабильной теорией гомотопий . Это переформулировка с использованием гомологической алгебры и расширение техники, называемой «убийством гомотопических групп», применяемой французской школой Анри Картана и Жан-Пьера Серра .
Мотивация
Для всего, что ниже, раз и навсегда фиксируем простое число p . Предполагается, что все пространства являются комплексами CW . В обычные группы когомологий понимаются как означающие .
Основная задача алгебраической топологии , чтобы попытаться понять совокупность всех карт, до гомотопии между произвольными пространствами X и Y . Это чрезвычайно амбициозны: в частности, когда X являетсяЭти карты образуют п - й гомотопической группы из Y . Более разумная (но все же очень трудная!) Цель - разобраться в множествеотображений (с точностью до гомотопии), оставшихся после многократного применения функтора надстройки . Мы называем это совокупность устойчивых отображений из X в Y . (Это отправная точка теории стабильной гомотопии ; более современные трактовки этой темы начинаются с концепции спектра . В оригинальной работе Адамса спектры не использовались, и мы избегаем дальнейшего упоминания о них в этом разделе, чтобы сохранить содержание здесь как элементарно насколько возможно.)
Набор оказывается абелевой группой, и если X и Y - разумные пространства, эта группа конечно порождена. Чтобы выяснить, что это за группа, мы сначала выделяем простое число p . В попытке вычислить р- кручение, мы смотрим на когомологии: send в Hom ( H * ( Y ), H * ( X )). Это хорошая идея, потому что группы когомологий обычно легко вычислить.
Ключевая идея заключается в том, что это больше, чем просто градуированная абелева группа , и более того, чем градуированное кольцо (через произведение чашки ). Представимость функтора когомологий делает H * ( X ) в модуль над алгеброй его устойчивыми когомологическими операции , в стинродовской алгебре A . Рассмотрение H * ( X ) как A -модуля забывает о некоторой структуре продукта чашки, но выигрыш огромен: Hom ( H * ( Y ), H * ( X )) теперь можно считать A -линейным! Априори A -модуль видит [ X , Y ] не больше , чем когда мы считали его отображением векторных пространств над F p . Но теперь мы можем рассмотреть производные функторы Hom в категории A -модулей Ext A r ( H * ( Y ), H * ( X )). Они получают вторую оценку по шкале H * ( Y ), и поэтому мы получаем двумерную «страницу» алгебраических данных. Группы Ext разработаны для измерения несохранения алгебраической структуры Hom, так что это разумный шаг.
Дело в том, что A настолько велико, что приведенный выше лист когомологических данных содержит всю информацию, которая нам нужна для восстановления p- первичной части [ X , Y ], которая является гомотопическими данными. Это важное достижение, потому что когомологии были рассчитаны на вычислимость, а гомотопия - на мощные. Это содержание спектральной последовательности Адамса.
Классическая формулировка
Формулировка для вычисления гомотопических групп спектров
Классическая спектральная последовательность Адамса может быть сформулирована для любого связного спектра от конечного типа , т.е. для а также является конечно порожденной абелевой группой в каждой степени. Тогда существует спектральная последовательность[1] : 41 такой, что
- для мод Алгебра Стинрода
- Для конечного типа, биградируемая группа, связанная с фильтрацией ( целые p-адические числа )
Обратите внимание, это означает, что для , это вычисляет p-кручение гомотопических групп спектра сфер , т. е. стабильных гомотопических групп сфер. Также, потому что для любого CW-комплекса мы можем рассмотреть спектр подвеса , это также дает утверждение предыдущей формулировки.
Это утверждение обобщает немного дальше, заменяя -модуль с группами когомологий для некоторого связующего спектра (или топологическое пространство ). Это связано с тем, что при построении спектральной последовательности используется «свободное» разрешение как -модуль, следовательно, мы можем вычислить группы Ext с как вторая запись. Таким образом, мы получаем спектральную последовательность с-страница предоставлена
который обладает свойством сходимости, будучи изоморфным градуированным частям фильтрации -кручение стабильной гомотопической группы гомотопических классов отображений между а также , это
Спектральная последовательность стабильных гомотопических групп сфер
Например, если мы позволим обоим спектрам быть сферическим спектром, поэтому , то спектральная последовательность Адамса обладает свойством сходимости
дающий технический инструмент для приближения к вычислению стабильных гомотопических групп сфер. Оказывается, многие из первых членов могут быть вычислены явно на основе чисто алгебраической информации [2], стр. 23–25 . Также обратите внимание, что мы можем переписать, Итак -страница
Мы включаем эту информацию о расчетах ниже для .
Вынести термины из постановления
Учитывая разрешение адамса
у нас есть условия как
для градуированных групп Hom. Затем-страницу можно записать как
так что степень Можно подумать о том, насколько «глубоко» мы углубимся в резолюцию Адамса, прежде чем сможем найти генераторы.
Расчеты
Последовательность сама по себе не является алгоритмическим устройством, но позволяет решать проблемы в определенных случаях.
Примеры со спектрами Эйленберга – Маклейна.
Некоторые из простейших расчетов проводятся со спектрами Эйленберга – Маклейна, такими как а также . [1] : 48 Для первого случая имеем страница
давая коллапсированную спектральную последовательность, следовательно, . Это можно переписать как
давая -страница. В другом случае обратите внимание на последовательность кофайберов.
что в конечном итоге дает расщепление в когомологиях, поэтому в виде -модули. Затем-страница можно читать как
Интересно, что при таком вычислении единственный способ сойтись спектральной последовательности к ожидаемому. -страница, имеющая
если есть нетривиальные
для каждого .
Другие приложения
Первоначальное использование Адамсом своей спектральной последовательности было первым доказательством проблемы инварианта Хопфа 1:допускает структуру алгебры с делением только для n = 1, 2, 4 или 8. Впоследствии он нашел гораздо более короткое доказательство, используя операции когомологий в K-теории .
Теорема Тома об изоморфизме связывает дифференциальную топологию с теорией стабильной гомотопии, и именно здесь спектральная последовательность Адамса нашла свое первое основное применение: в 1960 году Джон Милнор и Сергей Новиков использовали спектральную последовательность Адамса для вычисления кольца коэффициентов комплексного кобордизма . Кроме того, Милнор и К. Т. Уолл использовали спектральную последовательность для доказательства гипотезы Тома о структуре кольца ориентированных кобордизмов : два ориентированных многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда их числа Понтрягина и Штифеля – Уитни совпадают.
Стабильные гомотопические группы сфер
Используя приведенную выше спектральную последовательность для мы можем вычислить несколько членов явно, дав некоторые из первых стабильных гомотопических групп сфер. [2] Для это сводится к рассмотрению -страница с
Это можно сделать, сначала посмотрев на разрешение Адамса . С находится в степени , у нас есть сюрприз
где имеет генератор в степени обозначен . Ядро состоит из всех элементов для допустимых одночленов генерирование , следовательно, у нас есть отображение
и обозначим каждый из образующих, отображаемых в в прямой сумме как , а остальные генераторы как для некоторых . Например,
Обратите внимание, что последние два элемента отображается на тот же элемент, что следует из соотношений Адема. Также в ядре есть такие элементы, как поскольку
из-за отношения Адема. Мы называем генератор этого элемента в, . Мы можем применить тот же процесс и получить ядро, разрешите его и т. д. Когда мы это делаем, мы получаем-страница, которая выглядит как
который может быть расширен компьютером до степени с относительной легкостью. Используя найденные образующие и соотношения, можно вычислитьстраничка с относительной легкостью. Иногда теоретики гомотопии любят переставлять эти элементы, используя горизонтальный индекс, обозначающий и вертикальный индекс обозначают давая другой тип диаграммы для -страница [2] стр. 21 . См. Диаграмму выше для получения дополнительной информации.
Обобщения
Спектральная последовательность Адамса – Новикова является обобщением спектральной последовательности Адамса, введенной Новиковым (1967), где обычные когомологии заменены обобщенной теорией когомологий , часто комплексными бордизмами или когомологиями Брауна – Петерсона . Это требует знания алгебры стабильных операций когомологий для рассматриваемой теории когомологий, но позволяет проводить вычисления, которые полностью неразрешимы с классической спектральной последовательностью Адамса.
Смотрите также
- Система Постникова
- Алгебра Стинрода
- Спектр (топология)
- Резолюция Адамса
Рекомендации
- Адамс, Дж Франк (1958), "О структуре и применения Стинрода алгебры", Commentarii Mathematici Helvetici , 32 (1): 180-214, DOI : 10.1007 / BF02564578 , ISSN 0010-2571 , МР 0096219 , S2CID 15677036
- Адамс, Дж. Франк (2013) [1964], Стабильная теория гомотопий , Лекционные заметки по математике, 3 , Springer-Verlag, ISBN 9783662159422, MR 0185597
- Ботвинник, Борис (1992), Многообразия с особенностями и спектральная последовательность Адамса – Новикова , Серия лекций Лондонского математического общества, Cambridge University Press , ISBN 0-521-42608-1
- Макклири, Джон (февраль 2001 г.), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Кембриджские исследования по высшей математике, 58 (2-е изд.), Cambridge University Press , doi : 10.2277 / 0521567599 , ISBN 978-0-521-56759-6, Руководство по ремонту 1793722
- Новиков, Сергей (1967), "Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов", Известия Академии Наук СССР. Серия математическая , 31 : 855–951.
- Равенел, Дуглас К. (1978), «Руководство для новичков по спектральной последовательности Адамса – Новикова», в Barratt, MG; Маховальд, Марк Э. (ред.), Геометрические приложения теории гомотопий (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II , Lecture Notes in Mathematics, 658 , Springer-Verlag , pp. 404–475, doi : 10.1007 / BFb0068728 , ISBN 978-3-540-08859-2, Руководство по ремонту 0513586
- Равенел, Дуглас С. (2003), Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, Руководство по ремонту 0860042.
Обзоры вычислений
- Более стабильные основы - вычисляет все спектральные последовательности Адамса для стабильных гомотопических групп сфер до степени 90.
Условия высшего порядка
- Вычисление E_3-члена спектральной последовательности Адамса
- Производные функторы высших порядков и спектральная последовательность Адамса
- Двухдорожечные алгебры и спектральная последовательность Адамса
Внешние ссылки
- Брунер, Роберт Р. (2 июня 2009 г.), Учебник по спектральным последовательностям Адамса (PDF)
- Хэтчер, Аллен , "Спектральная последовательность Адамса" (PDF) , Спектральные последовательности
Заметки
- ^ а б Равенел, Дуглас С. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Орландо: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC 316566772 .
- ^ а б в Хэтчер, Аллен. "Спектральные последовательности в алгебраической топологии" (PDF) .