Ангармонизм

Потенциальная энергия двухатомной молекулы как функция межатомного расстояния . Когда молекулы находятся слишком близко или слишком далеко, они испытывают восстанавливающую силу в направлении u ₀ . (Представьте себе шарик, катящийся взад и вперед по впадине.) Синяя кривая по форме близка к реальной потенциальной яме молекулы , а красная парабола - хорошее приближение для небольших колебаний. Красное приближение лечит молекулы как гармонический осциллятор, потому восстанавливающую силу, -V '(и) , является линейным по отношению к смещению ¯u .

В классической механике , энгармонизм это отклонение из системы от того , чтобы гармонического осциллятора . Генератора , который не колеблющиеся в гармоническом движении известно как ангармонический осциллятор , где система может быть аппроксимирована с гармоническим осциллятором и энгармонизм может быть вычислен с помощью теории возмущений . Если ангармонизм велик, необходимо использовать другие численные методы . В действительности все колебательные системы являются ангармоническими, но они приближаются к гармоническому осциллятору, чем меньше амплитуда колебаний.

В результате появляются колебания с частотами и т. Д., Где - основная частота генератора. Кроме того, частота отклоняется от частоты гармонических колебаний. См. Также интермодуляционные и комбинированные тона . В первом приближении сдвиг частоты пропорционален квадрату амплитуды колебаний : ${\ displaystyle 2 \ omega}$ ${\ displaystyle 3 \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ omega = \ omega - \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle A}$

\Delta \omega \propto A^{2}

В системе осцилляторов с собственными частотами , ... Результаты ангармонизмом дополнительных колебаний с частотами . $\omega _{\alpha }$ $\omega _{\beta }$ $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$

Ангармоничность также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, приводя к интересным явлениям, таким как эффект переплетения и супергармонический резонанс.

Общий принцип [ править ]

2 DOF упругий маятник с ангармоническим поведением.

Гармонические и ангармонические осцилляторы

Маятник представляет собой простой гармонический осциллятор. В зависимости от углового положения груза θ , восстанавливающая сила сдвигает координату θ назад к середине. Этот осциллятор является ангармоническим, потому что возвращающая сила пропорциональна не θ , а sin (θ) . Поскольку линейная функция y = θ аппроксимирует нелинейную функцию y = sin (θ), когда θ мало, систему можно моделировать как гармонический осциллятор для малых колебаний.

Осциллятор - это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, такая как маятник, камертон или колеблющаяся двухатомная молекула . С математической точки зрения, основная особенность осциллятора состоит в том, что для некоторой координаты x системы сила, величина которой зависит от x, будет отталкивать x от крайних значений и обратно к некоторому центральному значению x ₀ , заставляя x колебаться между крайними значениями. Например, x может представлять смещение маятника из его положения покоя x = 0 . Поскольку абсолютное значение x увеличивается, так же как и восстанавливающая сила, действующая на вес маятника, который толкает его обратно в положение покоя.

В гармонических осцилляторах восстанавливающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению x из его естественного положения x ₀ . Полученное дифференциальное уравнение подразумевает, что x должен колебаться синусоидально с течением времени с периодом колебаний, который присущ системе. x может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь один и тот же период.

Однако для ангармонических осцилляторов характерна нелинейная зависимость восстанавливающей силы от смещения x. Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний.

В результате нелинейности ангармонических осцилляторов частота колебаний может изменяться в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты вибрации приводят к передаче энергии от основной частоты вибрации к другим частотам посредством процесса, известного как параметрическая связь. ^{[ требуется разъяснение ]}

Рассматривая нелинейную восстанавливающую силу как функцию F (xx ₀ ) смещения x из его естественного положения, мы можем заменить F его линейной аппроксимацией F ₁ = F '(0) * (xx ₀ ) при нулевом смещении. Аппроксимирующая функция F ₁ является линейной, поэтому она описывает простое гармоническое движение. Кроме того, эта функция F ₁ точна, когда xx ₀ мало. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое, если колебания малы.

Примеры в физике [ править ]

В физическом мире существует множество систем, которые можно смоделировать как ангармонические осцилляторы в дополнение к нелинейной системе масса-пружина. Например, атом, который состоит из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком при наличии электрического поля. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля зависимость поле-дипольный момент становится нелинейной, как и в механической системе.

Другие примеры ангармонических осцилляторов включают в себя маятник с большим углом; неравновесные полупроводники с большой популяцией горячих носителей, которые демонстрируют нелинейное поведение различных типов, связанных с эффективной массой носителей; и ионосферная плазма, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармонизме плазмы. Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоническими, когда их амплитуда накачки превышает некоторый порог, и в результате необходимо использовать нелинейные уравнения движения для описания их поведения.

Ангармонизм играет роль в колебаниях решетки и молекул, в квантовых колебаниях ^[1] и в акустике . Атомы в молекуле или твердом теле колеблются около своего положения равновесия. Когда эти колебания имеют малую амплитуду, их можно описать гармоническими осцилляторами . Однако, когда амплитуды колебаний велики, например, при высоких температурах, ангармонизм становится важным. Примером эффектов ангармонизма является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в рамках квазигармонического приближения.. Изучение колеблющихся ангармонических систем с помощью квантовой механики является сложной вычислительной задачей, потому что ангармонизм не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но также вводит связь между осцилляторами. Можно использовать методы из первых принципов, такие как теория функционала плотности, для отображения ангармонического потенциала, испытываемого атомами как в молекулах ^{[2], так} и в твердых телах. ^[3] Точные энергии ангармонических колебаний могут быть получены путем решения уравнений ангармонических колебаний для атомов в рамках теории среднего поля . Наконец, можно использовать теорию возмущений Меллера – Плессе, чтобы выйти за рамки формализма среднего поля.

Потенциальная энергия от периода колебаний [ править ]

Рассмотрим потенциальную яму . Предполагая, что кривая симметрична относительно оси -оси, форма кривой может быть неявно определена из периода колебаний частиц с энергией по формуле: ^[^{необходима цитата}^] $U(x)$ $U=U(x)$ $U$ $T(E)$ $E$

U(x)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2m}}}}\int _{0}^{U}{\frac {T(E)\,dE}{\sqrt {U(x)-E}}}

.

И наоборот, период колебаний может быть получен ^[4]

T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U}}}

См. Также [ править ]

Негармоничность
Гармонический осциллятор
Квантовый гармонический осциллятор
Музыкальная акустика
Нелинейный резонанс

Ссылки [ править ]

Ландау, ЛД ; Лифшиц, EM (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Filipponi, A .; Cavicchia, DR (2011), "Ангармоническая динамика массового O-пружинный осциллятор", Американский журнал физика , 79 (7): 730-735, DOI : 10.1119 / 1,3579129

^ Лим, Киран Ф .; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), "Влияние ангармоничности на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице" , J. Chem. Educ. , 82 (8): 1263, Bibcode : 2005JChEd..82.1263F , DOI : 10.1021 / ed082p1263.1
^ Юнг, JO; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n = 2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Phys. , 105 (23): 10332, Bibcode : 1996JChPh.10510332J , DOI : 10,1063 / 1,472960
^ Монсеррат, B .; Драммонд, Северная Дакота; Потребности, Р.Дж. (2013), "Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение", Phys. Ред. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M , doi : 10.1103 / PhysRevB.87.144302
^ Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph / 0409034 . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 26/4/004 .

Внешние ссылки [ править ]

Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс , Базельский университет , заархивировано из оригинала 13 июня 2011 г. , получено 28 октября 2010 г. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[1] Лим, Киран Ф .; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), "Влияние ангармоничности на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице" , J. Chem. Educ. , 82 (8): 1263, Bibcode : 2005JChEd..82.1263F , DOI : 10.1021 / ed082p1263.1

[2] Юнг, JO; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n = 2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Phys. , 105 (23): 10332, Bibcode : 1996JChPh.10510332J , DOI : 10,1063 / 1,472960

[3] Монсеррат, B .; Драммонд, Северная Дакота; Потребности, Р.Дж. (2013), "Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение", Phys. Ред. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M , doi : 10.1103 / PhysRevB.87.144302

[4] Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph / 0409034 . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 26/4/004 .