Бивектор (комплекс)

В математике , бивектор вектор часть бикватерниона . Для бикватерниона q = w + x i + y j + z k , w называется бискаларом, а x i + y j + z k - его бивекторной частью. Координаты w , x , y , z - комплексные числа с мнимой единицей h:

${\ displaystyle x = x_ {1} + \ mathrm {h} x_ {2}, \ y = y_ {1} + \ mathrm {h} y_ {2}, \ z = z_ {1} + \ mathrm {h } z_ {2}, \ quad \ mathrm {h} ^ {2} = - 1 = \ mathrm {i} ^ {2} = \ mathrm {j} ^ {2} = \ mathrm {k} ^ {2} .}$

Бивектор можно записать как сумму действительной и мнимой частей:

${\displaystyle (x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} )+\mathrm {h} (x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} )}$

где и - векторы . Таким образом, бивектор ^[1]${\displaystyle r_{1}=x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} }$${\displaystyle r_{2}=x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} }$${\displaystyle q=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} =r_{1}+\mathrm {h} r_{2}.}$

Алгебра Ли из группы Лоренца выражаются бивекторами. В частности, если r ₁ и r ₂ - правые версоры, так что бикватернионная кривая {exp θr ₁  : θ ∈ R } проходит по единичной окружности в плоскости { x + yr ₁  : x , y ∈ R }. . Такой круг соответствует параметрам пространственного вращения группы Лоренца.${\displaystyle r_{1}^{2}=-1=r_{2}^{2}}$

Теперь (h r ₂ ) ² = (−1) (- 1) = +1 , и бикватернионная кривая {exp θ (h r ₂ ): θ ∈ R } является единичной гиперболой на плоскости { x + yr ₂  : x , y ∈ R }. Преобразования пространства-времени в группе Лоренца, которые приводят к сжатию Фитцджеральда и замедлению времени, зависят от гиперболического углапараметр. По словам Рональда Шоу, «бивекторы - это логарифмы преобразований Лоренца». ^[2]

Коммутатор продукт этой алгебры Ли просто в два раза векторное произведение на R ³ , например, [I, J] = IJ - джи = 2k , что вдвое I × J . Как писал Шоу в 1970 году:

Теперь хорошо известно, что алгебру Ли однородной группы Лоренца можно рассматривать как алгебру бивекторов при коммутации. [...] Алгебра Ли бивекторов - это, по сути, алгебра комплексных 3-векторов, причем произведение Ли определяется как знакомое перекрестное произведение в (комплексном) 3-мерном пространстве. ^[3]

Уильям Роуэн Гамильтон придумал термины вектор и бивектор . Первый термин был назван с кватернионами, а второй примерно десятью годами позже, как в « Лекциях о кватернионах» (1853 г.). ^{[1] : 665} В популярном тексте « Векторный анализ» (1901) использовался этот термин. ^{[4] : 249}

Учитывая бивектор г = г ₁ + Н г ₂ , то эллипс , для которых г ₁ и г ₂ представляет собой пару сопряженных диаметров полуприцепов называется направленным эллипсом бивектора г . ^{[4] : 436}

В стандартном линейном представлении бикватернионов в виде комплексных матриц 2 × 2, действующих на комплексной плоскости с базисом {1, h},

${\displaystyle {\begin{pmatrix}hv&w+hx\\-w+hx&-hv\end{pmatrix}}}$представляет собой бивектор q = v i + w j + x k .

Сопряженное транспонирование этой матрицы соответствует - д , так что представление бивектору д является косоэрмитов матрицей .

Людвик Зильберштейн изучал комплексное электромагнитное поле E + h B , в котором есть три компонента, каждая из которых является комплексным числом, известное как вектор Римана-Зильберштейна . ^{[5] [6]}

«Бивекторы [...] помогают описывать эллиптически поляризованные однородные и неоднородные плоские волны - один вектор для направления распространения, другой для амплитуды». ^[7]

Ссылки [ править ]