В математической физике , в частности в электромагнетизме , вектор Римана – Зильберштейна [1] или вектор Вебера [2] [3], названный в честь Бернхарда Римана , Генриха Мартина Вебера и Людвика Зильберштейна , (или иногда неоднозначно называемый «электромагнитным полем») является комплекс вектор , который сочетает в себе электрическое поле Е и магнитное поле B .
История
Генрих Мартин Вебер опубликовал четвертое издание «Уравнений в частных производных математической физики по лекциям Римана» в двух томах (1900 и 1901). Однако Вебер указал в предисловии к первому тому (1900 г.), что это четвертое издание было полностью переписано на основе его собственных лекций, а не лекций Римана, и что ссылка на «лекции Римана» осталась только в названии, потому что общая концепция осталась то же самое и что он продолжил работу в духе Римана. [4] Во втором томе (1901, § 138, стр. 348) Вебер продемонстрировал, как объединить уравнения Максвелла, используя. [5] Действительная и мнимая составляющие уравнения
представляют собой интерпретацию уравнений Максвелла без зарядов и токов. Он был независимо переоткрыт и развит Людвиком Зильберштейном в 1907 г. [6] [7]
Определение
Учитывая , электрическое поле Е и магнитное поле B , определенный на общую области из пространства - времени , вектор Римана-Сильберстайн является
где c - скорость света , причем некоторые авторы предпочитают умножать правую часть на общую константу., где ε 0 - диэлектрическая проницаемость свободного пространства . Это аналог электромагнитного тензора F , 2-вектора, используемого в ковариантной формулировке классического электромагнетизма .
В формулировке Зильберштейна i был определен как мнимая единица , а F был определен как комплексное трехмерное векторное поле , называемое бивекторным полем . [8]
Заявление
Вектор Римана – Зильберштейна используется как точка отсчета в формулировке геометрической алгебры электромагнетизма . Четыре уравнения Максвелла в векторном исчислении сводятся к одному уравнению алгебры физического пространства :
Выражения для основных инвариантов и плотности энергии и импульса плотности также принимают на простых формах:
где S - вектор Пойнтинга .
Вектор Римана – Зильберштейна используется для точного матричного представления уравнений Максвелла в неоднородной среде с источниками . [1] [9]
Волновая функция фотона
В своем вкладе в квантовую электродинамику 1996 года Иво Бялыницки-Бирула использовал вектор Римана-Зильберштейна в качестве основы для подхода к фотону , отметив, что это «комплексная вектор-функция пространственных координат r и времени t, которая адекватно описывает квантовое состояние. одиночного фотона ". Чтобы выразить вектор Римана – Зильберштейна современным языком, делается переход:
- С появлением спинорного исчисления, которое заменило кватернионное исчисление, свойства преобразования вектора Римана-Зильберштейна стали еще более прозрачными ... симметричный спинор второго ранга.
Бялыницки-Бирула признает, что волновая функция фотона - спорное понятие и что она не может обладать всеми свойствами волновых функций Шредингера нерелятивистской волновой механики. Тем не менее, защита строится на основе практичности: она полезна для описания квантовых состояний возбуждения свободного поля, электромагнитных полей, действующих на среду, вакуумного возбуждения виртуальных позитрон-электронных пар и представления фотона среди квантовых частиц, которые действительно имеют волновые функции.
Уравнение Шредингера для фотона и соотношения неопределенностей Гейзенберга
Умножая два зависящих от времени уравнения Максвелла на уравнение Шредингера для фотона в вакууме имеет вид
где - вектор, построенный из спина матриц длины 1, генерирующих полные бесконечно малые вращения 3-спинорной частицы. Таким образом, можно заметить, что гамильтониан в уравнении Шредингера фотона - это проекция его спина 1 на его импульс, поскольку нормальный оператор импульса появляется там в результате объединения частей вращений.
В отличие от волновой функции электрона квадрат модуля волновой функции фотона (вектор Римана-Зильбертейна) не является безразмерным и должен быть умножен на «локальную длину волны фотона» с соответствующей степенью, чтобы получить безразмерное выражение для нормализации, т.е. нормированным экзотическим образом с интегральным ядром
Два остаточных уравнения Максвелла являются только ограничениями, т.е.
и они автоматически выполняются все время, если выполняются только в начальное время , т.е.
где - любое комплексное векторное поле с ненулевым вращением или векторный потенциал для вектора Римана – Зильберштейна.
Имея волновую функцию фотона, можно оценить соотношения неопределенностей для фотона. [10] Это показывает, что фотоны «более квантовые», чем электрон, в то время как их неопределенность положения и импульса выше. Естественные кандидаты для оценки неопределенности - это естественный импульс, подобный проекции или же из формулы Эйнштейна для фотоэффекта и простейшей теории квантов и , неопределенность вектора длины позиции.
Воспользуемся общим соотношением неопределенности операторов
Нам нужно соотношение неопределенностей для т.е. для операторов
Первый шаг - найти вспомогательный оператор так что это отношение можно использовать напрямую. Сначала проделаем тот же трюк длячто Дирак вычислил квадратный корень из оператора Клейна-Гордона, чтобы получить уравнение Дирака :
где - матрицы из уравнения Дирака :
Следовательно, мы имеем
Поскольку спиновые матрицы 1 только для вычисления коммутатора в том же пространстве мы аппроксимируем спиновые матрицы матрицами углового момента частицы длиной при падении умножения поскольку результирующие уравнения Максвелла в четырех измерениях будут выглядеть слишком искусственно по сравнению с оригиналом (в качестве альтернативы мы можем факторов, но нормализовать новый 4-спинор до 2 как 4 скалярных частицы, нормированных на 1/2):
Теперь мы можем легко вычислить коммутатор при вычислении коммутаторов матрицы и масштабированные и заметив, что симметричное гауссовское состояние уничтожает в среднем члены, содержащие смешанные переменные, такие как . Вычисление 9 коммутаторов (смешанный может быть равен нулю по гауссовскому примеру и так как эти матрицы контрдиагональны) и оценка членов по норме полученного матрица, содержащая четыре факторы, дающие квадрат наиболее естественного L 2 , 1 {\ displaystyle L2,1} норма этой матрицы как и используя неравенство нормы для оценки
мы получаем
или же
что намного больше, чем для массовой частицы в 3-х измерениях, то есть
и поэтому фотоны оказываются частицами раз или почти в 3 раза «квантовее», чем частицы с массой, подобной электрону.
Рекомендации
- ^ a b Bialynicki-Birula, Iwo (1996). «Волновая функция фотона». Прогресс в оптике . 36 : 245–294. arXiv : квант-ph / 0508202 . Bibcode : 1996PrOpt..36..245B . DOI : 10.1016 / S0079-6638 (08) 70316-0 . ISBN 978-0-444-82530-8.
- ^ Майкл К.-Х. Кисслинг и А. Шади Тахвилдар-Заде (2018). «О квантовой механике одиночного фотона». Журнал математической физики . 59 (11): 112302. arXiv : 1801.00268 . Bibcode : 2018JMP .... 59k2302K . DOI : 10.1063 / 1.5021066 . S2CID 51030338 .
- ^ Чарльз Т. Себенс (2019). «Электромагнетизм как квантовая физика». Основы физики . 49 (4): 365–389. arXiv : 1902.01930 . Bibcode : 2019FoPh ... 49..365S . DOI : 10.1007 / s10701-019-00253-3 . S2CID 84846425 .
- ^ Вебер, Генрих Мартин (1900). Die partiellen Differential-Gleichungen der Mathematischen Physik nach Riemann's Vorlesungen (4-е издание, том I) . Брауншвейг: Vieweg.
- ^ Вебер, Генрих Мартин (1901). Die partiellen Differential-Gleichungen der Mathematischen Physik nach Riemann's Vorlesungen (4. издание, том II) . Брауншвейг: Vieweg.
- ^ Зильберштейн, Людвик (1907). "Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung" (PDF) . Annalen der Physik . 327 (3): 579–586. Bibcode : 1907AnP ... 327..579S . DOI : 10.1002 / andp.19073270313 .
- ^ Зильберштейн, Людвик (1907). "Nachtrag zur Abhandlung über 'Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung ' " (PDF) . Annalen der Physik . 329 (14): 783–784. Bibcode : 1907AnP ... 329..783S . DOI : 10.1002 / andp.19073291409 .
- ^ Асте, Андреас (2012). «Комплексная теория представлений электромагнитного поля». Журнал геометрии и симметрии в физике . 28 : 47–58. arXiv : 1211.1218 . DOI : 10.7546 / jgsp-28-2012-47-58 . S2CID 119575012 .
- ^ Хан, Самин Ахмед (2005). «Точное матричное представление уравнений Максвелла». Physica Scripta . 71 (5): 440–442. arXiv : физика / 0205083 . Bibcode : 2005PhyS ... 71..440K . DOI : 10.1238 / Physica.Regular.071a00440 .
- ^ Бялыницкий-Бирула, Иво (2012). "Отношение неопределенности для фотона" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 108 (14): 140401–1–5. arXiv : 1110,2415 . Bibcode : 2012PhRvL.108n0401B . DOI : 10.1103 / physrevlett.108.140401 . PMID 22540772 . S2CID 30928536 .- В этой публикации используются несколько иные определения неопределенностей положения и импульса, отказавшись от оператора положения и нормализуя неопределенность к неопределенности r