Если для определенной среды а также являются скалярными константами (или могут рассматриваться как локальные скалярные константы при определенных приближениях), то векторы удовлетворить
Таким образом, используя вектор Римана-Зильберштейна, можно повторно выразить уравнения Максвелла для среды с постоянной а также в виде пары материальных уравнений.
Однородная среда
Чтобы получить одно матричное уравнение вместо пары, следующие новые функции строятся с использованием компонентов вектора Римана-Зильберштейна [6]
Векторы для источников:
Потом,
где * обозначает комплексное сопряжение, а тройка, M = [ M x , M y , M z ] - вектор, составляющими элементами которого являются абстрактные матрицы 4 × 4, заданные формулой
Компонентные M -матрицы могут быть сформированы с использованием:
где
откуда получаем:
В качестве альтернативы можно использовать матрицу Которые отличаются только знаком. Для наших целей это нормально использовать либо Ом или J . Тем не менее, они имеют различное значение: J является контравариантен и Ω является ковариантен . Матрица Ом соответствует Скобки Лагранжа из классической механики и J соответствует скобок Пуассона .
Обратите внимание на важное соотношение
Каждое из четырех уравнений Максвелла получается из матричного представления. Это делается путем суммирования и разностей строки I с строкой IV и строки II с строкой III соответственно. Первые три задают компоненты ротора y , x и z, а последний - условия расходимости .
(Ψ ± , M ) не единственны. Различный выбор Ψ ± приведет к разным M , так что тройка M продолжает удовлетворять алгебре матриц Дирака. Ч & plusmn ; с помощью вектора Римана-Зилберштейн имеет определенные преимущества по сравнению с другими возможными выборами. [7] Вектор Римана-Зильберштейна хорошо известен в классической электродинамике и имеет некоторые интересные свойства и применения. [7]
При выводе вышеупомянутого матричного представления 4 × 4 уравнений Максвелла пространственные и временные производные ε ( r , t ) и μ ( r , t ) в первых двух уравнениях Максвелла не учитывались. Ε и μ рассматривались как локальные константы.
Неоднородная среда
В неоднородной среде пространственные и временные вариации ε = ε ( r , t ) и μ = μ ( r , t ) не равны нулю. То есть они больше не являются локальной константой. Вместо использования ε = ε ( r , t ) и μ = μ ( r , t ) выгодно использовать две производные лабораторные функции, а именно функцию сопротивления и функцию скорости.
Вышеупомянутое представление содержит тринадцать матриц 8 × 8. Десять из них эрмитские . Исключительными являются те, которые содержат три компонента w ( r , t ), логарифмического градиента функции сопротивления. Эти три матрицы для функции сопротивления являются антиэрмитовыми .
Уравнения Максвелла были выражены в матричной форме для среды с переменной диэлектрической проницаемостью ε = ε ( r , t ) и проницаемостью μ = μ ( r , t ) при наличии источников. Это представление использует одно матричное уравнение вместо пары матричных уравнений. В этом представлении с использованием матриц 8 × 8 стало возможным разделить зависимость связи между верхними компонентами ( + ) и нижними компонентами ( - ) с помощью двух лабораторных функций. Более того, точное матричное представление имеет алгебраическую структуру, очень похожую на уравнение Дирака. [8] уравнение Максвелла может быть получено из принципа Ферма по геометрической оптике в процессе «wavization» [ разъяснение необходимости ] аналогично квантование из классической механики . [9]
Приложения
Одним из первых применений матричных форм уравнений Максвелла было изучение определенных симметрий и сходства с уравнением Дирака.
Матричная форма уравнений Максвелла используется в качестве кандидата для волновой функции фотона . [10]
Исторически геометрическая оптика основана на принципе наименьшего времени Ферма . Геометрическая оптика может быть полностью выведена из уравнений Максвелла. Традиционно это делается с помощью уравнения Гельмгольца . Вывод уравнения Гельмгольца из уравнений Максвелла является приближением, поскольку не учитываются пространственные и временные производные диэлектрической проницаемости и проницаемости среды. Был разработан новый формализм оптики светового луча, начиная с уравнений Максвелла в матричной форме: единой сущности, содержащей все четыре уравнения Максвелла. Такой рецепт, несомненно, обеспечит более глубокое понимание оптики луча и поляризации в единой манере. [11] Гамильтониан лучевой оптики, полученный из этого матричного представления, имеет алгебраическую структуру, очень похожую на уравнение Дирака , что делает его доступным для техники Фолди-Ваутхойзена . [12] Этот подход очень похож на подход, разработанный в квантовой теории оптики пучков заряженных частиц. [13]
Рекомендации
Заметки
^ (Бялыницкий-Бирула, 1994, 1996a, 1996b)
^ (Хан, 2002, 2005)
^ (Джексон, 1998; Панофски и Филлипс, 1962)
^ Зильберштейн (1907a, 1907b)
^ Бялыницкий-Бируля (1996b)
↑ Хан (2002, 2005)
^ a b Бялыницкий-Бирула (1996b)
^ (Хан, 2002, 2005)
^ (Прадхан, 1987)
^ (Бялыницкий-Бирула, 1996b)
^ (Хан, 2006b, 2010)
^ (Хан, 2006а, 2008)
^ (Джаганнатан и др., 1989, Джаганнатан, 1990, Джаганнатан и Хан 1996, Хан, 1997)
Другие
Бялыницкий-Бирула И. (1994). О волновой функции фотона. Acta Physica Polonica A, 86 , 97–116.
Бялыницкий-Бирула, И. (1996a). Волновая функция фотона. В когерентности и квантовой оптике VII . Эберли, Дж. Х. , Мандель, Л. и Эмиль Вольф (ред.), Plenum Press, Нью-Йорк, 313.
Bialynicki-Birula, I. (1996b). Волновая функция фотона . in Progress in Optics , Vol. XXXVI, Эмиль Вольф . (ред.), Elsevier , Amsterdam, 245-294.
Джексон, JD (1998). Классическая электродинамика , третье издание, John Wiley & Sons.
Джаганнатан, Р. (1990). Квантовая теория электронных линз на основе уравнения Дирака . Physical Review A , 42 , 6674-6689.
Джаганнатан, Р. и Хан, С.А. (1996). Квантовая теория оптики заряженных частиц . В книге Hawkes Peter W. (ed.), Advances in Imaging and Electron Physics , Vol. 97 , Academic Press, Сан-Диего, стр. 257–358.
Джаганнатан Р. , Саймон Р. , Сударшан, ЭКГ и Мукунда, Н. (1989). Квантовая теория магнитных электронных линз на основе уравнения Дирака . Physics Letters A 134 , 457-464.
Хан, С.А. (1997). Квантовая теория оптики пучков заряженных частиц , докторская диссертация , Мадрасский университет , Ченнаи , Индия . (Полная диссертация доступна в Dspace библиотеки IMSc , Института математических наук , где проводилась докторская работа).
Самин Ахмед Хан . (2002). Maxwell Optics: I. Точное матричное представление уравнений Максвелла в среде . Электронная печать : https://arxiv.org/abs/physics/0205083/ .
Самин Ахмед Хан . (2005). Точное матричное представление уравнений Максвелла . Physica Scripta , 71 (5), 440-442.
Самин Ахмед Хан . (2006a). Техника преобразования Фолди-Ваутхайзена в оптике . Оптик-Международный журнал световой и электронной оптики . 117 (10), стр. 481–488 http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/ .
Самин Ахмед Хан . (2006b). Эффекты, зависящие от длины волны в световой оптике. in New Topics in Quantum Physics Research , Editors: Volodymyr Krasnoholovets and Frank Columbus, Nova Science Publishers , New York, pp. 163–204. ( ISBN 1600210287 и ISBN 978-1600210280 ).
Самин Ахмед Хан . (2008). Метод преобразования Фолди-Ваутхайзена в оптике , В книге Хоукса Питера, W. (ред.), « Достижения в области визуализации и электронной физики» , Vol. 152, Elsevier , Амстердам, стр. 49–78. ( ISBN 0123742196 и ISBN 978-0-12-374219-3 ).
Самин Ахмед Хан . (2010). Оптика Максвелла квазипараксиальных лучей , Международный журнал оптики света и электронов Optik , 121 (5), 408-416. ( http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/ ).
Лапорт, О. , и Уленбек, Г.Е. (1931). Приложения спинорного анализа к уравнениям Максвелла и Дирака. Physical Review , 37 , 1380-1397.
Майорана, Э. (1974). (неопубликованные примечания), цитируется по Миньяни Р., Реками Э. и Бальдо М. Об уравнении для фотона, подобном Дираку, по Этторе Майорана. Lettere al Nuovo Cimento , 11 , 568-572.
Моисей, Э. (1959). Решения уравнений Максвелла в терминах спинорной записи: прямая и обратная задачи. Physical Review , 113 (6), 1670-1679.
Панофски, WKH , и Филлипс, М. (1962). Классическое электричество и магнетизм , издательство Addison-Wesley Publishing Company, Рединг, Массачусетс, США.
ПРАДХАН, Т . (1987). Уравнения Максвелла из геометрической оптики . IP / BBSR / 87-15; Physics Letters A 122 (8), 397-398.
Людвиг Зильберштейн . (1907a). Elektromagnetische Grundgleichungen in bivektorieller Behandlung , Ann. Phys. (Лейпциг), 22, 579-586.
Людвиг Зильберштейн . (1907b). Nachtrag zur Abhandlung ber Elektromagnetische Grundgleichungen in bivektorieller Behandlung . Аня. Phys. (Лейпциг), 24, 783-784.