В математике , инженерии и производства , тела вращения является твердая цифра получена вращением плоскости кривой вокруг некоторой прямой линии (The оси вращения ) , что лежит на одной и той же плоскости.
Предполагая , что кривая не пересекает ось, твердое вещество - х объем равен длине по окружности , описываемой фигуры центроида , умноженной на фигуры области ( второй центроид теоремы Паппа в ).
Репрезентативный диск является трех- мерный элемент объема твердого тела вращения. Элемент создаются вращающимся на отрезок линии (от длины ш ) вокруг некоторой оси (расположенный г единиц далеко), так что цилиндрический объем из П г 2 ш единиц прилагаются.
Нахождение объема
Двумя общими методами определения объема тела вращения являются метод диска и метод интегрирования оболочки . Чтобы применить эти методы, проще всего нарисовать рассматриваемый график; определить область, которая должна вращаться вокруг оси вращения; определить объем либо дискообразного среза твердого тела толщиной δx , либо цилиндрической оболочки шириной δx ; а затем найти предельную сумму этих объемов, когда δx приближается к 0, значение, которое может быть найдено путем вычисления подходящего интеграла. Более строгое обоснование может быть дано попыткой вычислить тройной интеграл в цилиндрических координатах с двумя разными порядками интегрирования.
Дисковый метод
Дисковый метод используется, когда нарисованный срез перпендикулярен оси вращения; т.е. при интегрировании параллельно оси вращения.
Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми f ( x ) и g ( x ) и линиями x = a и x = b относительно оси x, определяется выражением
Если g ( x ) = 0 (например, поворот области между кривой и осью x ), это сводится к:
Этот метод можно визуализировать, рассматривая тонкий горизонтальный прямоугольник в точке y между f ( y ) вверху и g ( y ) внизу и вращая его вокруг оси y ; он образует кольцо (или диск в случае, когда g ( y ) = 0 ) с внешним радиусом f ( y ) и внутренним радиусом g ( y ) . Площадь кольца равна π ( R 2 - r 2 ) , где R - внешний радиус (в данном случае f ( y ) ), а r - внутренний радиус (в данном случае g ( y ) ). Следовательно, объем каждого бесконечно малого диска равен π f ( y ) 2 dy . Предел римановой суммы объемов дисков между a и b становится целым (1).
Предполагая применимость теоремы Фубини и формулы многомерной замены переменных, дисковый метод может быть получен прямым способом (обозначив твердое тело как D):
Цилиндровый метод
Метод цилиндра используется, когда нарисованный срез параллелен оси вращения; т.е. при интегрировании перпендикулярно оси вращения.
Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми f ( x ) и g ( x ) и линиями x = a и x = b относительно оси y, определяется выражением
Если g ( x ) = 0 (например, вращение области между кривой и осью y ), это сводится к:
Этот метод можно визуализировать, рассматривая тонкий вертикальный прямоугольник в точке x с высотой f ( x ) - g ( x ) и вращая его вокруг оси y ; он образует цилиндрическую оболочку. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π rh , где r - радиус (в данном случае x ), а h - высота (в данном случае f ( x ) - g ( x ) ). Суммирование всех площадей поверхности по интервалу дает общий объем.
Этот метод может быть получен с тем же тройным интегралом, на этот раз с другим порядком интегрирования:
- .
Параметрическая форма
Когда кривая определяется ее параметрической формой ( x ( t ), y ( t )) в некотором интервале [ a , b ] , объемы твердых тел, образованные вращением кривой вокруг оси x или оси y, равны предоставлено [1]
При тех же обстоятельствах площади поверхностей твердых тел, образованные вращением кривой вокруг оси x или оси y , задаются формулой [2]
Полярная форма
Для полярной кривой где объемы твердых тел, образованные вращением кривой вокруг оси x или оси y, равны
Даны площади поверхностей твердых тел, образованные вращением кривой вокруг оси x или оси y.
Смотрите также
Заметки
- ^ Шарма, А. К. (2005). Применение интегрального исчисления . Издательство Discovery. п. 168. ISBN 81-7141-967-4.
- ^ Сингх, Равиш Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.
Рекомендации
- «Объемы тел революции» . CliffsNotes.com . 12 апреля 2011. Архивировано из оригинала на 2012-03-19.
- Эйрес, Фрэнк ; Мендельсон, Эллиотт (2008). Исчисление . Очертания Шаума . McGraw-Hill Professional. С. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2.( Интернет-копия , стр. 244, в Google Книгах )
- Вайсштейн, Эрик В. «Твердая революция» . MathWorld .