Рог Габриэля (также называемый трубой Торричелли ) - это особая геометрическая фигура, имеющая бесконечную площадь поверхности, но конечный объем . Название относится к христианской традиции, которая идентифицирует архангела Гавриила как ангела, который трубит в рог, чтобы объявить Судный день , связывая божественное или бесконечное с конечным. [ необходима цитата ] Свойства этой фигуры были впервые изучены итальянским физиком и математиком Евангелистой Торричелли в 17 веке.
Математическое определение
Рог Габриэля формируется, беря график из
с доменом и вращая его в трех измерениях вокруг оси x . Открытие было сделано с использованием принципа Кавальери до изобретения исчисления , но сегодня исчисление можно использовать для вычисления объема и площади поверхности рога между x = 1 и x = a , где a > 1 . Используя интегрирование (подробнее см. Тело вращения и Поверхность вращения ), можно найти объем V и площадь поверхности A :
Значение a может быть сколь угодно большим, но из уравнения видно, что объем части рупора между x = 1 и x = a никогда не будет превышать π ; однако он постепенно приближается к π по мере увеличения a . Математически объем приближается к π , как приближается к бесконечности. Используя предельную запись исчисления:
Формула площадь поверхности выше , дает нижнюю границу для области , как 2 & pi раз натурального логарифма от . Для натурального логарифма a не существует верхней границы , поскольку a приближается к бесконечности. В данном случае это означает, что рупор имеет бесконечную площадь поверхности. То есть,
Очевидный парадокс
Когда были обнаружены свойства рога Габриэля, тот факт, что вращение бесконечно большого участка плоскости xy вокруг оси x порождает объект конечного объема, считался парадоксом . В то время как сечение, лежащее в плоскости xy, имеет бесконечную площадь, любое другое сечение, параллельное ему, имеет конечную площадь. Таким образом, объем, рассчитываемый по «взвешенной сумме» сечений, конечен.
Другой подход - рассматривать рупор как стопку дисков с уменьшающимся радиусом . Сумма радиусов дает гармонический ряд, уходящий в бесконечность. Однако правильный расчет - это сумма их квадратов. Каждый диск имеет радиус r =1/Икси площадь π r 2 илиπ/х 2. Сериал1/Икс расходится, но1/х 2 сходится . В общем, для любого вещественного е > 0 ,1/х 1+ ε сходится.
Кажущийся парадокс явился частью спора о природе бесконечности, в котором участвовали многие ключевые мыслители того времени, включая Томаса Гоббса , Джона Уоллиса и Галилео Галилея . [1]
Аналогичное явление применимо к длинам и площадям на плоскости. Площадь между кривыми1/х 2 а также -1/х 2 от 1 до бесконечности конечно, но длины двух кривых явно бесконечны.
Парадокс художника
Поскольку рог имеет конечный объем, но бесконечную площадь поверхности, возникает очевидный парадокс, заключающийся в том, что рог можно было заполнить конечным количеством краски, и все же этой краски было бы недостаточно для покрытия его внутренней поверхности. Парадокс разрешается, если осознать, что конечное количество краски на самом деле может покрыть бесконечную площадь поверхности - она просто должна становиться тоньше с достаточно высокой скоростью (во многом как серия 1/2 с.ш.становится меньше достаточно быстро, чтобы его сумма была конечной). В случае, когда рог заполнен краской, это разбавление достигается за счет увеличения диаметра горловины рожка.
Конверс
Обратное рога Габриэля - поверхность вращения с конечной площадью поверхности, но бесконечным объемом - не может возникнуть при вращении непрерывной функции на замкнутом множестве:
Теорема
Пусть f : [1, ∞) → [0, ∞) - непрерывно дифференцируемая функция. Запись S для тела вращения на графике у = ф ( х ) о х Оу. Если площадь поверхности S конечна, то конечен и объем.
Доказательство
Поскольку площадь боковой поверхности A конечна, верхний предел :
Следовательно, существует t 0 такое, что супремум sup { f ( x ) | x ≥ t 0 } конечно. Следовательно,
- M = sup { f ( x ) | x ≥ 1 } должно быть конечным, поскольку f - непрерывная функция , из чего следует, что f ограничена на интервале [1, ∞) .
Наконец, объем:
Следовательно: если площадь A конечна, то и объем V должен быть конечным.
Смотрите также
- Гипербола - Плоская кривая: коническое сечение
- Снежинка Коха - Фрактальная и математическая кривая
- Рог Пикарда
- Псевдосфера
- Форма Вселенной - Локальная и глобальная геометрия Вселенной.
- Поверхность вращения - математический термин
- Парадоксы Зенона - Набор философских проблем
Рекомендации
- ^ Havil, Julian (2007). В тупике !: математическое доказательство неправдоподобных идей . Издательство Принстонского университета. С. 82–91 . ISBN 0-691-12056-0.
дальнейшее чтение
- Ройер, Мелвин (2012). «Другие владения Габриэля». ПРИМУС: проблемы, ресурсы и проблемы в бакалавриате математики . 22 (4): 338–351. DOI : 10.1080 / 10511970.2010.517601 .
- Флерон, Джулиан Ф. «Свадебный торт Габриэля» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 13 декабря 2016 года.
- Линч, Марк. «Парадоксальное ведро с краской» .
- С любовью, Уильям П. (январь 1989 г.). «Сверхтвердые тела: твердые тела, имеющие конечный объем и бесконечную поверхность». Учитель математики . 82 (1): 60–65. JSTOR 27966098 .
Внешние ссылки
- Труба Торричелли в PlanetMath
- Вайсштейн, Эрик В. «Рог Габриэля» . MathWorld .
- «Рог Габриэля» Джона Снайдера, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
- Рог Габриэля: понимание твердого тела с конечным объемом и бесконечной площадью поверхности Жан С. Джозеф.