В математике , матрица Безу (или Bézoutian или безутианты ) специальная квадратная матрица связана с двумя полиномами , введенными Джеймс Джозеф Сильвестр ( 1853 ) и Кэли ( 1857 ) и имени Безу . Безутиан может также относиться к определителю этой матрицы, который равен результату двух полиномов. Матрицы Безу иногда используются для проверки устойчивости заданного многочлена.
Определение
Позволять а также - два комплексных многочлена степени не выше n ,
(Обратите внимание, что любой коэффициент или же может быть нулевым.) Матрица Безу порядка n, связанная с многочленами f и g, является
где записи результат идентичности
Это комплексная матрица размера n × n , и ее элементы таковы, что если мы положим для каждого , тогда:
Каждой матрице Безу можно сопоставить следующую билинейную форму , называемую Безутианской:
Примеры
- При n = 3 для любых многочленов f и g степени (не выше) 3:
- Позволять а также - два полинома. Потом:
Последняя строка и столбец все равны нулю, так как f и g имеют степень строго меньше n (что равно 4). Остальные нулевые записи связаны с тем, что для каждого, либо или же равно нулю.
Характеристики
- является симметричным ( в качестве матрицы);
- ;
- ;
- - билинейная функция;
- является вещественной матрицей, если f и g имеют действительные коэффициенты;
- неособен с тогда и только тогда, когда f и g не имеют общих корней .
- с участием есть определитель , который является полученным из F и г .
Приложения
Важное применение матриц Безу можно найти в теории управления . Чтобы убедиться в этом, пусть f ( z ) - комплексный многочлен степени n, и обозначим через q и p вещественные многочлены такие, что f (i y ) = q ( y ) + i p ( y ) (где y вещественное). Мы также обозначаем r для ранга и σ для сигнатуры. Тогда у нас есть следующие утверждения:
- f ( z ) имеет n - r общих корней со своим сопряженным;
- левые r корней функции f ( z ) расположены таким образом, что:
- ( r + σ ) / 2 из них лежат в открытой левой полуплоскости, причем
- ( r - σ ) / 2 лежат в открытой правой полуплоскости;
- е является Гурвица устойчива тогда и только тогда , когда является положительно определенной .
Третье утверждение дает необходимое и достаточное условие устойчивости. Кроме того, первое утверждение имеет некоторое сходство с результатом о матрицах Сильвестра, а второе утверждение может быть связано с теоремой Рауса – Гурвица .
Рекомендации
- Кэли, Артур (1857), «Примечание о методе ликвидации Безу» , J. Reine Angew. Математика. , 53 : 366-367, DOI : 10,1515 / crll.1857.53.366
- Kreĭn, MG; Naĭmark, MA (1981) [1936], "Метод симметричных и эрмитовых форм в теории разделения корней алгебраических уравнений", Linear and Multilinear Algebra , 10 (4): 265–308, doi : 10.1080 / 03081088108817420 , ISSN 0308-1087 , MR 0638124
- Пан, Виктор; Бини, Дарио (1994). Полиномиальные и матричные вычисления . Базель, Швейцария: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3786-9.
- Причард, Энтони Дж .; Хинрихсен, Дидерих (2005). Математическая теория систем I: моделирование, анализ пространства состояний, устойчивость и надежность . Берлин: Springer. ISBN 3-540-44125-5.
- Сильвестр, Джеймс Джозеф (1853 г.), "Теория сизигетических отношений двух рациональных интегральных функций, включающая приложение к теории функций Штурма и наибольшей алгебраической общей меры" (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Общество Лондон , The Royal Society, 143 : 407-548, DOI : 10.1098 / rstl.1853.0018 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108572